Początek możliwych przemieszczeń, będący ogólną zasadą mechaniki, ma ogromne znaczenie dla teorii układów sprężystych. W odniesieniu do nich zasadę tę można sformułować następująco: jeżeli układ znajduje się w równowadze pod działaniem przyłożonego obciążenia, to suma pracy sił zewnętrznych i wewnętrznych na możliwe nieskończenie małe przemieszczenia układu jest równa zeru.

Gdzie - siły zewnętrzne;
- możliwe ruchy tych sił;
- działanie sił wewnętrznych.

Należy pamiętać, że w procesie dokonywania ewentualnego przemieszczenia przez układ wielkość i kierunek sił zewnętrznych i wewnętrznych pozostają niezmienione. Dlatego przy obliczaniu pracy należy przyjąć połowę i pełną wartość iloczynu odpowiednich sił i przemieszczeń.

Rozważmy dwa stany układu w równowadze (rys. 2.2.9). Zdolny układ zostaje odkształcony pod wpływem uogólnionej siły (ryc. 2.2.9, a), w stanie - siła (Rys. 2.2.9, b).

Praca sił państwa o przejściach stanowych , a także praca sił państwowych o przejściach stanowych , będzie możliwe.

(2.2.14)

Obliczmy teraz możliwą pracę sił wewnętrznych państwa na przemieszczeniach wywołanych obciążeniem stanowym . Aby to zrobić, rozważ dowolny element pręta o długości
w obu przypadkach. W przypadku zginania płaskiego działanie odległych części na element wyraża się układem sił ,,
(Rys. 2.2.10, a). Siły wewnętrzne mają zwroty przeciwne do zewnętrznych (pokazane liniami przerywanymi). Na ryc. 2.2.10, b pokazuje siły zewnętrzne ,,
działając na element
zdolny . Wyznaczmy odkształcenia wywołane tymi siłami.

Widoczne wydłużenie elementu
spowodowane siłami

.

Praca wewnętrznych sił osiowych na temat tego możliwego ruchu

. (2.2.15)

Wzajemny kąt obrotu powierzchni elementów powodowany parami
,

.

Praca wewnętrznych momentów zginających
na tym ruchu

. (2.2.16)

Podobnie wyznaczamy pracę sił poprzecznych na ruchy wywołane siłami

. (2.2.17)

Sumując otrzymaną pracę, otrzymujemy możliwą pracę sił wewnętrznych przyłożonych do elementu
pręta, na przemieszczeniach wywołanych innym, całkowicie dowolnym obciążeniem, oznaczonych indeksem

Sumując elementarną pracę wewnątrz pręta, otrzymujemy całkowitą wartość możliwej pracy sił wewnętrznych:

(2.2.19)

Zastosujmy początek możliwych przemieszczeń, sumując pracę sił wewnętrznych i zewnętrznych na możliwe przemieszczenia układu, i uzyskajmy ogólne wyrażenie na początek możliwych przemieszczeń dla układu płaskich prętów sprężystych:

(2.2.20)

Oznacza to, że jeśli układ sprężysty jest w równowadze, wówczas praca sił zewnętrznych i wewnętrznych jest w stanie o ewentualnych przemieszczeniach wywołanych innym, całkowicie dowolnym obciążeniem, oznaczonych indeksem , równa się zero.

Twierdzenia o wzajemności pracy i przemieszczenia

Zapiszmy wyrażenia na początek możliwych przemieszczeń belki pokazanej na ryc. 2.2.9 poprzez przyjęcie za państwo możliwie przemieszczenia spowodowane przez państwo , i dla państwa - ruchy spowodowane przez państwo .

(2.2.21)

(2.2.22)

Ponieważ wyrażenia na działanie sił wewnętrznych są takie same, jest to oczywiste

(2.2.23)

Otrzymane wyrażenie nazywa się twierdzeniem o wzajemności pracy (twierdzeniem Bettiego). Formułuje się go w następujący sposób: możliwe działanie sił zewnętrznych (lub wewnętrznych) państwa o przejściach stanowych jest równa możliwej pracy sił zewnętrznych (lub wewnętrznych) państwa o przejściach stanowych .

