Zasada możliwych ruchów. Obliczanie reakcji podpory na podstawie zasady możliwych przemieszczeń Zasada możliwych przemieszczeń

Zasada możliwych ruchów: dla równowagi układu mechanicznego o połączeniach idealnych konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego przy każdym możliwym przemieszczeniu była równa zeru. lub w projekcjach: .

Zasada możliwych przemieszczeń podaje w ogólnej formie warunki równowagi dla dowolnego układu mechanicznego, daje ogólną metodę rozwiązywania problemów statyki.

Jeżeli układ ma kilka stopni swobody, to równanie zasady możliwych przemieszczeń sporządza się dla każdego z niezależnych przemieszczeń osobno, tj. równań będzie tyle, ile układ ma stopni swobody.

Zasada możliwych przemieszczeń jest wygodna, ponieważ rozpatrując układ o idealnych połączeniach, nie bierze się pod uwagę ich reakcji i konieczne jest działanie wyłącznie siłami czynnymi.

Zasada możliwych ruchów jest sformułowana w następujący sposób:

Do matki. układ objęty więzami idealnymi znajduje się w spoczynku, konieczne i wystarczające jest, aby suma elementarnej pracy wykonanej przez siły czynne nad możliwymi przemieszczeniami punktów układu była dodatnia

Ogólne równanie dynamiki- gdy układ porusza się z połączeniami idealnymi w dowolnym momencie, suma prac elementarnych wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności na każdym możliwym ruchu układu będzie równa zeru. Równanie wykorzystujące zasadę możliwych przemieszczeń oraz zasadę d'Alemberta pozwala na ułożenie różniczkowych równań ruchu dla dowolnego układu mechanicznego. Podaje ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.

Sekwencja kompilacji:

a) do każdego ciała przykładane są określone siły działające na nie, a także warunkowo przykładane są siły i momenty par sił bezwładności;

b) informować system o możliwych ruchach;

c) ułożyć równania zasady możliwych przemieszczeń, uznając układ za będący w równowadze.

Należy zaznaczyć, że ogólne równanie dynamiki można zastosować także do układów z wiązaniami nieidealnymi, tylko w tym przypadku muszą zachodzić reakcje wiązań nieidealnych, takie jak np. siła tarcia czy moment tarcia tocznego należy zaliczyć do sił czynnych.

Pracę nad możliwym przemieszczeniem zarówno sił czynnych, jak i sił bezwładności poszukuje się w taki sam sposób, jak elementarną pracę nad rzeczywistym przemieszczeniem:

Możliwe działanie siły: .

Możliwa praca momentu (para sił): .

Uogólnione współrzędne układu mechanicznego są wzajemnie niezależnymi parametrami q 1 , q 2 , …, q S o dowolnym wymiarze, które jednoznacznie określają położenie układu w dowolnym momencie.

Liczba uogólnionych współrzędnych wynosi S - liczba stopni swobody układu mechanicznego. Położenie każdego ν punktu układu, czyli jego wektor promienia, w ogólnym przypadku, można zawsze wyrazić jako funkcję uogólnionych współrzędnych:

Ogólne równanie dynamiki we współrzędnych uogólnionych wygląda jak układ S równań w następujący sposób:

……..………. ;

………..……. ;

tutaj jest uogólniona siła odpowiadająca uogólnionej współrzędnej:

a jest uogólnioną siłą bezwładności odpowiadającą uogólnionej współrzędnej:

Liczba niezależnych możliwych przemieszczeń układu nazywana jest liczbą stopni swobody tego układu. Na przykład. kula na płaszczyźnie może poruszać się w dowolnym kierunku, ale każdy możliwy ruch można uzyskać jako sumę geometryczną dwóch ruchów wzdłuż dwóch wzajemnie prostopadłych osi. Swobodne ciało sztywne ma 6 stopni swobody.

Siły uogólnione. Dla każdej uogólnionej współrzędnej można obliczyć odpowiednią uogólnioną siłę Qk.

Obliczenia dokonywane są zgodnie z tą zasadą.

Aby określić siłę uogólnioną Qk odpowiadający uogólnionej współrzędnej q k, należy nadać tej współrzędnej przyrost (zwiększyć współrzędną o tę wartość), pozostawiając wszystkie pozostałe współrzędne bez zmian, obliczyć sumę pracy wszystkich sił przyłożonych do układu na odpowiednich przemieszczeniach punktów i podzielić ją przez przyrost współrzędnej:

gdzie jest przemieszczenie I-ten punkt układu uzyskany poprzez zmianę k-ta uogólniona współrzędna.

