Po określeniu początkowego kąta obrotu obliczane jest ugięcie przekroju A.

, pokazany na ryc. 2.3 linią przerywaną, wprowadza się w przypadkach, gdy ugięcie określa się w przekroju znajdującym się poza obszarem działania rozłożonego obciążenia.

Kąt obrotu przekroju B oblicza się ze wzoru (2.20), który należy przyjąć

2.2.2. Całka Mohra.

Uniwersalny wzór Mohra do obliczania przemieszczeń sprężystych w układach prętowych jest naturalnym uogólnieniem wzoru Castigliano. W przypadku liniowo sprężystych układów prętowych wzór Castigliano ma postać

Δ DO-uogólnione przemieszczenie przekroju K,

R K jest uogólnioną siłą odpowiadającą uogólnionemu przemieszczeniu Δ DO,

U jest funkcją energii potencjalnej.

Energia potencjalna jest kwadratową funkcją sił i dla elementów zginanych jest zapisywana jako

(2.22)

W zdecydowanej większości przypadków pomija się wpływ siły poprzecznej na wielkość energii potencjalnej. Łączenie wzorów (2.21) i (2.22) daje

(2.23)

Pochodna cząstkowa odpowiada funkcji momentu zginającego wywołanego działaniem pojedynczej siły uogólnionej przyłożonej w przekroju K w kierunku pożądanego ruchu. Wzór (2.23) zapisany jako

(2.24)

definiuje szczególną postać uniwersalnego wzoru Mohra w zastosowaniu do definicji przemieszczeń elementów zginanych.

W praktyce stosuje się graficzno-analityczną metodę obliczania całki Mohra (metoda Vereshchagina).

- obszar wykresu obciążenia (wykres momentu zginającego od działania danego obciążenia);

- rzędna pojedynczego wykresu (wyciek momentu zginającego od działania pojedynczej siły uogólnionej), mierzona pod środkiem wykresu obciążenia.

Obliczanie całki Mohra za pomocą wzoru Vereshchagina w literaturze edukacyjnej nazywa się „mnożeniem” diagramów.

W wielu przypadkach przy obliczaniu całki Mohra wygodnie jest zastosować wzór Simpsona

(2.26)

gdzie indeksy „n”, „s”, „k” oznaczają odpowiednio początek, środek i koniec przekroju zwielokrotnionych diagramów.

Przykład 2 Określ ugięcie przekroju A i kąt obrotu przekroju W belki rozpatrywane w przykładzie 1 (rys. 2.4.a).

Oblicz całkę Mohra, korzystając ze wzoru Simpsona.

Aby określić ugięcie przekroju Aładunek Poseł(Rys.2.4.b) i pojedyncze (Rys.2.4.c) krzywe momentów zginających.

Mnożenie wykresów obciążeń i jednostkowych momentów zginających według wzoru Simpsona daje

Aby określić kąt obrotu sekcji odniesienia W drugi pojedynczy wykres momentu zginającego zbudowany jest z działania pojedynczego momentu przyłożonego w przekroju W belki (rys. 2.4.d).

Wartość kąta obrotu wyznacza się poprzez pomnożenie wykresów obciążenia i jednostkowych (rys. 2.4.d) momentów zginających.

Notatka. Znak minus w odpowiedziach oznacza kierunki rzeczywistych przemieszczeń przekrojów A I W będą przeciwne do kierunków przemieszczeń odpowiadających pojedynczym siłom uogólnionym.

2.3. belki statycznie niewyznaczalne
(Metoda sił ujawnienia statycznej nieokreśloności)

Belki statycznie niewyznaczalne zawierają „dodatkowe” połączenia (po usunięciu dodatkowych połączeń belki stają się statycznie wyznaczalne). Liczba dodatkowych połączeń określa stopień statycznej nieokreśloności problemu.

Belkę statycznie wyznaczalną, geometrycznie niezmienną, otrzymaną z danej belki statycznie niewyznaczalnej poprzez usunięcie zbędnych połączeń, nazywamy układem głównym metody siłowej.