Zastosujmy twierdzenie o wzajemności pracy do szczególnego przypadku obciążenia, gdy w obu stanach układu przyłożona jest jedna uogólniona siła
I
.

Ryż. 2.2.11

Na podstawie twierdzenia o wzajemności pracy otrzymujemy równość

, (2.2.24)

co nazywa się twierdzeniem o wzajemności przemieszczeń (twierdzeniem Maxwella). Formułuje się ją następująco: przemieszczenie punktu przyłożenia pierwszej siły w jej kierunku, spowodowane działaniem drugiej siły jednostkowej, jest równe przesunięciu punktu przyłożenia drugiej siły w jej kierunku, spowodowanemu przez działanie pierwszej jednostki siły.

Twierdzenia o wzajemności pracy i przemieszczeń znacznie upraszczają rozwiązanie wielu problemów przy wyznaczaniu przemieszczeń.

Korzystając z twierdzenia o wzajemności pracy, wyznaczamy ugięcie
belki w środku przęsła pod działaniem podpory momentowej
(Rys. 2.2.12, a).

Wykorzystujemy drugi stan belki – działanie w punkcie 2 siły skupionej . Kąt obrotu sekcji odniesienia
z warunku zamocowania belki w punkcie B określamy:

Ryż. 2.2.12

Zgodnie z twierdzeniem o pracy wzajemności

,

Niech belka ma dwa stany:

Gdzie ∆ 12 jest przemieszczeniem w punkcie 1 od siły przyłożonej w punkcie 2.

∆ 21 - przemieszczenie w punkcie 2 od siły przyłożonej w punkcie 1.

Aby wyprowadzić twierdzenie, najpierw obciążamy belkę siłą F 1, a następnie siłą F 2

Wykonana praca wynosi: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

W \u003d W 22 + W 11 + W 21 \u003d + + F 2 ∙∆ 21

Ponieważ siły są takie same, to praca jest taka sama, wynika z tego: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 - twierdzenie o wzajemności (twierdzenie Betty'ego): Praca sił pierwszego stanu na poruszenie drugiego stanu jest równa pracy sił drugiego stanu na przemieszczenie pierwszego stanu.

Jeśli przyjmiemy F 1 \u003d F 2 \u003d 1 (wartość bezwymiarowa), wówczas otrzymamy twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (twierdzenie Maxwella): δ 12 \u003d δ 21 - przemieszczenie z siły jednostkowej. Th: przemieszczenie w miejscu przyłożenia pierwszej jednostkowej siły w jej kierunku spowodowane przez drugą jednostkową siłę jest równe przemieszczeniu w miejscu przyłożenia drugiej jednostkowej siły w jej kierunku spowodowanemu przez pierwszą jednostkową siłę.

10. Grafowo-analityczna metoda rozwiązywania całki Mohra (metoda Vereshchagina)

Jeśli załadowano. sys - mamy wiele sekcji o różnym zagięciu. momentach, wówczas obliczenie całki jest nieco trudne. Dlatego stosuje się metodę Vereshchagina.

Niech ładunek. wykres momentów ma zarys krzywoliniowy i jednostkę. zakrzywić działkę. momenty mają charakter liniowy (figura), w tym przypadku całka Mohra .(WNIOSEK)

; dw =S y - moment statyczny przestrzeni ładunkowej. Wykresy momentów wokół osi Y.

Moment statyczny dowolnej figury jest równy iloczynowi powierzchni i odległości od osi do środka ciężkości figury, gdzie w jest powierzchnią diagramu ładunku M F ; Z c - odległość od środka ciężkości.

; Jednakże mając wartość momentu od pojedynczego obciążenia pod środkiem ciężkości obciążenia. Wykresy Ponieważ na belkę można przyłożyć kilka obciążeń, przemieszczenie określa się dla każdej sekcji belki - Wzór Vereshchagina, tj. przemieszczenie jest równe powierzchni wykresu krzywoliniowego na rzędną prostoliniowego zakrzywionego diagramu znajdującego się pod środkiem ciężkości. W praktycznych obliczeniach powierzchnia ładunku. diagramy dzielą się na proste diagramy (rysunki).