Siłę uogólnioną wyznacza się za pomocą pracy elementarnej. Dlatego siłę tę można obliczyć inaczej:

A ponieważ następuje przyrost wektora promienia ze względu na przyrost współrzędnych przy pozostałych współrzędnych i czasie niezmienionym T, stosunek można zdefiniować jako pochodną cząstkową . Następnie

gdzie współrzędne punktów są funkcjami współrzędnych uogólnionych (5).

Jeśli system jest konserwatywny, to znaczy ruch odbywa się pod działaniem potencjalnych sił pola, których rzuty są , gdzie , a współrzędne punktów są funkcjami współrzędnych uogólnionych, to

Uogólniona siła układu konserwatywnego jest cząstkową pochodną energii potencjalnej względem odpowiedniej uogólnionej współrzędnej ze znakiem minus.

Oczywiście przy obliczaniu tej uogólnionej siły energię potencjalną należy zdefiniować jako funkcję uogólnionych współrzędnych

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,pytanie).

Uwagi.

Pierwszy. Przy obliczaniu uogólnionych sił reakcji nie bierze się pod uwagę wiązań idealnych.

Drugi. Wymiar uogólnionej siły zależy od wymiaru uogólnionej współrzędnej.

Równania Lagrange'a II rodzaju wyprowadzane są z ogólnego równania dynamiki we współrzędnych uogólnionych. Liczba równań odpowiada liczbie stopni swobody:

Aby utworzyć równanie Lagrange'a drugiego rodzaju, wybiera się uogólnione współrzędne i znajduje uogólnione prędkości . Wyznacza się energię kinetyczną układu, która jest funkcją uogólnionych prędkości , oraz, w niektórych przypadkach, uogólnione współrzędne. Wykonuje się operacje różniczkowania energii kinetycznej, przewidziane przez lewe części równań Lagrange'a. Otrzymane wyrażenia przyrównuje się do sił uogólnionych, dla których oprócz wzorów (26) przy rozwiązywaniu często stosuje się następujące problemy:

W liczniku prawej strony wzoru - suma pracy elementarnej wszystkich sił czynnych na możliwe przemieszczenie układu, odpowiadająca zmianie i-tej współrzędnej uogólnionej - . Przy tym możliwym przemieszczeniu wszystkie inne uogólnione współrzędne nie ulegają zmianie. Otrzymane równania są równaniami różniczkowymi ruchu układu mechanicznego S stopnie swobody.

Rysunek 2.4

Rozwiązanie

Zastępujemy rozproszone obciążenie siłą skoncentrowaną Q = qDH. Siła ta jest przykładana w środku segmentu D.H.- w tym momencie L.

Wytrzymałość F rozłożyć na składowe, rzutując na oś: poziomą F x cosα i pionowe F y sinα.

Rysunek 2.5

Aby rozwiązać problem wykorzystując zasadę możliwych przemieszczeń, konieczne jest, aby konstrukcja mogła się poruszać, a jednocześnie w równaniu pracy występowała jedna nieznana reakcja. We wsparciu A Reakcję rozkłada się na składniki. XA, TAK.

Do ustalenia XA zmienić konstrukcję podpory A więc o to chodzi A mógł poruszać się jedynie poziomo. Przemieszczenia punktów konstrukcji wyrażamy poprzez możliwy obrót części CDB wokół kropki B na rogu δφ 1, Część AKC konstrukcja w tym przypadku obraca się wokół punktu C V1- chwilowy środek obrotu (rysunek 2.5) o kąt δφ 2 i ruchome punkty L I C- będzie

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS do = BC∙δφ 1.

W tym samym czasie

δS do = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Wygodniej jest ułożyć równanie pracy poprzez pracę momentów danych sił względem środków obrotu.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reakcja TAK nie działa. Przekształcając to wyrażenie, otrzymujemy

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Redukcja przez δφ 1, otrzymujemy równanie, z którego łatwo je znaleźć XA.

Do ustalenia TAK konstrukcja nośna A zmienić tak, aby przy przesuwaniu punktu A tylko siła zadziałała TAK(Rysunek 2.6). Weźmy pod uwagę możliwe przemieszczenie części konstrukcji bdc obrót wokół stałego punktu B — δφ 3.

Rysunek 2.6

Dla punktu C δS do = BC∙δφ 3, chwilowy środek obrotu części konstrukcji AKC będzie jakiś punkt C V2 i przesuwamy punkt C wyrażone.

Elementy mechaniki analitycznej

Natura ludzka w swoich próbach poznania otaczającego świata dąży do zredukowania systemu wiedzy w danym obszarze do jak najmniejszej liczby pozycji wyjściowych. Dotyczy to przede wszystkim dziedzin nauki. W mechanice to pragnienie doprowadziło do stworzenia podstawowych zasad, z których wynikają podstawowe równania różniczkowe ruchu dla różnych układów mechanicznych. Celem tej części samouczka jest zapoznanie czytelnika z niektórymi z tych zasad.

