Niech zostanie podana tabela wartości funkcji tak, ja w węzłach X 0 < х 1 < ... < х п .Oznaczać h ja \u003d x ja - x ja -1 , I= 1, 2, ... , P.

Klin jest gładką krzywą przechodzącą przez dane punkty ( x ja, tak, ja), ja = 0, 1, ... , P. Interpolacja spline polega na tym, że na każdym segmencie [ x ja -1 , x ja]używa się wielomianu pewnego stopnia. Najczęściej stosowanym wielomianem jest trzeci stopień, rzadziej drugi lub czwarty. W tym przypadku do wyznaczenia współczynników wielomianów wykorzystuje się warunki ciągłości pochodnych w węzłach interpolacji.

Interpolacja za pomocą splajnów sześciennych reprezentuje lokalną interpolację, gdy w każdym segmencie [ x ja -1 , x ja], ja = 1, 2, ... , P stosuje się krzywą sześcienną spełniającą określone warunki gładkości, a mianowicie ciągłość samej funkcji oraz jej pierwszej i drugiej pochodnej w punktach węzłowych. Zastosowanie funkcji sześciennej wynika z następujących rozważań. Jeśli założymy, że krzywa interpolacji odpowiada elastycznej linijce ustalonej w punktach ( x ja, tak, ja), to z przebiegu wytrzymałości materiałów wiadomo, że krzywa ta jest definiowana jako rozwiązanie równania różniczkowego F(iv) ( X) = 0 w przedziale [ x ja -1 , x ja] (dla uproszczenia prezentacji nie bierzemy pod uwagę kwestii związanych z wymiarami fizycznymi). Ogólnym rozwiązaniem takiego równania jest wielomian trzeciego stopnia z dowolnymi współczynnikami, który wygodnie zapisać jako
Si(X) = ja + b ja(X - x ja -1) +z ja(X - x ja -1) 2 + ja(X - x ja -1) 3 ,
x ja-1 £ X £ x ja, ja = 1, 2, ... , P.(4.32)

Współczynniki funkcji Si(X) wyznaczane są z warunków ciągłości funkcji oraz jej pierwszej i drugiej pochodnej w węzłach wewnętrznych x ja,I= 1, 2,..., P - 1.

Ze wzorów (4.32) z X = x ja-1 otrzymujemy

Si(x ja- 1) = tak, ja -1 = i, ja = 1, 2,..., P,(4.33)

i o godz X = x ja

Si(x ja) = ja + b i h ja +z ja, ja 2 + d ja h ja 3 ,(4.34)

I= 1, 2,..., N.

Warunki ciągłości funkcji interpolacyjnej zapisuje się jako Si(x ja) = Si -1 (x ja), I= 1, 2, ... , N- 1 i z warunków (4.33) i (4.34) wynika, że ​​są one wykonalne.

Znajdźmy pochodne funkcji Si(X):

S" tj(X) =b ja + 2z ja(X - x ja -1) + 3di(X – x ja -1) 2 ,

S" tj(X) = 2ci + 6ja(x - x ja -1).

Na X = x ja-1, mamy S" tj(x ja -1) = b ja, S" (x ja -1) = 2z ja, i kiedy X = x ja dostajemy

S" tj(x ja) = b ja+ 2z ja, ja+ 3heh ja 2 , S" (x ja) = 2z ja + 6d ja h ja.

Warunki ciągłości pochodnych prowadzą do równań

S" tj(x ja) =Si +1 (x ja) Þ b ja+ 2z ja, ja+ 3heh ja 2 = b ja +1 ,

I= l, 2,... , P - 1. (4.35)

S" tj (x ja) = S" tj +1 (x ja) Þ 2 z ja + 6d ja h ja= 2c ja +1 ,

I=l, 2,..., N- 1. (4.36)

W sumie mamy 4 N– 2 równania do ustalenia 4 N nieznany. Aby otrzymać jeszcze dwa równania stosuje się dodatkowe warunki brzegowe, np. wymóg zerowej krzywizny krzywej interpolacji w punktach końcowych, czyli równość drugiej pochodnej do zera na końcach odcinka [ A, B]A = X 0 , B= x rz:

S" 1 (X 0) = 2C 1 = 0 Z 1 = 0,

S”n(x rz) = 2z n + 6d n h n = 0 Þ z n + 3d n h n = 0. (4.37)

Układ równań (4.33)–(4.37) można uprościć i otrzymać rekurencyjne wzory do obliczania współczynników sklejanych.

Z warunku (4.33) mamy jednoznaczne wzory na obliczanie współczynników ja:

ja = tak, ja -1 , ja= 1,..., N. (4.38)

Wyrazić ja Poprzez c ja korzystając z (4.36), (4.37):

; I = 1, 2,...,N; .

Włóżmy z n+1 = 0, a następnie dla ja otrzymujemy jedną formułę:

, I = 1, 2,...,N. (4.39)

Zastępujemy wyrażenia ja I ja na równość (4.34):

, I= 1, 2,..., N.

i ekspresowe b ja, Poprzez z ja:

, I= 1, 2,..., N. (4.40)

Wykluczmy z równań (4.35) współczynniki b ja I ja korzystając z (4.39) i (4.40):

I= 1, 2,..., N -1.

Stąd otrzymujemy układ równań do wyznaczania z ja:

Układ równań (4.41) można przepisać jako

Tutaj wprowadziliśmy notację

, I =1, 2,..., N- 1.