Układy statystycznie niewyznaczalne Metoda obliczeniowa. System podstawowy i równoważny.

Statycznie niewyznaczalne belki (ramy) tzw. belki (ramy), w których nie można wyznaczyć wszystkich nieznanych reakcji podpór jedynie za pomocą równań statyki, gdyż posiadają one linie komunikacyjne (reakcje). Stopień niepewności statycznej określa się jako różnicę między liczbą nieznanych reakcji a równaniami statyki.

Belki posiadają 4 połączenia podporowe, czyli 4 obręby podporowe. Statyka ur-th dla systemu płaskiego. Możesz zrobić 3, dlatego wiązka jest yavl. 1 raz statyczny Nieokreślony. W celu ujawnienia statycznego na czas nieokreślony jest to konieczne. do ur-th statyki, aby dodać dodatkowe. Ur-e w oparciu o ruch układu. Ustala się ich liczbę. stopień statycznej nieokreśloności. Jeśli jest kilka niewiadomych liniowych, dodaj je. ur-I stan-Xia na podstawie warunków odkształcenia (ugięć) podpory belki metodą parametrów początkowych.

komp. Statyka Ur-I i dodaj. Ur-I dla danej belki: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Dodać. Ur-e piszemy z warunku, że ugięcie podpory B=0. EIY(B)=0. Niektóre sys. stopień statyki nieokreślony wysokie (solidne belki). Dodać. ur-e oblicza się na podstawie warunków odkształcenia (kątów obrotu przekroju) na podporach pośrednich belki metodą siłową. Ze wspólnego rozwiązania statyki ur-th i dodatkowego ur-th znajdujemy wszystkie nieznane reakcje

Po ustaleniu stopnia nieokreśloności statycznej kompiluje się układ podstawowy. Przez układ główny rozumie się taki układ statycznie wyznaczalny, który otrzymuje się z układu statycznie niewyznaczalnego poprzez odrzucenie połączeń liniowych.

Połączenia 6, równania statyki 3. 6-3=3 - 3-krotność statycznego systemu neopredowego

Do wyboru jest wiele podstawowych systemów. Wybierając system główny, konieczne jest, aby był on geometrycznie i natychmiastowo niezmienny.

„zmodyfikowany geometrycznie”, „natychmiast zmodyfikowany”

Do układów zmienianych natychmiastowo zalicza się układy, w których reakcje podporowe przecinają się w jednym punkcie. Jeśli główny system zastosuj zerwane połączenia i obciążenie, a następnie otrzymamy równoważny system.

Rozważmy pierwszy główny system. Rysunek

Rozważmy drugi główny system. Rysunek

Podstawy metody siłowej.

obliczenia metodą siły przeprowadzono poniżej. zamówienie:

1) Ustalanie stopnia nieokreśloności statycznej

2) Wybieramy systemy główne i równoważne. odrzucenie linii komunikacyjnych i zastąpienie ich nieznanymi siłami X1, X2, X3.

3) Zapisz warunki równoważności podanych i równoważnych układów pod względem przemieszczenia

danego systemu równoważny system

Jeżeli dany układ nie porusza się w kierunku nieznanych sił X1,x2,X3, to warunki równoważności będą wyglądać następująco: =0, , =0.

Wyrażamy te przemieszczenia od każdej nieznanej siły i od obciążenia zewnętrznego

Ruchy:

Jeśli chodzi o niewiadome X1, X2, X3, ich wpływ na ruch można przedstawić jako:

X1; = X2; = X3 czyli definicja przemieszczeń z jednostek. siły przyłożone w danym kierunku połączenia pomnóż je przez odpowiednie nieznane siły X. następnie przemieszczenia ur w kierunku 3 nieznanych połączeń przyjmą postać.

Twierdzenie o wzajemności pracy. Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń

Rozważmy układ odkształcalny liniowo w dwóch różnych stanach odpowiadających dwóm różnym obciążeniom (rys. 5.15) Dla uproszczenia obliczeń rozważmy prostą belkę dwupodporową obciążaną sekwencyjnie dwiema siłami skupionymi.