Rozpocznijmy badanie elementów mechaniki analitycznej od zbadania kwestii klasyfikacji relacji zachodzących nie tylko w statyce, ale także w dynamice.

Klasyfikacja relacji

Połączenie – wszelkiego rodzaju ograniczenia nałożone na położenie i prędkość punktów układu mechanicznego.

Relacje są klasyfikowane:

Według zmian w czasie:

- łączność niestacjonarna, te. zmieniać się w czasie. Przykładem połączenia niestacjonarnego jest podpora poruszająca się w przestrzeni.

- łączność stała, te. nie zmienia się w czasie. Do linków stacjonarnych zaliczają się wszystkie linki omówione w dziale „Statyka”.

Według rodzaju nałożonych ograniczeń kinematycznych:

- połączenia geometryczne nakładać ograniczenia na położenie punktów w systemie;

- kinematyczny, Lub połączenia różnicowe nakładać ograniczenia na prędkość punktów w systemie. Jeśli to możliwe, zredukuj jeden typ relacji do innego:

- zintegrowane, Lub holonomia(prosty) połączenie, jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) można przedstawić jako geometryczne. W takich połączeniach zależności pomiędzy prędkościami można sprowadzić do zależności pomiędzy współrzędnymi. Walec toczący się bez poślizgu jest przykładem całkowalnego połączenia różnicowego: prędkość osi cylindra odnoszona jest do jego prędkości kątowej według znanego wzoru , lub , a po całkowaniu sprowadza się do zależności geometrycznej pomiędzy przemieszczeniami osi oraz kąt obrotu cylindra w postaci .

- nieintegrowalne, Lub połączenie nieholonomiczne– jeżeli połączenia kinematycznego (różnicowego) nie można przedstawić w formie geometrycznej. Przykładem jest toczenie się piłki bez poślizgu podczas jej ruchu nieprostoliniowego.

Jeśli to możliwe, „zwolnij” z komunikacji:

- trzymanie więzi, zgodnie z którymi nałożone przez nie ograniczenia są zawsze zachowane, na przykład wahadło zawieszone na sztywnym pręcie;

- nieutrzymujące więzi - ograniczenia mogą zostać naruszone w przypadku określonego rodzaju ruchu systemu na przykład wahadło zawieszone na zmiętej nitce.

Wprowadźmy kilka definicji.

· Możliwy(Lub wirtualny) poruszający(oznaczone) jest elementarny (nieskończenie mały) i taki, że nie narusza ograniczeń nałożonych na system.

Przykład: punkt znajdujący się na powierzchni ma w miarę możliwości zbiór elementarnych przemieszczeń w dowolnym kierunku wzdłuż powierzchni odniesienia, bez odrywania się od niej. Ruch punktu, prowadzący do jego oderwania od powierzchni, przerywa połączenie i zgodnie z definicją nie jest ruchem możliwym.

W przypadku układów stacjonarnych zwykłe rzeczywiste (rzeczywiste) przemieszczenie elementarne jest uwzględniane w zbiorze możliwych przemieszczeń.

· Liczba stopni swobody układu mechanicznego – jest liczbą jego niezależnych możliwych przemieszczeń.

Tak więc, gdy punkt porusza się po płaszczyźnie, każdy możliwy jego ruch wyraża się w kategoriach jego dwóch ortogonalnych (a zatem niezależnych) składowych.

W przypadku układu mechanicznego z więzami geometrycznymi liczba niezależnych współrzędnych określających położenie układu pokrywa się z liczbą jego stopni swobody.

Zatem punkt na płaszczyźnie ma dwa stopnie swobody. Swobodny punkt materialny - trzy stopnie swobody. Wolne ciało ma sześć (dodawane są zwoje pod kątami Eulera) itd.

· Możliwa praca – jest elementarną pracą siły na możliwym przemieszczeniu.

Zasada możliwych ruchów

Jeżeli układ jest w równowadze, to dla któregokolwiek z jego punktów zachodzi równość, gdzie są wypadkowe sił czynnych i sił reakcji działających na ten punkt. Wtedy suma pracy tych sił przy dowolnym przemieszczeniu jest również równa zeru . Sumując wszystkie punkty otrzymujemy: . Drugi wyraz dla wiązań idealnych jest równy zeru, skąd formułujemy zasada możliwych ruchów :

.

(3.82)

W warunkach równowagi układu mechanicznego o połączeniach idealnych suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru.

Wartość zasady możliwych przemieszczeń polega na sformułowaniu warunków równowagi układu mechanicznego (3.81), w którym nie występują nieznane reakcje więzów.