Rozwiązujemy układ równań (4.42) metodą przemiatania. Z pierwszego równania wyrażamy Z 2 przez Z 3:

C 2 = a2 C 3 + b2 , , . (4,43)

Podstawiamy (4.43) do drugiego równania (4.42):

H 2 (2 C 3 + b 2) + 2( H 2 + H 3)C 3 +h 3 C 4 = G 2 ,

i ekspresowe Z 3 do końca Z 4:

Z 3 = 3 Z 4 + b 3 , (4,44)

Przy założeniu, że z ja-1 = a I -1 c ja+b I-1 z I równanie (4.42) otrzymujemy

c ja= za ja z ja+1+b I

, I = 3,..., N– 1, A N= 0, (4,45) do n +1 = 0,

c ja= za ja z ja+1+b I, I= N, N -1,..., 2, (4.48)

C 1 = 0.

3. Obliczanie współczynników ja, b ja,ja:

ja = tak, ja -1 ,

I= 1, 2,..., N.

4. Obliczenie wartości funkcji za pomocą splajnu. Aby to zrobić, znajdź taką wartość Iże podana wartość zmiennej X należy do segmentu [ x ja -1 , x ja] i oblicz

Si(X) = ja + b ja(X - x ja -1) +z ja(X - x ja -1) 2 + ja(X - x ja -1) 3 . (4.50)

Człowiek może rozpoznać swoje umiejętności jedynie próbując je zastosować. (Seneka)

Interpolacja splajnami: przykład budowy splajnu w programie STATYSTYKA

Struktura danych

Podajmy wartości nieznanej funkcji w pewnym zbiorze punktów. (W rzeczywistości zmienna y są wartościami funkcji y=grzech na punktach z odcinka.)

Na podstawie tych danych za pomocą programu konstruujemy krzywą interpolacyjną STATYSTYKA.

Krok 1 Wybierzmy Wykresy 2M – wykres rozrzutu w menu Grafika.

Krok 2 Otwórzmy kartę Dodatkowo, wybierz jako zmienne X I y, jak pasuje - Splajny.

Naciśnij przycisk OK, a na ekranie pojawi się skonstruowany wykres rozrzutu, na którym niebieskie znaczniki wskazują wartości początkowe, pomiędzy którymi rysowana jest krzywa interpolacyjna.

Zmieńmy liczbę punktów.

Teraz mamy zestaw dwudziestu punktów jako dane początkowe.

Powtarzając powyższe kroki, otrzymujemy:

Spróbujmy także zbudować splajn na zbiorze pięćdziesięciu punktów.

Fragment tabeli danych początkowych:

Wynik:

Na koniec spróbujmy zbudować splajn z punktów losowo narzuconych na segment.

Dane początkowe (fragment tabeli):

Wykres skonstruowany w podobny sposób:

Porównajmy teraz otrzymane wyniki z oryginalną funkcją y=grzech, którego wykres wygląda tak:

Jak widać, splajny dość dokładnie interpolują pierwotną funkcję.

Można zauważyć, że jeśli pierwotna funkcja oscyluje silnie, to liczba punktów powinna być duża – rzędu liczby okresów, ale w praktyce takie przypadki są rzadkie.

Prawdziwy przykład: kliniczne badanie leku

Wróćmy do z życia wziętego przykładu wykorzystania splajnów w badaniach klinicznych leków, o którym była już mowa na samym początku.

Bardzo ważną cechą produktu leczniczego jest tzw. AUC (Pole pod krzywą stężenia leku w osoczu w czasie) - pole pod krzywą stężenia w czasie.

Krzywa ta odzwierciedla rzeczywisty wpływ leku na organizm człowieka po wprowadzeniu określonej dawki. Wartość AUC mierzy się w mg h/l. Pole pod krzywą zależy od szybkości eliminacji leku z organizmu i podanej dawki. Całkowitą ilość leku usuniętą z organizmu można obliczyć poprzez zsumowanie lub całkowanie ilości leku usuniętego w każdym indywidualnym momencie.

Wartość AUC jest wprost proporcjonalna do dawki podanego leku dla leków o farmakokinetyce liniowej i odwrotnie proporcjonalna do tzw. klirens leku. Im większy klirens, tym krócej lek przebywa w układzie krążenia i tym szybciej zmniejsza się jego stężenie w osoczu. W tym przypadku wpływ leku na organizm i pole pod krzywą stężenia w czasie jest mniejsze.

W badaniach klinicznych zależność stężenia leku we krwi w czasie można określić mierząc stężenie w poszczególnych punktach czasowych. Następnie sporządza się wykres stężenia i szacuje się AUC.

Często do oszacowania AUC stosuje się metodę trapezową: obszar pod wykresem stężenie-czas dzieli się na trapezoidy, a AUC oblicza się poprzez zsumowanie pól tych trapezoidów (co jest zasadniczo równoważne interpolacji za pomocą funkcji liniowych).

AUC=AUC0-2+AUC2-4+AUC4-6+AUC6-8+AUC8-10+AUC10-12+AUClast-nieskończoność

W tym samym artykule podamy przykład dokładniejszego oszacowania AUC uzyskanego poprzez interpolację funkcji stężenia za pomocą splajnów sześciennych.

Niech będą dane dotyczące stężeń uzyskane w trakcie badania:

Zbudujmy na nich wykres rozrzutu i interpolujmy wartości za pomocą splajnu w programie STATYSTYKA.