Rysunek 15. Bezpośrednia i odwrotna kolejność stosowania obciążenia

Porównując całkowitą pracę dla bezpośredniej i odwrotnej kolejności przyłożenia obciążeń, otrzymujemy

Praca faktycznie wykonana przez siłę podczas przemieszczeń spowodowanych inną siłą lub siłami nazywana jest pracą dodatkową.

Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności pracy praca sił pierwszego stanu powodująca przemieszczenie drugiego stanu jest równa pracy sił drugiego stanu powodująca przemieszczenie pierwszego stanu.

Podobnie można wykazać wzajemność dodatkowej pracy sił wewnętrznych.

Rysunek 16. Wzajemność dodatkowej pracy sił wewnętrznych.

Korzystając z prawa zachowania energii, można wykazać, że dodatkowa praca sił zewnętrznych jest w wartości bezwzględnej równa dodatkowej pracy sił wewnętrznych:

Nabierający

otrzymujemy twierdzenie o wzajemności przemieszczeń.

Przesunięcie punktu przyłożenia drugiej jednostki siły w jej kierunku, spowodowane przez drugą jednostkę siły, jest równe przemieszczeniu punktu przyłożenia drugiej jednostki siły w kierunku tej ostatniej, spowodowanemu działaniem siła pierwszej jednostki.

Wyznaczanie przemieszczeń metodą Mohra

Zamiast układu sił F 1 i F 2 wprowadzamy stan ładunkowy i pomocniczy:

Rysunek 17. Wprowadzenie stanów ładunkowych i pomocniczych

Napiszmy twierdzenie o wzajemności pracy dla tych dwóch stanów:

Po zsumowaniu poszczególnych odcinków belki otrzymujemy całkę Mohra

Przykład 5.2. Rozważmy przykład wykorzystania całki Mohra do określenia przemieszczeń belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną

Rysunek 18. Budowa schematu obciążenia i pomocniczego belki wspornikowej

Korzystamy z całki Mohra.

W praktyce podejście to jest trudne w zastosowaniu. Trudność tę pokonuje organizacja integracji, integrację można łatwo wdrożyć na komputerze.

Grafowo-analityczna metoda wyznaczania przemieszczeń podczas zginania. Metoda Vereshchagina

Wprowadzamy dwie okoliczności upraszczające:

Funkcja liniowa w rozpatrywanym obszarze.

Rysunek 19 Grafowo-analityczne obliczanie całki Mohra

Ostatnia całka to moment statyczny figury ABCD względem osi y. Praca

reprezentuje rzędną wziętą na schemacie pomocniczym pod środkiem ciężkości ładunku.

gdzie n jest numerem sekcji.

Przykład 5.3. Rozważmy ponownie belkę wspornikową

Rysunek 20. Zastosowanie metody Vereshchagina dla belki wspornikowej

Trudniejsze przypadki:

1. Mnożenie trapezu przez trapez

Ryż. 21. Pomnóż trapez przez trapez

Aby pomnożyć trapez przez trapez, możesz przystąpić do mnożenia prostokąta przez trapez i trójkąta przez trapez.

Definicja mnożenia prostokąta przez trapez oznacza, że ​​wzdłuż prostokąta bierzemy A f, a wzdłuż trapezu M k c.

Reguła permutacji działa tylko na diagramach liniowych.

2. Odcinek paraboliczny

Rysunek 22. Powierzchnia i położenie środka ciężkości segmentu parabolicznego

3. Wklęsły trójkąt paraboliczny

Rysunek 23. Pole i położenie środka ciężkości wklęsłego trójkąta parabolicznego

4. Trójkąt wypukły

Rysunek 24. Pole i położenie środka ciężkości wypukłego trójkąta parabolicznego

5. Wypukły trapez paraboliczny.

Rysunek 25. Podział obszarów i położenie środków ciężkości dla wypukłego trapezu parabolicznego

Przykład: 5.4. Rozważmy bardziej złożony przypadek obciążenia belki wspornikowej, gdy działają wszystkie trzy rodzaje obciążeń zewnętrznych. Konieczne jest określenie maksymalnego kąta obrotu belki

Ryż. Belka wspornikowa z jednoczesnym działaniem trzech obciążeń

ja tak. Zamieńmy diagram M f na zbiór prostszych figur.

oznacza to, że wierzchołek paraboli znajduje się na zewnątrz belki.