PYTANIA DO SAMOSPRAWDZENIA

1. Jaki ruch punktu nazywa się możliwym?

2. Co nazywa się możliwą pracą siły?

3. Sformułuj i zapisz zasadę możliwych ruchów.

zasada d'Alemberta

Przepiszmy równanie dynamiki Do punkt układu mechanicznego (3.27), przenosząc lewą stronę na prawą. Weźmy pod uwagę ilość

Siły w równaniu (3.83) tworzą zrównoważony układ sił.

Rozszerzając ten wniosek na wszystkie punkty układu mechanicznego, dochodzimy do sformułowania zasada d'Alemberta, nazwany na cześć francuskiego matematyka i mechanika Jeana Lerona D'Alemberta (1717–1783), ryc. 3.13:

Ryc.3.13

Jeśli do wszystkich sił działających w danym układzie mechanicznym dodamy wszystkie siły bezwładności, otrzymany układ sił zostanie zrównoważony i będzie można do niego zastosować wszystkie równania statyki.

W rzeczywistości oznacza to, że z układu dynamicznego, dodając siły bezwładności (siły D'Alemberta), przechodzi się do układu pseudostatycznego (prawie statycznego).

Korzystając z zasady d'Alemberta, można uzyskać oszacowanie główny wektor sił bezwładności I główny moment bezwładności względem środka Jak:

Reakcje dynamiczne działające na oś obracającego się ciała

Rozważmy ciało sztywne obracające się równomiernie z prędkością kątową ω wokół osi zamocowanej w łożyskach A i B (rys. 3.14). Połączmy z ciałem obracające się z nim osie Axyz; zaletą takich osi jest to, że względem nich współrzędne środka masy i momenty bezwładności ciała będą miały wartości stałe. Niech dane siły działają na ciało. Oznaczmy rzuty wektora głównego wszystkich tych sił na oś Axyz przez ( itp.), a ich główne momenty wokół tych samych osi - poprzez ( itp.); tymczasem od ω = stała, zatem = 0.

Ryc.3.14

Aby określić reakcje dynamiczne X A, Y A, Z A, X B, Y Błożyska, tj. reakcje zachodzące podczas obrotu ciała, do wszystkich podanych sił działających na ciało i reakcji wiązań siły bezwładności wszystkich cząstek ciała, doprowadzając je do środka A. Następnie siły bezwładności będzie reprezentowana przez jedną siłę równą i zastosowany w punkcie A , i parę sił o momencie równym . Rzuty tego momentu na oś Do I Na będzie: , ; tu ponownie , ponieważ ω = stała

Teraz układając równania (3.86) zgodnie z zasadą d’Alemberta w rzutach na oś Axyz i ustawiając AB =b, dostajemy

.

(3.87)

Ostatnie równanie jest spełniony identycznie, ponieważ .

Główny wektor sił bezwładności , Gdzie T - masa ciała (3,85). Na ω = stały środek masy C ma tylko normalne przyspieszenie , gdzie jest odległość punktu C od osi obrotu. Dlatego kierunek wektora pokrywają się z kierunkiem systemu operacyjnego . Obliczanie prognoz na osiach współrzędnych i biorąc pod uwagę, że , gdzie - współrzędne środka masy znajdujemy:

Aby wyznaczyć i , rozważmy cząstkę ciała posiadającą masę M k , oddalone od osi w pewnej odległości h k. Dla niej o godz ω =stała siła bezwładności również ma tylko składnik odśrodkowy , których rzuty, a także wektory R", są równe.

KLASYFIKACJA RELACJI

Pojęcie połączeń wprowadzone w § 3 nie obejmuje wszystkich ich rodzajów. Ponieważ nawet rozważane metody rozwiązywania problemów mechaniki mają ogólne zastosowanie do układów nie posiadających żadnych ograniczeń, rozważmy kwestię więzów i ich klasyfikację nieco bardziej szczegółowo.

Połączenia to wszelkiego rodzaju ograniczenia, które nakładane są na położenie i prędkość punktów układu mechanicznego i są realizowane niezależnie od tego, jakie siły działają na układ. Zobaczmy, jak klasyfikowane są te połączenia.

Relacje, które nie zmieniają się w czasie, nazywane są stacjonarnymi, a te, które zmieniają się w czasie, nazywane są niestacjonarnymi.

Połączenia nakładające ograniczenia na położenie (współrzędne) punktów układu nazywane są geometrycznymi, a te, które nakładają również ograniczenia na prędkości (pierwsze pochodne współrzędnych po czasie) punktów układu nazywane są kinematyczny lub różnicowy.

Jeżeli połączenie różniczkowe można przedstawić jako geometryczne, tj. zależność między prędkościami ustalonymi przez to połączenie można sprowadzić do zależności między współrzędnymi, wówczas takie połączenie nazywa się całkowalnym, a w przeciwnym razie - niecałkowalnym.