Algorytm rozwiązywania belek statycznie niewyznaczalnych metodą siłową rozpatrzono na przykładzie belki niegdyś statycznie niewyznaczalnej (rys. 2.5.a).

Rozwiązanie problemu rozpoczyna się od wyboru głównego układu metody sił (rys. 2.5.b). Należy zaznaczyć, że nie jest to jedyna możliwość wyboru systemu głównego (w szczególności istnieje możliwość usunięcia ogniw wewnętrznych poprzez umieszczenie zawiasu).

Istota metody sił polega na zanegowaniu przemieszczeń w kierunku połączenia odległego. Matematycznie warunek ten zapisuje się jako równanie zgodności przemieszczenia

, (2.27)

δ 11 - ruch w kierunku zerwanego połączenia, spowodowany działaniem pojedynczej wartości nieznanej reakcji połączenia zdalnego (rys. 2.5.c)

Δ 1P - ruch w kierunku połączenia opadającego, wywołany działaniem danego obciążenia (rys. 2.5.d)

Obliczenia przemieszczeń δ 11 , Δ 1P dokonuje się według wzoru Simpsona.

Współczynnik δ 11 równania kanonicznego metody sił wyznacza się poprzez pomnożenie przez siebie diagramu jednostkowego (ryc. 2.5.e)

Współczynnik Δ 1Р równania kanonicznego metody siły oblicza się poprzez pomnożenie jednostki (ryc. 2.5.e) i obciążenia (ryc. 2.5. D) schemat

Z rozwiązania równania (2.27) wyznacza się reakcję x1 dodatkowe połączenie

Ten etap rozwiązania odpowiada ujawnieniu statycznej nieokreśloności problemu.

Wykres momentu zginającego MX(Rys. 2.5.h) w belce statycznie niewyznaczalnej buduje się według wzoru

(2.28)

Na ryc. 2.5.g pokazuje „poprawiony” pojedynczy diagram, którego wszystkie rzędne są zwiększone x1 raz.

Rozważany algorytm rozwiązywania problemów statycznie niewyznaczalnych metodą sił nadaje się również do rozwiązywania problemów statycznie niewyznaczalnych ze skręcaniem, obciążeniami osiowymi, a także ze złożonym odkształceniem pręta.

2.4. Stabilność prętów ściskanych

Do pełnego zrozumienia działania konstrukcji wraz z obliczeniami wytrzymałości i sztywności niezbędne są obliczenia stateczności elementów ściskanych i ściskano-giętych.

Oprócz obciążeń obliczeniowych obiekty inżynierskie mogą być poddawane dodatkowym, nie uwzględnionym w obliczeniach, niewielkim zakłóceniom, które mogą powodować odkształcenia pozaprojektowe elementów obiektu (krzywizna osi ściskanych elementów, przestrzenne ugięcie płaskiej -element zakrzywiony). Wynik takiego dodatkowego oddziaływania zależy od intensywności obciążeń działających na element konstrukcyjny. Dla każdego elementu istnieje pewna wartość obciążenia krytycznego, powyżej której niewielkie przypadkowe zaburzenie powoduje nieodwracalne, pozaprojektowe odkształcenie. Ten stan obiektu jest niebezpieczny.

W ogólnym przypadku (pręt o zmiennym przekroju, złożony układ obciążeń) całkę Mohra wyznacza się całkowaniem numerycznym. W wielu praktycznych przypadkach, gdy sztywność przekroju jest stała na długości pręta, całkę Mohra można obliczyć za pomocą reguły Vereshchagina. Rozważ definicję całki Mohra w sekcji od a do 6 (ryc. 9.18).