Jak widać z wykresu, maksymalna wartość stężenia C pmax = 29,78 mg/l odpowiada czasowi t max = 8 h. Skorzystajmy z edytora danych wykresu i uzyskajmy pasujące wartości:

Wartość AUC obliczamy za pomocą metody trapezowej opisanej powyżej. Otrzymujemy AUC = 716,11 mg h / l.

Bibliografia:

V.P. Borovikov. STATYSTYKA . Sztuka analizy danych na komputerze: dla profesjonalistów (wydanie II), St. Petersburg: Peter, 2003. - 688 s.: il.

MI.A. Wołkow. Metody numeryczne. Moskwa, „Nauka”, Główna Redakcja literatury fizycznej i matematycznej , 1987

Wzory interpolacyjne Lagrange'a, Newtona, Stirlinga itp. przy zastosowaniu dużej liczby węzłów interpolacyjnych na całym odcinku [ A, B] często prowadzą do złego przybliżenia ze względu na kumulację błędów w procesie obliczeniowym. Ponadto, ze względu na rozbieżność procesu interpolacji, zwiększenie liczby węzłów niekoniecznie prowadzi do wzrostu dokładności. Aby ograniczyć błędy, cały segment [ A, B] dzieli się na częściowe odcinki i na każdym z nich funkcję zastępuje się w przybliżeniu wielomianem niskiego stopnia. Nazywa się to odcinkowa interpolacja wielomianowa.

Jedna z metod interpolacji na całym odcinku [ A, B] Jest interpolacja spline.

Klin nazywa się funkcją wielomianu odcinkowego określoną na przedziale [ A, B] i posiadający pewną liczbę ciągłych pochodnych na tym przedziale. Zalety interpolacji splajnowej w porównaniu z konwencjonalnymi metodami interpolacji polegają na zbieżności i stabilności procesu obliczeniowego.

Rozważ jeden z najczęstszych przypadków w praktyce - interpolację funkcji splajn sześcienny.
Niech na odcinku [ A, B] jest funkcją ciągłą. Wprowadźmy podział segmentu:

i oznaczać , .

Splajn odpowiadający danej funkcji i węzłom interpolacji (6) jest funkcją spełniającą następujące warunki:

1) na każdym odcinku funkcja jest wielomianem sześciennym;

2) funkcja oraz jej pierwsza i druga pochodna są ciągłe na przedziale [ A, B] ;

Trzeci warunek to tzw warunek interpolacji. Nazywa się splajn zdefiniowany przez warunki 1) - 3). interpolujący splajn sześcienny.

Rozważmy metodę konstruowania splajnu sześciennego.

Na każdym z segmentów będziemy szukać funkcji sklejanej w postaci wielomianu trzeciego stopnia:

(7)

Gdzie pożądane współczynniki.

Różniczkujemy (7) trzy razy ze względu na X:

skąd wynika

Z warunku interpolacji 3) otrzymujemy:

Wynika to z warunków ciągłości funkcji.

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej

Federalna państwowa budżetowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej

„Uniwersytet Stanowy Don”

Katedra „Oprogramowania dla Inżynierii Komputerowej i Systemów Zautomatyzowanych” „POVT i AS”

Specjalność: Wsparcie matematyczne i administracja systemami informatycznymi

PRACA KURSOWA

w dyscyplinie „Metody obliczeń”

na temat: „Interpolacja splajnami”

Kierownik pracy:

Miedwiediew Tatiana Aleksandrowna

Rostów nad Donem

ĆWICZENIA

na pracę semestralną w dyscyplinie „Metody Obliczeniowe”

Student: Alexander Moiseenko Grupa VBMO21

Temat: "Interpolacja za pomocą splajnów"

Termin nadsyłania prac na obronę „__” _______ 201_

Wstępne dane do pracy semestralnej: notatki z wykładów na temat metod obliczeniowych, ru.wikipedia.org, książka. Warsztaty z matematyki wyższej Sobol B.V.

Sekcje części głównej: 1 PRZEGLĄD, 2 FORMUŁA INTERPOLACJI, 3 ALGORYTM INTERPOLACJI KOSIEK, 4 PROJEKT OPROGRAMOWANIA, 5 WYNIKI DZIAŁANIA OPROGRAMOWANIA.

Kierownik pracy: /Medvedeva T.A./

ABSTRAKCYJNY

Raport zawiera: strony-19, wykresy-3, źródła-3, schemat blokowy-1.

Słowa kluczowe: INTERPOLACJA, SPLINE, System Mathcad, INTERPOLACJA sześcienna PRZEZ SPLAJNY.

Szczegółowo omówiono metodę interpolacji za pomocą splajnów sześciennych. Przedstawiony zostanie odpowiedni moduł oprogramowania. Pokazano schemat blokowy modułu programu. Rozważano kilka przykładów.

WSTĘP

1. PRZEGLĄD TEORETYCZNY

2. INTERPOLACJA

2.1 Interpolacja za pomocą splajnu kwadratowego

2.2 Interpolacja za pomocą splajnu sześciennego

2.3 Opis problemu

3. ALGORYTM INTERPOLACJI Z WYKORZYSTANIEM sklejanej sześciennej

4. PROJEKTOWANIE OPROGRAMOWANIA

5. WYNIKI DZIAŁANIA OPROGRAMOWANIA

5.1 Opis przykładów

5.2 Wynik testu

5.3 Przypadek testowy 1

5.4 Przypadek testowy 2

5.5 Przypadek testowy 3

WNIOSEK

BIBLIOGRAFIA

WSTĘP

Aproksymacja funkcji polega na przybliżonym zastąpieniu danej funkcji F(X) przez jakąś funkcję j( X) tak, że odchylenie funkcji j( X) z F(X) na danym obszarze była najmniejsza. Funkcja j( X) nazywa się przybliżeniem. Typowym problemem aproksymacji funkcji jest problem interpolacji. Potrzeba interpolacji funkcji wynika głównie z dwóch powodów:

1. Funkcja F(X) posiada złożony opis analityczny, co powoduje pewne trudności w jego zastosowaniu (np. F(X) jest funkcją specjalną: funkcją gamma, funkcją eliptyczną itp.).