Geometryczne i całkowalne więzy różniczkowe nazywane są więzami golonomicznymi, a niecałkowalne więzy różniczkowe nazywane są nieholonomicznymi.

Ze względu na rodzaj wiązań układy mechaniczne dzielą się także na holonomiczne (z wiązaniami holonomicznymi) i nieholonomiczne (zawierające wiązania nieholonomiczne).

Wreszcie rozróżniają wiązania ograniczające (nałożone przez nie ograniczenia zostają zachowane w dowolnej pozycji układu) i nieutrzymujące, które tej właściwości nie posiadają (jak mówią, system może „uwolnić się” z takich więzów) . Rozważ przykłady.

1. Wszystkie wiązania rozpatrywane w § 3 mają charakter geometryczny (holonomiczny) i w dodatku stacjonarny. Ruchomy lnft pokazany na ryc. 271, a, będzie dla leżącego w nim ładunku, przy rozpatrywaniu położenia ładunku względem osi Oxy, niestacjonarnym połączeniem geometrycznym (podłoga kabiny realizująca połączenie zmienia w czasie swoje położenie w przestrzeni) .

2 Położenie koła toczącego się bez poślizgu (patrz ryc. 328) jest określone przez współrzędną środka koła C i kąt obrotu. Podczas walcowania stan lub

Jest to połączenie różniczkowe, lecz powstałe równanie jest całkowane i daje , czyli sprowadza się do zależności pomiędzy współrzędnymi. Zatem nałożone ograniczenie jest holonomiczne.

3. W przeciwieństwie do koła do piłki toczącej się bez poślizgu po nierównej płaszczyźnie, nie można zmniejszyć warunku, że prędkość punktu piłki dotykającej płaszczyzny wynosi zero (gdy środek piłki nie porusza się po linii prostej) linii) do pewnych zależności pomiędzy współrzędnymi, wyznaczającymi położenie kuli. To jest przykład wiązania innego niż haloiom. Innym przykładem są ograniczenia nałożone na kontrolowany ruch. Przykładowo, jeżeli na ruch punktu (rakiety) nałożony zostanie warunek (sprzężenie), że jego prędkość w dowolnym momencie musi być skierowana na inny poruszający się punkt (samolot), to warunku tego nie da się sprowadzić do żadnej zależności pomiędzy współrzędnymi albo, a ograniczenie jest nieholonomiczne.

4. W § 3 połączenia pokazane na rys. trzymają, a na ryc. 8 i 9 - nieutrzymujące (na rys. 8 kulka może opuścić powierzchnię, a na rys. 9 - przesunąć się w stronę punktu A, miażdżąc nić). Biorąc pod uwagę specyfikę obligacji bez zatrzymania, napotkaliśmy w problemach 108, 109 (§ 90) i w problemie 146 (§ 125).

Przejdźmy do rozważenia jeszcze jednej zasady mechaniki, która ustala ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Przez równowagę (patrz § 1) rozumiemy stan układu, w którym wszystkie jego punkty pod działaniem przyłożonych sił znajdują się w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia (rozważamy tzw. równowagę „absolutną”). Jednocześnie całą komunikację nałożoną na system będziemy uważać za stacjonarną i nie będziemy tego specjalnie określać za każdym razem w przyszłości.

Wprowadźmy pojęcie pracy możliwej jako elementarnej pracy, jaką może wykonać siła działająca na punkt materialny przy przemieszczeniu zgodnym z możliwym przemieszczeniem tego punktu. Możliwą pracę siły czynnej oznaczymy symbolem, a możliwą pracę reakcji wiązania N symbolem

Podajmy teraz ogólną definicję pojęcia wiązań idealnych, z której już korzystaliśmy (patrz § 123): wiązania nazywamy idealnymi, jeśli suma prac elementarnych ich reakcji na ewentualne przemieszczenie układu jest równa zeru , tj.

Podany w § 123 i wyrażony równością (52), warunek idealności wiązań, gdy są one jednocześnie stacjonarne, odpowiada definicji (98), ponieważ w przypadku wiązań stacjonarnych każde rzeczywiste przemieszczenie pokrywa się z jednym z możliwych. Dlatego przykładami idealnych połączeń będą wszystkie przykłady podane w § 123.

Aby wyznaczyć niezbędny warunek równowagi, udowadniamy, że jeśli układ mechaniczny z idealnymi więzami znajduje się w równowadze pod działaniem przyłożonych sił, to dla każdego możliwego przemieszczenia układu równość

gdzie jest kątem pomiędzy siłą a możliwym przemieszczeniem.