Ryż. 9.18. Reguła Wierieszczagina do obliczania całki Mohra

Wykresy momentów z pojedynczego współczynnika siły składają się z odcinków prostych. Bez utraty ogólności zakładamy, że w obrębie obszaru

gdzie A i B są parametrami linii prostej:

Całka Mohra na rozpatrywanym przekroju stałym ma postać

gdzie F jest obszarem pod krzywą (obszar wykresu momentów zginających od sił zewnętrznych w przekroju z).

gdzie jest odcięta środka ciężkości obszaru.

Równość (109) obowiązuje wtedy, gdy nie zmienia znaku w obrębie działki i może być traktowana jako element powierzchni działki. Teraz z relacji (107) -(109) otrzymujemy

Moment od pojedynczego obciążenia w przekroju

Tabela pomocnicza dotycząca stosowania reguły Vereshchagina znajduje się na ryc. 9.19.

Uwagi. 1. Jeśli schemat działania sił zewnętrznych na miejscu jest liniowy (na przykład pod działaniem sił i momentów skupionych), wówczas regułę można zastosować w odwrotnej formie: obszar diagramu z jednostki współczynnik siły mnoży się przez rzędną wykresu odpowiadającą środkowi ciężkości obszaru. Wynika to z powyższego dowodu.

2. Regułę Wierieszczagina można rozszerzyć na całkę Mohra w postaci ogólnej (równanie (103)).

Ryż. 9.19. Pola i położenie środków ciężkości na wykresach momentów

Ryż. 9.20. Przykłady wyznaczania ugięcia i kątów obrotu zgodnie z regułą Vereshchagina

Główny wymóg w tym przypadku jest następujący: w przekroju współczynniki siły wewnętrznej obciążenia jednostkowego muszą być funkcjami liniowymi wzdłuż osi pręta (liniowość wykresów!).

Przykłady. 1. Określ ugięcie w punkcie A pręta wspornikowego pod działaniem skupionego momentu M (ryc. 9.20, a).

Ugięcie w punkcie A określa się ze wzoru (dla uproszczenia indeks pominięto)

Znak minus wynika z faktu, że mają różne znaki.

2. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A wspornika pod wpływem rozłożonego obciążenia.

Ugięcie określa się ze wzoru

Wykresy momentu zginającego M i siły ścinającej Q od obciążenia zewnętrznego pokazano na rys. 2. 9.20, b, poniżej na tym rysunku znajdują się diagramy pod działaniem siły jednostkowej. Dalej znajdujemy

3. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A i kąt obrotu w punkcie B dla belki dwupodporowej obciążonej momentem skupionym (rys. 9.20.).

Ugięcie określa się ze wzoru (pomija się odkształcenie przy ścinaniu)

Ponieważ wykres momentu z siły jednostkowej nie jest przedstawiony jedną linią; następnie całkę dzielimy na dwie części:

Kąt obrotu w punkcie B jest równy

Komentarz. Z powyższych przykładów widać, że metoda Vereshchagina w prostych przypadkach pozwala szybko określić ugięcia i kąty obrotu. Ważne jest jedynie zastosowanie reguły pojedynczego znaku. Jeśli zgodzimy się na wykreślenie wykresów momentów zginających na „rozciągniętym włóknie” podczas zginania pręta (patrz rys. 9.20), wówczas od razu łatwo będzie zobaczyć wartości dodatnie i ujemne chwil.

Szczególną zaletą reguły Vereshchagina jest to, że można ją stosować nie tylko do wędek, ale także do ram (rozdz. 17).

Ograniczenia stosowania reguły Vereshchagina.

Ograniczenia te wynikają z wyprowadzenia wzoru (110), ale zwróćmy na nie uwagę jeszcze raz.

1. Wykres momentu zginającego od pojedynczego obciążenia powinien mieć postać pojedynczej linii prostej. Na ryc. 9.21 pokazany jest przypadek, gdy warunek ten nie jest spełniony. Całkę Mohra należy obliczyć oddzielnie dla odcinków I i II.