Aby zbudować diagram pomocniczy, musisz:

1. Rozważ belkę bez obciążeń zewnętrznych.

2. W danym punkcie zastosować odpowiednio F=1 lub M=1, aby wyznaczyć ugięcie lub kąt obrotu. Kierunek działania obciążeń zewnętrznych jest dowolny.

3. Rozważając obciążenie jednostkowe jako zewnętrzne, wyznaczamy reakcje i budujemy diagramy.

Wzór na określenie kąta obrotu metodą Vereshchagina będzie miał następującą formę

gdzie - rzędna przyjęta na schemacie pomocniczym M pod środek ciężkości diagramu ładunku - z uwzględnieniem podziału diagramu ładunku na figury elementarne

Konstruując zakrzywioną oś belki, używamy:

1. Znak uogólnionego przemieszczenia. W rozpatrywanym przypadku punkt jest obracany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

2. Skorzystaj ze znaku momentu zginającego na wykresie obciążenia.

Przybliżony widok osi zgiętej belki pokazano na ryc. 5.24.

II sposób. Stosowanie zasady superpozycji.

Ryż Stosowanie zasady superpozycji

Dowód twierdzenia o wzajemności pracy

Zaznaczmy na belce dwa punkty 1 i 2 (ryc. 15.4, a).

Przykładamy statycznie w punkcie 1 siłę. Spowoduje to ugięcie w tym miejscu, a w punkcie 2 -.

Do wyznaczania przemieszczeń używamy dwóch wskaźników. Pierwszy indeks oznacza miejsce ruchu, a drugi - przyczynę powodującą ten ruch. Czyli prawie jak na kopercie listowej, gdzie wskazujemy: gdzie i od kogo.

Oznacza to na przykład ugięcie belki w punkcie 2 od obciążenia.

Po zakończeniu wzrostu siły. przykładamy w punkcie 2 do zdeformowanego stanu belki siłę statyczną (15.4, b). Belka otrzyma dodatkowe ugięcia: w punkcie 1 i w punkcie 2.

Wyraźmy pracę, jaką te siły wykonują przy odpowiednich przemieszczeniach: .

Tutaj pierwszy i trzeci termin to sprężysta praca sił i . Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona mają one współczynnik . Drugi człon nie ma tego współczynnika, gdyż siła nie zmienia swojej wartości i wykonuje możliwą pracę nad przemieszczeniem wywołanym inną siłą.

Bazując na twierdzeniu o wzajemności pracy (9), mamy F 1 δ 12 =F 2 δ 21, ale jeśli to zaakceptujemy F 1 =F 2 = 1, wtedy otrzymujemy δ 12 =δ 21 lub ogólnie

δ ja = δ ji . (10)

„Przesunięcie punktu przyłożenia pierwszej jednostki siły w jej kierunku, spowodowane przez drugą jednostkę siły, jest równe przemieszczeniu punktu przyłożenia drugiej jednostki siły w jej kierunku, spowodowanemu przez pierwszą siłę jednostkową. "

Wykład 9

Definicja ruchów. Całka Mohra

Rozważmy dwa stany (ryc. 1). Utwórz wyrażenie pracy W 21, czyli praca siły F 2 = 1 przy przemieszczeniu Δ 21:

W 21 = F 2 ∆ 21 = ∆ 21 . (1)

Zgodnie ze wzorem (7) z Wykładu 8 otrzymujemy

W 12 = W – W 11 – W 22 , (2)

(3)

M, N, Q są momentami, siłami normalnymi i poprzecznymi z całkowitego działania sił F 1 i F 2 (ryc. 7 wykład 8), tj.

M=M 1 + M 2 , N= N 1 + N 2 , Q= Q 1 + Q 2 . (4)

Wartości (4) podstawia się do wzoru (3), a wynik i wyrażenia W 11 i W 22 - do wzoru (2). W rezultacie otrzymujemy

i biorąc pod uwagę równość (1) mamy

gdzie kreski pokazują, że wartości te wynikają z sił jednostkowych.