Wyznaczmy wypadkowe wszystkich (zarówno zewnętrznych, jak i wewnętrznych) sił czynnych i reakcji połączeń działających odpowiednio na jakiś punkt układu poprzez . Wtedy, ponieważ każdy z punktów układu jest w równowadze, a co za tym idzie, suma pracy tych sił przy dowolnym ruchu punktu będzie również równa zeru, tj. . Kompilując takie równości dla wszystkich punktów układu i dodając je wyraz po wyrazie, otrzymujemy

Ponieważ jednak połączenia są idealne, reprezentują możliwe przemieszczenia punktów układu, to druga suma zgodnie z warunkiem (98) będzie równa zeru. Wtedy pierwsza suma jest również równa zeru, tj. zachodzi równość (99). W ten sposób udowodniliśmy, że równość (99) wyraża warunek konieczny równowagi układu.

Pokażmy, że ten warunek jest również wystarczający, tzn. jeśli do punktów układu mechanicznego będącego w spoczynku przyłożymy siły czynne spełniające równanie (99), to układ ten pozostanie w spoczynku. Załóżmy odwrotnie, czyli że układ zacznie się poruszać i niektóre jego punkty dokonają rzeczywistych przemieszczeń. Wtedy siły wykonają pracę nad tymi przemieszczeniami i zgodnie z twierdzeniem o zmianie energii kinetycznej będzie to:

gdzie oczywiście, ponieważ układ był początkowo w stanie spoczynku; stąd i . Ale w przypadku połączeń stacjonarnych rzeczywiste przemieszczenia pokrywają się z niektórymi możliwymi przemieszczeniami, a przemieszczenia te również muszą mieć coś, co jest sprzeczne z warunkiem (99). Zatem, gdy przyłożone siły spełniają warunek (99), układ nie może wyjść ze stanu spoczynku i warunek ten jest warunkiem wystarczającym do osiągnięcia równowagi.

Z udowodnionego wynika następująca zasada możliwych przemieszczeń: dla równowagi układu mechanicznego o idealnych połączeniach konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich działających na niego sił czynnych przy każdym możliwym przemieszczeniu układu była równa do zera. Matematycznie sformułowany warunek równowagi wyraża się równością (99), zwaną także równaniem możliwych miejsc pracy. Równość tę można również przedstawić w formie analitycznej (patrz § 87):

Zasada możliwych przemieszczeń ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego, który nie wymaga uwzględniania równowagi poszczególnych części (ciał) tego układu i pozwala przy idealnych wiązaniach wykluczyć z rozważań wszystkie nieznane wcześniej reakcje układu obligacje.

1. Uogólnione współrzędne i liczba stopni swobody.

Kiedy układ mechaniczny się porusza, wszystkie jego punkty nie mogą poruszać się w sposób dowolny, ponieważ są ograniczone połączeniami. Oznacza to, że nie wszystkie współrzędne punktów są niezależne. Położenie punktów określa się poprzez podanie wyłącznie niezależnych współrzędnych.

uogólnione współrzędne. W przypadku układów holonomicznych (to znaczy takich, których połączenia są wyrażone równaniami zależnymi tylko od współrzędnych), liczba niezależnych uogólnionych współrzędnych układu mechanicznego równa liczbie stopni swobody ten system.

Przykłady:

Położenie wszystkich punktów jest jednoznacznie określone przez kąt obrotu

korba.

Jeden stopień swobody.

2. Położenie wolnego punktu w przestrzeni wyznaczają trzy niezależne od siebie współrzędne. Dlatego trzy stopnie swobody.

3. Sztywny korpus obrotowy, położenie określone przez kąt obrotu J . Jeden stopień swobody.

4. Swobodne ciało sztywne, którego ruch jest określony przez sześć równań - sześć stopni swobody.

2. Możliwe przemieszczenia układu mechanicznego.

Idealne połączenia.

Możliwy przemieszczenia to wyimaginowane, nieskończenie małe przemieszczenia, na które pozwalają w danym momencie ograniczenia nałożone na układ. Możliwe przemieszczenia punktów układu mechanicznego rozpatrywane są jako wielkości pierwszego rzędu małości, dlatego też przemieszczenia krzywoliniowe punktów zastępowane są odcinkami prostymi wykreślonymi stycznie do trajektorii punktów i oznaczane dS.

dS A = dj. OA

Wszystkie siły działające na punkt materialny dzielimy na dane siły i reakcje więzów.

Jeżeli suma pracy reakcji wiązań na ewentualne przemieszczenie układu jest równa zeru, wówczas takie wiązania nazywa się ideał.

3. Zasada możliwych ruchów.

Dla równowagi układu mechanicznego z więzami idealnymi konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego przy każdym możliwym przemieszczeniu układu była równa zeru.