2. Moment zginający od obciążenia zewnętrznego w przekroju musi mieć jeden znak. Na ryc. 9.21, b pokazuje przypadek, w którym regułę Vereshchagina należy zastosować dla każdej sekcji osobno. To ograniczenie nie dotyczy momentu od pojedynczego obciążenia.

Ryż. 9.21. Ograniczenia w stosowaniu reguły Vereshchagina: a - diagram ma przerwę; b - schemat ma różne znaki; c - pręt ma różne przekroje

3. Sztywność pręta w obrębie przekroju musi być stała, w przeciwnym razie integrację należy rozszerzyć oddzielnie na przekroje o stałej sztywności. Ograniczeń dotyczących stałej sztywności można uniknąć poprzez wykreślenie.

Rozdział 1

1.1. Podstawowe zależności teorii zginania belki

Belki Zwyczajowo nazywa się pręty pracujące w zginaniu pod działaniem obciążenia poprzecznego (normalnego do osi pręta). Belki są najczęstszym elementem konstrukcji statków. Oś belki jest miejscem położenia środków ciężkości jej przekrojów w stanie nieodkształconym. Belkę nazywamy prostą, jeśli jej oś jest linią prostą. Geometryczne położenie środków ciężkości przekrojów belki w stanie zgiętym nazywa się linią sprężystą belki. Przyjmowany jest następujący kierunek osi współrzędnych: oś WÓŁ wyrównane z osią belki i osią OJ I uncja- z głównymi środkowymi osiami bezwładności przekroju (ryc. 1.1).

Teoria zginania belki opiera się na następujących założeniach.

1. Przyjmuje się hipotezę przekrojów płaskich, zgodnie z którą przekroje belki, początkowo płaskie i prostopadłe do osi belki, po jej zgięciu pozostają płaskie i normalne do linii sprężystej belki. Dzięki temu można uwzględnić odkształcenie zginające belki niezależnie od odkształcenia ścinającego, które powoduje zniekształcenie płaszczyzn przekroju poprzecznego belki i ich obrót względem linii sprężystości (rys. 1.2, A).

2. Naprężenia normalne w obszarach równoległych do osi belki są pomijane ze względu na ich małą wielkość (rys. 1.2, B).

3. Belki uważa się za wystarczająco sztywne, tj. ich ugięcia są małe w porównaniu z wysokością belek, a kąty obrotu przekrojów są małe w porównaniu do jedności (ryc. 1.2, V).

4. Naprężenia i odkształcenia są powiązane zależnością liniową, tj. Obowiązuje prawo Hooke'a (ryc. 1.2, G).

Ryż. 1.2. Założenia teorii zginania belek

Rozważymy momenty zginające i siły ścinające, które pojawiają się podczas zginania belki w jej przekroju w wyniku działania części belki mentalnie odrzuconej wzdłuż przekroju na pozostałą jej część.

Moment wszystkich sił działających w przekroju względem jednej z głównych osi nazywany jest momentem zginającym. Moment zginający jest równy sumie momentów wszystkich sił (w tym reakcji i momentów podporowych) działających na odrzuconą część belki, względem określonej osi rozpatrywanego przekroju.

Rzut na płaszczyznę przekroju wektora głównego sił działających w przekroju nazywany jest siłą ścinającą. Jest równa sumie rzutów na płaszczyznę przekroju wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) działających na odrzuconą część belki.

Ograniczamy się do rozważenia zginania belki, które zachodzi w płaszczyźnie XOZ. Zginanie takie będzie miało miejsce w przypadku, gdy obciążenie poprzeczne będzie działać w płaszczyźnie równoległej do tej płaszczyzny XOZ, a jego wypadkowa w każdym przekroju przechodzi przez punkt zwany środkiem zagięcia przekroju. Należy pamiętać, że dla przekrojów belek o dwóch osiach symetrii środek zgięcia pokrywa się ze środkiem ciężkości, a dla przekrojów z jedną osią symetrii leży na osi symetrii, ale nie pokrywa się ze środkiem ciężkości.