2. Analityczny opis funkcji F(X) nieznany, tj. F(X) podano w tabeli. W takim przypadku konieczne jest posiadanie opisu analitycznego, który w przybliżeniu reprezentuje F(X) (na przykład, aby obliczyć wartości F(X) w dowolnych punktach, definicje całek i pochodnych F(X) i tak dalej.).

1. PRZEGLĄD TEORETYCZNY

Interpolacja – w matematyce obliczeniowej sposób znajdowania wartości pośrednich wielkości z istniejącego dyskretnego zbioru znanych wartości. Rozwiązując problemy z obliczeniami naukowymi i inżynierskimi, często konieczne jest operowanie zbiorami wartości uzyskanymi empirycznie lub metodą losowego pobierania próbek. Z reguły na podstawie tych zbiorów należy skonstruować funkcję, na którą z dużą dokładnością mogłyby spaść inne otrzymane wartości. Problem ten nazywa się aproksymacją funkcji. Interpolacja jest rodzajem przybliżenia funkcji, w którym krzywa skonstruowanej funkcji przechodzi dokładnie przez dostępne punkty danych.

Splajn to funkcja, której dziedzina definicji jest podzielona na skończoną liczbę odcinków, na każdym z nich splajn pokrywa się z jakimś wielomianem algebraicznym. Maksymalny stopień zastosowanych wielomianów nazywany jest stopniem splajnu. Różnica między stopniem splajnu a wynikającą z niego gładkością nazywana jest wadą splajnu.

Splajny pozwalają skutecznie rozwiązywać problemy przetwarzania zależności eksperymentalnych pomiędzy parametrami o dość złożonej strukturze.

Splajny sześcienne znalazły szerokie zastosowanie praktyczne. Główne idee teorii splajnów sześciennych powstały w wyniku prób matematycznego opisu elastycznych szyn wykonanych z materiału sprężystego (wypustów mechanicznych), które od dawna stosowane są przez rysowników w przypadkach, gdy konieczne stało się narysowanie wystarczająco gładkiej krzywej przez dane punkty. Wiadomo, że szyna wykonana z materiału sprężystego, zamocowana w określonych punktach i znajdująca się w położeniu równowagi, przyjmuje postać, w której jej energia jest minimalna. Ta podstawowa właściwość umożliwia efektywne wykorzystanie splajnów w rozwiązywaniu praktycznych problemów przetwarzania informacji eksperymentalnych.

2. INTERPOLACJA

2.1 Interpolacja za pomocą splajnu kwadratowego

Zatem na każdym częściowym segmencie interpolacji zbudujemy funkcję postaci:

Będziemy szukać współczynników spline z następujących warunków:

a) Warunki Lagrange'a

b) ciągłość pierwszej pochodnej w punktach węzłowych

Dwa ostatnie warunki dają równania, natomiast liczba nieznanych współczynników. Brakujące równanie można uzyskać na podstawie dodatkowych warunków nałożonych na zachowanie splajnu. Można na przykład wymagać, aby wartość pierwszej pochodnej sklejanej s 1 w punkcie x 0 wynosiła zero, tj.

Podstawienie tych wyrażeń prowadzi do następujących równań

gdzie oznaczenie

Wyraźmy współczynniki z drugiego równania C 1 , po podstawieniu do niego wartości współczynników A 1 z pierwszego równania:

Następnie podstawiając to wyrażenie do równania układu otrzymujemy prostą relację rekurencyjną dla współczynników

Teraz algorytm wyznaczania współczynników splajnów staje się dość oczywisty. Najpierw za pomocą wzoru określamy wartości wszystkich współczynników, biorąc pod uwagę fakt, że. Następnie zgodnie ze wzorem obliczamy współczynniki. Współczynniki wyznacza się z pierwszego równania układu. W takim przypadku procedurę obliczania współczynników splajnów należy wykonać tylko raz.

Po obliczeniu współczynników, aby obliczyć sam splajn, wystarczy określić numer przedziału, w którym mieści się punkt interpolacji, i skorzystać ze wzoru. Aby określić numer przedziału, użyjemy algorytmu podobnego do tego użytego w poprzednim przykładzie dla odcinkowej interpolacji kwadratowej.

2.2 Interpolacja za pomocą splajnu sześciennego

Splajn interpolacji sześciennej , odpowiednie dla tej funkcji F(X) i dane węzły X I, nazywa się funkcją S(X), spełniający następujące warunki:

1. W każdym segmencie [ X I- 1 , X I], ja = 1, 2, ..., N funkcjonować S(X) jest wielomianem trzeciego stopnia,

2. Funkcja S(X), a także jego pierwsza i druga pochodna są ciągłe na przedziale [ a, b],

3. S(X I)= f(X I), ja = 0, 1, ..., N.

Na każdym z segmentów [X I- 1 , X I], ja = 1, 2, ..., N będziemy szukać funkcji S(X)=S I(X) w postaci wielomianu trzeciego stopnia:

S I(X)= za I+b I(x-x I- 1)+c I(x-x I- 1) 2 +d I(X- 1) 3 ,

X I- 1 Ј XЈ X I,

Gdzie A I,B I, C I, D I- współczynniki do ustalenia w ogóle N segmenty elementarne. Aby układ równań algebraicznych miał rozwiązanie, liczba równań musi być dokładnie równa liczbie niewiadomych. Więc powinniśmy dostać 4 N równania.