Oznaczający zasada możliwych ruchów:

1. Uwzględniane są tylko siły czynne.

2. Podaje w formie ogólnej stan równowagi dowolnego układu mechanicznego, natomiast w statyce należy rozważać równowagę każdego ciała układu z osobna.

Zadanie.

Znajdź zależność pomiędzy momentem i siłą jeżeli dla danego położenia mechanizmu korbowo-suwakowego w stanie równowagi OA = ℓ.

Ogólne równanie dynamiki.

Zasada możliwych przemieszczeń zapewnia ogólną metodę rozwiązywania problemów statycznych. Z drugiej strony zasada d'Alemberta umożliwia wykorzystanie metod statyki do rozwiązywania problemów dynamiki. Dlatego stosując te dwie zasady jednocześnie, można uzyskać ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.

Rozważmy układ mechaniczny, na który nałożone są idealne więzy. Jeśli do wszystkich punktów układu, poza działającymi na nie siłami czynnymi i reakcjami wiązań, dodamy odpowiednie siły bezwładności, to zgodnie z zasadą d'Alemberta powstały układ sił będzie w równowadze. Stosując zasadę możliwych przemieszczeń otrzymujemy:

Ponieważ połączenia są idealne, to:

Ta równość reprezentuje ogólne równanie dynamiki.

Z tego wynika zasada d'Alemberta-Lagrange'a- gdy układ w każdym momencie porusza się z ograniczeniami idealnymi, suma prac elementarnych wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności na każdym możliwym ruchu układu będzie równa zeru.

Zadanie.

W podnośniku biegów 2 waga 2G z promieniem R2=R przyłożony moment obrotowy M=4GR.

Wyznacz przyspieszenie podniesionego ładunku A ważenie G, pomijając ciężar liny i tarcie w osiach. Bęben, na który nawinięta jest lina i na nim sztywno zamocowana przekładnia 1 , mają całkowitą wagę 4G i promień bezwładności r = R. promień bębna RA = R i przekładnie 1

R 1 \u003d 0,5R.

Przedstawmy wszystkie działające siły, kierunek przyspieszeń i możliwe przemieszczenia.

________________

Podstawiamy do ogólnego równania dynamiki

Przemieszczenie wyrażamy za pomocą kąta obrotu δφ 1

Zastąp wartości

δφ 1 ≠0

Wyraźmy wszystkie przyspieszenia w kategoriach pożądanych A i zrównaj wyrażenie w nawiasach z zerem

Zastąp wartości

Zasada możliwych ruchów.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

x V; w B; NIE ; Poseł

Rozwiązanie: Znajdźmy reakcję ruchomej podpory A dlaczego mentalnie odrzucamy to połączenie, zastępując jego działanie reakcją NIE

Możliwy ruch pręta AC jest jego obrót wokół zawiasu Z na rogu DJ. Jądro słońce pozostaje bez ruchu.

Ułóżmy równanie pracy, biorąc pod uwagę, że praca sił podczas obrotu ciała jest równa iloczynowi momentu siły wokół środka obrotu i kąta obrotu ciała.

Wyznaczanie reakcji sztywnego mocowania w podporze W najpierw znajdź moment reakcji Poseł. Aby to zrobić, odrzucamy ograniczenie uniemożliwiające obrót pręta słońce, zastępując sztywne mocowanie wspornikiem zawiasowym i przykładając moment Poseł .

Powiedz prętowi możliwy obrót o kąt DJ 1.

Ułóż równanie pracy pręta słońce:

Zdefiniujmy przemieszczenia:

Aby określić pionową składową reakcji sztywnego unieruchomienia, odrzucamy wiązanie uniemożliwiające punktowi przemieszczanie się w pionie W, zastępując sztywne mocowanie przesuwnym (nie da się obrócić) i stosując reakcję:

Poinformujmy lewą stronę (pręt słońce z suwakiem W) możliwa prędkość V B postępujący ruch w dół. Jądro AC obracać się wokół punktu A .

Zróbmy równanie dzieł:

Aby określić poziomą składową sztywnej reakcji zakotwiczenia, odrzucamy wiązanie uniemożliwiające punktowi przemieszczanie się w poziomie W zastąpienie zakończenia sztywnego zakończeniem przesuwnym i zastosowanie reakcji:

Poinformujmy lewą stronę (suwak W razem z drążkiem słońce) możliwa prędkość V B ruch do przodu w lewo. Od wsparcia A na rolkach, wówczas prawa strona będzie poruszać się do przodu z tą samą prędkością. Stąd .

Zróbmy równanie prac dla wszystkich projektów.

Aby sprawdzić poprawność rozwiązania, układamy równania równowagi dla całego układu:

Warunek jest spełniony.