Wzór (6) można zapisać w postaci ogólnej:

Wyrażenie (7) jest wzorem na określenie przemieszczeń w określonym przekroju konstrukcji lub Całka Mohra(Wzór Mohra).

Przy obliczaniu belek i ram uwzględnia się jedynie wpływ momentów zginających M, ale wpływ N I Q zaniedbany.

Reguła Wierieszczagina

„Całka z iloczynu dwóch funkcji, z których jedna jest liniowa, a druga dowolna, jest równa polu dowolnej funkcji pomnożonemu przez rzędną funkcji prostokątnej leżącej pod środkiem ciężkości obszaru dowolną funkcję.”

Na przykład mamy dwa wykresy momentów M F I
(ryc. 2), następnie według wzoru (7) otrzymujemy, korzystając z reguły Vereshchagina:

(8)

Zapiszmy jeszcze trzy stwierdzenia wynikające z reguły Wierieszczagina:

1. Ordynacja Na Z należy wziąć z diagramu liniowego. Jeśli oba diagramy są prostoliniowe, wówczas rzędna Na Z można wziąć z dowolnego

2. Diagramy zwielokrotnione nie powinny mieć przerw. Jeśli są dostępne, diagramy należy pomnożyć przez sekcje.

3. Aby pomnożyć dwa diagramy prostoliniowe (ryc. 3), możesz skorzystać ze wzoru:

Przykład. Niech będzie podana belka obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem Q(ryc. 4). Oblicz ugięcie belki w tym punkcie Z z jego sztywnością zginania EI= stała Przy obliczeniach uwzględniamy jedynie wpływ momentów zginających, dlatego przyjmujemy całkę Mohra w postaci (8):

(9)

Gdzie

Oblicz przemieszczenie Δ Z korzystając z całki Mohra (9):

Oblicz przemieszczenie Δ Z korzystając z całki Mohra (9), ale stosując zasadę mnożenia diagramów Vereshchagina:

Wykład 10

Wyznaczanie przemieszczenia przekroju pręta układu prętów płaskich statycznie wyznaczalnych pod wpływem obciążenia zewnętrznego

Przyjrzyjmy się temu tematowi na konkretnych przykładach.

Przykład 1 . Wyznaczmy ugięcie końca konsoli (ryc. 1). Zbudujmy wykres obciążenia momentów i wykres momentów zginających z jednostkowej siły przyłożonej na końcu wspornika (rys. 1). Korzystając z reguły Wierieszczagina mamy:

Przykład 2 Określ przesunięcie poziome punktu Z ramka pokazana na rys. 2.

A MF

Skonstruujmy wykresy momentów zginających od obciążenia zewnętrznego ( M F) i od siły R= 1 zastosowany w punkcie Z w kierunku żądanego przemieszczenia poziomego (
), Następnie

Znak (-) w odpowiedzi oznacza przesunięcie poziome punktu Z i kierunek siły jednostkowej R= 1 nie pasuje.

Przykład 3 Zdefiniuj poziome przemieszczenie punktu W od skoncentrowanej siły F(ryc. 3).

W przypadku belki zakrzywionej moment zginający w dowolnym punkcie Z można zapisać jako:

Jeśli w jednym punkcie zostanie przyłożona siła jednostkowa W w kierunku działania zewnętrznej siły skupionej F(w kierunku żądanego ruchu), następnie

a następnie poziome przemieszczenie punktu W biorąc pod uwagę tylko moment zginający,

Znaleźć przemieszczenie poziome punktu W biorąc pod uwagę tylko siły normalne N F, w tym przypadku

Uwzględniamy wpływ siły poprzecznej Q F o wartość przemieszczenia poziomego tego samego punktu W:

Poziomy ruch punktowy W biorąc pod uwagę moment zginający, będą normalne i poprzeczne siły wewnętrzne

Biorąc to pod uwagę dla przekroju prostokątnego I z =bh 3 /12,A =bh, a także to G= 0,5mi/(1 +ν ), To

Więc jeśli ( R/ H) > 1, to przy wyznaczaniu przemieszczenia poziomego można pominąć wpływ sił normalnych i poprzecznych.