Pierwszy 2 N równania otrzymujemy z warunku, że wykres funkcji S(X) musi przechodzić przez dane punkty, tj.

S I(X I- 1)= y I- 1 , S I(X I) = y I.

Warunki te można zapisać jako:

S I(X I- 1)= za I= y I- 1 ,

S I(X I)= za I+b IH I+c Igodz. + re Ih = y I,

H I= x I-X I- 1 , ja = 1, 2, ..., N.

Następny 2 N- 2 równania wynikają z warunku ciągłości pierwszej i drugiej pochodnej w węzłach interpolacji, czyli warunku gładkości krzywej we wszystkich punktach.

S" ja + 1 (X I)=S” I(X I), ja = 1, ..., N - 1,

S"" ja + 1 (X I)=S"" I(X I), ja = 1, ..., N - 1,

S" I(X)= b I + 2 C I(x-x I- 1) + 3 D I(x-x I- 1),

S" ja + 1 (X)= b ja + 1 + 2 C ja + 1 (x-x I) + 3 D ja + 1 (x-x I).

Zrównywanie w każdym węźle wewnętrznym x = x I wartości tych pochodnych, obliczone w przedziałach po lewej i prawej stronie węzła, otrzymujemy (biorąc pod uwagę H I= x I-X I- 1):

B ja + 1 = b I + 2 H IC I + 3H D I, ja = 1, ..., N - 1,

S"" I(X) = 2 C I + 6 D I(x-x I- 1),

S"" ja + 1 (X) = 2 C ja + 1 + 6 D ja + 1 (x-x I),

Jeśli X = X I

C ja + 1 = ok I + 3 H ID I, ja = 1, 2, ..., N- 1.

Na tym etapie mamy 4 N nieznane i 4 N- 2 równania. Dlatego należy znaleźć jeszcze dwa równania.

Przy swobodnym mocowaniu końców krzywiznę linii w tych punktach można zrównać z zerem. Z warunków zerowej krzywizny na końcach wynika, że ​​drugie pochodne są równe zero w tych punktach:

S 1" " (X 0) = 0 i S N" "(X N) = 0,

C I = 0 I 2 C N + 6 D NH N = 0.

Równania stanowią układ liniowych równań algebraicznych do wyznaczenia 4 N współczynniki: A I,B I, C I, D I (I = 1, 2, . . ., N).

System ten można sprowadzić do wygodniejszej formy. Z warunku możesz od razu znaleźć wszystkie współczynniki A I .

ja = 1, 2, ..., N- 1,

Podstawiając otrzymujemy:

B I = - (C ja + 1 + 2C I), ja = 1, 2, ..., N- 1,

B N = - (H NC N)

Usuń współczynniki z równania B I I D I. Ostatecznie otrzymujemy następujący układ równań tylko dla współczynników Z I:

C 1 = 0 i C n+ 1 = 0:

H I- 1 C I- 1 + 2 (H I- 1 + H I) C I+h IC ja + 1 = 3 ,

ja = 2, 3, ..., N.

Według znalezionych współczynników Z I łatwe do obliczenia D I,B I.

2.3 Opis problemu

W segmencie [ a, b] są podane N + 1 zwrotnica X I = X 0 , X 1 , . . ., X N, które nazywane są węzłami interpolacja , i wartość jakiejś funkcji F(X) w tych punktach

F(X 0)= y 0 , F(X 1) = y 1 , . . ., F(X N)= y N.

Wykorzystanie splajnów sześciennych do zbudowania funkcji interpolacyjnej F(X).

3. ALGORYTM INTERPOLACJI Z WYKORZYSTANIEM sklejanej sześciennej

Zapoznajmy się z algorytmem programu.

1. Oblicz wartości i

2. Na podstawie tych wartości obliczamy współczynniki przemiatania i o.

3. Na podstawie uzyskanych danych obliczamy współczynniki

4. Następnie obliczamy wartość funkcji za pomocą splajnu.

4. PROJEKTOWANIE OPROGRAMOWANIA

5. WYNIKI OPROGRAMOWANIA

5.1 Opis przypadków testowych

W trakcie zajęć opracowano moduł oprogramowania, który rysuje odpowiadającą im krzywą poprzez dostępne punkty. W celu sprawdzenia efektywności pracy przeprowadzono przypadki testowe.

5.2 Wyniki testu

Do sprawdzenia poprawności wykonania przypadków testowych wykorzystywana jest funkcja cspline wbudowana w pakiet MATHCAD, która zwraca wektor drugich pochodnych przy dochodzeniu do wielomianu sześciennego w punktach odniesienia.