Odpowiedź: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P \u003d 3,33 Nm.

Uogólnione prędkości. Siły uogólnione.

Nazywa się wielkości niezależne, które jednoznacznie określają położenie wszystkich punktów układu mechanicznego uogólnione współrzędne. – Q

Jeśli system ma S stopni swobody, wówczas zostanie określone jego położenie S uogólnione współrzędne:

q1; q2; …; q s.

Ponieważ uogólnione współrzędne są od siebie niezależne, elementarne przyrosty tych współrzędnych również będą niezależne:

dq 1; dq2; …; dq S .

Jednocześnie każda z ilości dq 1; dq2; …; dq S określa odpowiedni, niezależny od innych, możliwy ruch układu.

Kiedy układ się porusza, jego uogólnione współrzędne będą się zmieniać w sposób ciągły w czasie, prawo tego ruchu określają równania:

, …. ,

Są to równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych.

Pochodne uogólnionych współrzędnych po czasie nazywane są uogólnionymi prędkościami układu:

Wymiar zależy od wymiaru Q.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z n punktów materialnych, na które działają siły F 1 , F 2 , F n. Niech system ma S stopni swobody, a jego położenie wyznaczają współrzędne uogólnione q1; q2; q 3. Powiedzmy systemowi możliwy ruch, w którym współrzędna q 1 dostaje podwyżkę dq 1, a pozostałe współrzędne nie ulegają zmianie. Następnie wektor promienia k-tego punktu otrzymuje elementarny przyrost (dr k) 1. Jest to przyrost, jaki otrzymuje wektor promienia, gdy zmienia się tylko współrzędna. q 1 według kwoty dq 1. Reszta współrzędnych pozostaje bez zmian. Dlatego (dr k) 1 obliczony jako częściowy mechanizm różnicowy:

Obliczmy elementarną pracę wszystkich przyłożonych sił:

Wyjmijmy to z nawiasów dq 1, otrzymujemy:

Gdzie - uogólniona władza.

Więc, uogólniona siła – jest współczynnikiem przyrostów uogólnionej współrzędnej.

Obliczenie sił uogólnionych sprowadza się do obliczenia możliwej pracy elementarnej.

Jeśli wszystko się zmieni Q, To:

Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń, dla równowagi układu jest to konieczne i wystarczające SdA a k = 0. We współrzędnych uogólnionych Pytanie 1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 stąd, Dla równowaga systemu konieczne i wystarczające jest, aby uogólnione siły odpowiadały możliwym przemieszczeniom wybranym dla układu, a co za tym idzie, uogólnionym współrzędnym, były równe zero.

Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.

Równania Lagrange'a.

Korzystając z ogólnego równania dynamiki układu mechanicznego, można znaleźć równania ruchu układu mechanicznego.

4) wyznaczyć energię kinetyczną układu, wyrazić tę energię w postaci uogólnionych prędkości i uogólnionych współrzędnych;

5) znaleźć odpowiednie pochodne cząstkowe T dla i i podstaw wszystkie wartości w równaniu.

Teoria uderzenia.

Ruch ciała pod działaniem sił zwyczajnych charakteryzuje się ciągłą zmianą modułów i kierunków prędkości tego ciała. Zdarzają się jednak przypadki, gdy prędkość punktów ciała, a co za tym idzie wielkość ruchu ciała sztywnego w bardzo krótkim czasie ulegają skończonym zmianom.

Zjawisko, przy którym przez pomijalnie mały okres czasu prędkości punktów ciała zmieniają się o skończoną wielkość, nazywa się cios.

siły, pod działaniem którego następuje uderzenie, nazywane są perkusja.

Mały okres czasu T podczas którego następuje uderzenie nazywa się czas uderzenia.

Ponieważ siły uderzenia są bardzo duże i zmieniają się znacząco w trakcie uderzenia, w teorii uderzenia za miarę wzajemnego oddziaływania ciał uważa się nie same siły uderzenia, ale ich impulsy.

Impulsy sił nieudarowych w czasie T są bardzo małe i można je pominąć.

Twierdzenie o zmianie pędu punktu po uderzeniu:

Gdzie w jest prędkością punktu na początku uderzenia,

ty jest prędkością punktu na końcu uderzenia.

Podstawowe równanie teorii uderzenia.

Ruch punktów w bardzo krótkim czasie, czyli w czasie uderzenia, również będzie niewielki, dlatego będziemy uważać ciało za nieruchome.

Możemy zatem wyciągnąć następujące wnioski dotyczące sił uderzenia:

1) można pominąć działanie sił niezwiązanych z uderzeniem podczas uderzenia;

2) przemieszczenia punktów ciała podczas uderzenia można pominąć i uznać, że ciało w czasie uderzenia jest nieruchome;