5.3 Przypadek testowy 1

Rysunek 1.1 – wynik programu

Przypadek testowy 2

Rysunek 1.2 – wynik programu

Przypadek testowy 3

Rysunek 1.3 – wynik programu

WNIOSEK

Obliczeniowa funkcja interpolacji sklejanej

W matematyce obliczeniowej istotną rolę odgrywa interpolacja funkcji, tj. konstrukcja danej funkcji innej (zwykle prostszej), której wartości pokrywają się z wartościami danej funkcji w określonej liczbie punktów. Ponadto interpolacja ma znaczenie zarówno praktyczne, jak i teoretyczne. W praktyce często pojawia się problem odtworzenia funkcji ciągłej z jej wartości tabelarycznych, np. uzyskanych w trakcie jakiegoś eksperymentu. Aby obliczyć wiele funkcji, skuteczne okazuje się aproksymowanie ich za pomocą wielomianów lub ułamkowych funkcji wymiernych. Teorię interpolacji wykorzystuje się przy konstruowaniu i badaniu wzorów kwadraturowych na całkowanie numeryczne, w celu uzyskania metod rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych. Główną wadą interpolacji wielomianowej jest to, że jest ona niestabilna na jednej z najwygodniejszych i najczęściej używanych siatek - siatce o równoodległych węzłach. Jeśli problem na to pozwala, można go rozwiązać, wybierając siatkę z węzłami Czebyszewa. Jeśli jednak nie możemy swobodnie wybierać węzłów interpolacji lub po prostu potrzebujemy algorytmu, który nie będzie zbyt wymagający w wyborze węzłów, wówczas interpolacja racjonalna może być odpowiednią alternatywą dla interpolacji wielomianowej.

Zaletami interpolacji sklejanej jest duża szybkość przetwarzania algorytmu obliczeniowego, ponieważ splajn jest funkcją wielomianu fragmentarycznego i podczas interpolacji dane są przetwarzane jednocześnie dla niewielkiej liczby punktów pomiarowych należących do aktualnie rozpatrywanego fragmentu. Interpolowana powierzchnia opisuje zmienność przestrzenną różnych skal, a jednocześnie jest gładka. Ta ostatnia okoliczność umożliwia bezpośrednią analizę geometrii i topologii powierzchni za pomocą procedur analitycznych.

BIBLIOGRAFIA

1. B.V. Sobol, B.Ch. Meskhi, I.M. Peshkhoev. Warsztaty z matematyki obliczeniowej. - Rostów nad Donem: Phoenix, 2008;

2. N.S. Bachwałow, N.P. Żidkow, G.M. Kobelkow. Metody numeryczne. Wydawnictwo „Laboratorium wiedzy podstawowej”. 2003

3. www.wikipedia.ru/spline

Podobne dokumenty

Metody obliczeniowe algebry liniowej. Interpolacja funkcji. Wielomian interpolacyjny Newtona. węzły interpolacyjne. Wielomian interpolacyjny Lagrange'a. Interpolacja spline. Współczynniki splajnów sześciennych.

praca laboratoryjna, dodano 02.06.2004


W matematyce obliczeniowej interpolacja funkcji odgrywa zasadniczą rolę. Wzór Lagrange’a. Interpolacja według schematu Aitkena. Wzory interpolacyjne Newtona dla równoodległych węzłów. Wzór Newtona z różnicami podzielonymi. Interpolacja spline.

prace kontrolne, dodano 01.05.2011


Skonstruuj wielomian interpolacyjny Newtona. Narysuj wykres i zaznacz na nim węzły interpolacji. Skonstruuj wielomian interpolacyjny Lagrange'a. Wykonaj interpolację sklejaną trzeciego stopnia.

praca laboratoryjna, dodano 02.06.2004


Rola interpolacji funkcji, których wartości pokrywają się z wartościami danej funkcji w określonej liczbie punktów. Interpolacja funkcji wielomianami, funkcje bezpośrednio ciągłe na odcinku i w punkcie. Definicja pojęcia błędu interpolacyjnego.

praca semestralna, dodana 04.10.2011


Aproksymacja ciągła i punktowa. Wielomiany interpolacyjne Lagrange'a i Newtona. Globalny błąd interpolacji, zależność kwadratowa. Metoda najmniejszych kwadratów. Wybór wzorów empirycznych. Odcinkowo stała i odcinkowo interpolacja liniowa.

praca semestralna, dodana 14.03.2014


Zapoznanie się z historią pojawienia się metody złotego podziału. Uwzględnienie podstawowych pojęć i algorytmu wykonywania obliczeń. Badanie metody liczbowej Fibonacciego i jej cech. Opis przykładów realizacji metody złotego podziału w programowaniu.

praca semestralna, dodano 08.09.2015


Zagadnienia interpolacji globalnej i lokalnej metodą Lagrange'a i Newtona; wspólne zachowanie wielomianu interpolacyjnego; Funkcje Runge'a. Splajn to grupa wielomianów zwanych wielomianami sześciennymi, z pierwszym nieprzepuszczalnym i drugim podobnym, co stanowi zalety interpolacji splajnowej.

prezentacja, dodano 02.06.2014


Metody różniczkowania numerycznego. Obliczanie pochodnej, najprostsze wzory. Różniczkowanie numeryczne na podstawie interpolacji przez wielomiany algebraiczne. Aproksymacja wielomianem Lagrange'a. Różniczkowanie, zastosowanie interpolacji.

praca semestralna, dodana 15.02.2016


Opis metod rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych: macierz odwrotna, Jacobi, Gauss-Seidel. Formułowanie i rozwiązanie problemu interpolacji. Dobór zależności wielomianowej metodą najmniejszych kwadratów. Cechy metody relaksacyjnej.

praca laboratoryjna, dodano 12.06.2011


Problem znalezienia ekstremum: istota i treść, optymalizacja. Rozwiązanie metodami interpolacji kwadratowej i złotego podziału, ich charakterystyka porównawcza, określenie głównych zalet i wad. Liczba iteracji i oszacowanie dokładności.

Słowo spline (angielskie słowo „spline”) oznacza elastyczną linijkę używaną do rysowania gładkich krzywych przez dane punkty na płaszczyźnie. Kształt tego uniwersalnego wzoru na każdym segmencie opisuje parabola sześcienna. Splajny są szeroko stosowane w zastosowaniach inżynierskich, w szczególności w grafice komputerowej. Zatem na każdym I–ty segment [ x ja –1 , x i], ja= 1, 2,…, N, rozwiązania będziemy szukać w postaci wielomianu trzeciego stopnia:

Si(X)=a ja + b ja(x–x ja)+c ja(X–x ja) 2 /2+d ja(x–x ja) 3 /6

Nieznane szanse za ja , b ja , do ja , re ja , ja= 1, 2,..., N, znajdź z:

Warunki interpolacji: Si(x ja)=f ja, ja= 1, 2,..., N;S 1 (X 0)=f 0 ,

Funkcja ciągłości Si(x ja– 1 )=S i– 1 (x ja –1), ja= 2, 3,..., N,

Ciągłość pierwszej i drugiej pochodnej:

Si(x ja– 1)=Si- 1 (x ja –1), S // ja(x ja –1)=S // ja –1 (x ja –1), ja= 2, 3,..., N.

Biorąc to pod uwagę, aby ustalić 4 N niewiadomych otrzymujemy system 4 N–2 równania:

a ja =f ja , ja= 1, 2,..., N,

b i h i – c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6=f ja – f ja –1 , ja= 1, 2,..., N,

b ja – b i–1 = do ja godz ja – re ja godz ja 2 /2, ja= 2, 3,..., N,

d ja h ja \u003d c ja - c ja - 1 , ja= 2, 3,..., N.

Gdzie h ja \u003d x ja - x ja - 1. Brakujące dwa równania wyprowadzono z dodatkowych warunków: S //(A)=S //(B)=0. Można to wykazać w tym przypadku. Niewiadome można wykluczyć z systemu b ja , d ja , po otrzymaniu systemu N+ 1 równania liniowe (SLAE) do wyznaczania współczynników c ja:

C 0 = 0, do N = 0,

h i c ja –1 + 2(h ja + h ja +1)c ja + h ja +1 c ja +1 = 6 , ja= 1, 2,…, N–1. (1)

Następnie obliczane są współczynniki b ja, d ja:

, ja= 1, 2,..., N. (2)

W przypadku siatki stałej godz. i = godz ten układ równań jest uproszczony.

Ten SLAE ma macierz trójdiagonalną i jest rozwiązywany metodą przemiatania.

Współczynniki wyznacza się ze wzorów:

Aby obliczyć wartość S(X) w dowolnym punkcie odcinka z∈[a, b] należy rozwiązać układ równań dla współczynników do ja, ja= 1,2,…, N–1, następnie znajdź wszystkie współczynniki b ja, re ja. Następnie należy określić, dla jakiego przedziału [ x ja 0, x ja 0–1 ] trafia w ten punkt i zna liczbę ja 0, obliczyć wartość splajnu i jego pochodnych w punkcie z

S(z)=ja 0 +b ja 0 (z–x i 0)+c ja 0 (z–x i 0) 2 /2+d ja 0 (z–x i 0) 3 /6

S/(z)=b ja 0 +c ja 0 (z–x i 0)+d ja 0 (z–x i 0) 2 /2, S //(z)=c ja 0 +d ja 0 (z–x i 0).

Wymagane jest obliczenie wartości funkcji w punktach 0,25 i 0,8 za pomocą interpolacji sklejanej.

W naszym przypadku: h i =1/4, .

Zapiszmy układ równań, aby wyznaczyć:

Rozwiązując ten układ równań liniowych otrzymujemy: .

Rozważmy punkt 0,25, który należy do pierwszego odcinka, tj. . Dlatego otrzymujemy

Rozważmy punkt 0,8, który należy do czwartego odcinka, tj. .

Stąd,

Globalna interpolacja

Gdy interpolacja globalna w całym przedziale [ a, b], tj. konstruowany jest wielomian, który służy do interpolacji funkcji f(x) w całym zakresie argumentu x. Będziemy szukać funkcji interpolującej w postaci wielomianu (wielomianu) M stopień Po południu(X)=a 0 +a 1 x+a 2 X 2 +a 3 X 3 +…+a m x m . Jaki powinien być stopień wielomianu, aby spełniał wszystkie warunki interpolacji? Załóżmy, że podano dwa punkty: ( X 0 , F 0) i ( X 1 , F 1), tj. N=1. Przez te punkty można poprowadzić pojedynczą linię prostą, tj. funkcją interpolującą będzie wielomian pierwszego stopnia P 1 (X)=a 0 +a 1 X. Przez trzy punkty (N=2) można narysować parabolę P 2 (X)=a 0 +a 1 x+a 2 X 2 itd. Argumentując w ten sposób, możemy założyć, że pożądany wielomian musi mieć stopień N .

Aby to udowodnić, zapisujemy układ równań dla współczynników. Równania układu są warunkami interpolacji dla każdego z nich x=x ja:

Układ ten jest liniowy pod względem wymaganych współczynników A 0 , A 1 , A 2 , …,jakiś. Wiadomo, że SLAE ma rozwiązanie, jeśli jego wyznacznik jest różny od zera. Wyznacznik tego układu

nosi imię Wyznacznik Vandermonde'a. Z analizy matematycznej wiadomo, że jest ona różna od zera, jeśli x k≠x m(tj. wszystkie węzły interpolacji są różne). W ten sposób udowodniono, że układ ma rozwiązanie.

Pokazaliśmy to, aby znaleźć współczynniki
A 0 , A 1 , A 2 , …,jakiś konieczne jest rozwiązanie SLAE, co jest trudnym zadaniem. Istnieje jednak inny sposób skonstruowania wielomianu N stopnia, który nie wymaga rozwiązania takiego układu.

Wielomian Lagrange'a

Szukamy rozwiązania w formie , Gdzie ja(z) – podstawowe wielomiany N- stopień, dla którego spełniony jest warunek: . Sprawdźmy, że jeśli takie wielomiany zostaną zbudowane, to L N (x) spełni warunki interpolacji:

Jak budować podstawowe wielomiany? Zdefiniujmy

, ja= 0, 1,..., N.

Łatwo to zrozumieć

Funkcjonować ja(z) jest wielomianem N-stopień od z i spełnione są dla niego warunki „podstawowe”:

0, i≠k;, tj. k=1,…,i-1 lub k=i+1,…,N.

W ten sposób udało nam się rozwiązać problem konstrukcji wielomianu interpolującego N- stopnia i do tego nie jest konieczne rozwiązywanie SLAE. Wielomian Lagrange'a można zapisać w postaci zwartej formuły: . Błąd tego wzoru można oszacować, jeśli jest to funkcja pierwotna G(X) ma pochodne do N+ 1 zamówienie:

Z tego wzoru wynika, że ​​błąd metody zależy od właściwości funkcji G(X), a także od lokalizacji węzłów interpolacji i punktu z. Jak pokazują eksperymenty obliczeniowe, wielomian Lagrange'a ma mały błąd dla małych wartości N<20 . W większym N błąd zaczyna rosnąć, co wskazuje, że metoda Lagrange'a nie jest zbieżna (tj. jej błąd nie maleje wraz ze wzrostem N).

Rozważmy przypadki szczególne. Niech N=1, tj. Wartości funkcji podane są tylko w dwóch punktach. Podstawowe wielomiany wyglądają wówczas następująco:

, tj. otrzymujemy wzory na odcinkową interpolację liniową.

Niech N=2. Następnie:

W efekcie otrzymaliśmy wzory na tzw interpolacja kwadratowa lub paraboliczna.

Przykład: Podawane są wartości jakiejś funkcji:

X				3.5
F	-1	0.2	0.5	0.8

Wymagane jest znalezienie wartości funkcji dla z= 1 przy użyciu wielomianu interpolacyjnego Lgrange'a. Doraźnie N=3, tj. wielomian Lagrange'a ma trzeci rząd. Obliczmy wartości podstawowych wielomianów dla z=1:

Wybór wzorów empirycznych

Podczas interpolacji funkcji korzystaliśmy z warunku równości wartości wielomianu interpolacyjnego i danej funkcji w węzłach interpolacji. Jeżeli dane początkowe uzyskano w wyniku pomiarów eksperymentalnych, wówczas wymóg dokładnego dopasowania nie jest konieczny, ponieważ dane nie są uzyskiwane dokładnie. W takich przypadkach można wymagać jedynie przybliżonego spełnienia warunków interpolacji. Warunek ten oznacza, że ​​funkcja interpolująca F(x) nie przechodzi dokładnie przez dane punkty, ale w niektórych ich sąsiedztwie, np. jak pokazano na rys.

Potem rozmawiają dobór formuł empirycznych. Konstrukcja wzoru empirycznego składa się z dwóch etapów: wyboru postaci tego wzoru zawierającej nieznane parametry oraz określenia parametrów w pewnym sensie najlepszych. Postać wzoru jest czasami znana z rozważań fizycznych (dla ośrodka sprężystego, zależność między naprężeniem i odkształceniem) lub jest wybierana z rozważań geometrycznych: punkty eksperymentalne są nanoszone na wykres, a ogólna postać zależności jest w przybliżeniu odgadywana przez porównanie wynikową krzywą z wykresami znanych funkcji. O sukcesie w dużej mierze decyduje doświadczenie i intuicja badacza.

Dla praktyki istotny jest przypadek aproksymacji funkcji wielomianami, tj. .

Po wybraniu rodzaju zależności empirycznej określa się stopień zbliżenia do danych empirycznych za pomocą minimalna suma kwadratów odchyleń danych obliczonych i doświadczalnych.

Metoda najmniejszych kwadratów

Niech dane początkowe x ja , fa ja , ja= 1,…,N (numerację najlepiej zacząć od jedynki), wybiera się rodzaj zależności empirycznej: z nieznanymi współczynnikami. Zapiszmy sumę kwadratów odchyleń pomiędzy obliczonymi ze wzoru empirycznego a danymi eksperymentalnymi:

Parametry znajdziemy z warunku minimalnego funkcji . Co to jest metoda najmniejszych kwadratów (LSM).

Wiadomo, że w punkcie minimalnym wszystkie pochodne cząstkowe z są równe zeru:

(1)

Rozważmy zastosowanie LSM dla konkretnego przypadku powszechnie stosowanego w praktyce. Rozważmy wielomian jako funkcję empiryczną

Wzór (1) na wyznaczenie sumy kwadratów odchyleń będzie miał postać:

Obliczmy pochodne:

Przyrównując te wyrażenia do zera i zbierając współczynniki dla niewiadomych, otrzymujemy następujący układ równań liniowych.