Obciążenie belek wchodzących w skład kadłuba statku może być rozłożone (najczęściej równomiernie wzdłuż osi belki lub zmieniać się zgodnie z prawem liniowym) lub przyłożone w postaci skupionych sił i momentów.

Oznaczmy intensywność obciążenia rozłożonego (obciążenie na jednostkę długości osi belki) przez Q(X), zewnętrzna siła skupiona - as R, a zewnętrzny moment zginający jako M. Rozłożone obciążenie i siła skupiona są dodatnie, jeśli ich kierunki działania pokrywają się z dodatnim kierunkiem osi uncja(ryc. 1.3, A,B). Zewnętrzny moment zginający jest dodatni, jeśli jest skierowany w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (ryc. 1.3, V).

Ryż. 1.3. Reguła znaku dla obciążeń zewnętrznych

Oznaczmy ugięcie belki prostej podczas jej zginania w płaszczyźnie XOZ Poprzez w i kąt obrotu przekroju przez θ. Przyjmujemy zasadę znaków dla gięcia elementów (ryc. 1.4):

1) ugięcie jest dodatnie, jeżeli pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi uncja(ryc. 1.4, A):

2) kąt obrotu przekroju jest dodatni, jeżeli w wyniku zginania sekcja obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (ryc. 1.4, B);

3) momenty zginające są dodatnie, jeśli belka pod ich wpływem wygina się wypukłością w górę (ryc. 1.4, V);

4) siły tnące są dodatnie, jeśli obracają wybrany element belki w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (rys. 1.4, G).

Ryż. 1.4. Reguła znaku dla elementów zgiętych

Bazując na hipotezie przekrojów płaskich można zauważyć (rys. 1.5), że wydłużenie względne włókna ε X, zlokalizowany w z od osi neutralnej będzie równa

ε X= −z/ρ ,(1.1)

Gdzie ρ jest promieniem krzywizny belki w rozpatrywanym przekroju.

Ryż. 1,5. Schemat zginania belki

Oś neutralna przekroju poprzecznego jest zbiorem punktów, dla których odkształcenie liniowe podczas zginania jest równe zeru. Między krzywizną a pochodnymi w(X) istnieje zależność

Na mocy przyjętego założenia o małości kątów obrotu dla wystarczająco sztywnych belek, wartośćmałe w porównaniu z jednością, więc możemy to założyć

Zastępowanie 1/ ρ z (1.2) do (1.1) otrzymujemy

Normalne naprężenia zginające σ X zgodnie z prawem Hooke’a będzie równa

Ponieważ z definicji belek wynika, że ​​nie ma siły wzdłużnej skierowanej wzdłuż osi belki, główny wektor naprężeń normalnych musi zniknąć, tj.

Gdzie F jest polem przekroju poprzecznego belki.

Z (1.5) otrzymujemy, że moment statyczny pola przekroju poprzecznego belki jest równy zero. Oznacza to, że oś neutralna przekroju przechodzi przez jego środek ciężkości.

Moment sił wewnętrznych działających w przekroju poprzecznym względem osi neutralnej, Mój będzie

Jeśli weźmiemy pod uwagę moment bezwładności pola przekroju poprzecznego względem osi neutralnej OJ jest równe , i podstawiamy tę wartość do (1.6), to otrzymujemy zależność wyrażającą podstawowe równanie różniczkowe dla zginania belki

Moment sił wewnętrznych w przekroju względem osi uncja będzie

Od osi OJ I uncja według warunku są to główne osie środkowe przekroju .

Wynika z tego, że pod działaniem obciążenia w płaszczyźnie równoległej do głównej płaszczyzny zginania linia sprężysta belki będzie płaską krzywizną. Ten zakręt nazywa się płaski. Na podstawie zależności (1.4) i (1.7) otrzymujemy

Wzór (1.8) pokazuje, że normalne naprężenia zginające belek są proporcjonalne do odległości od osi neutralnej belki. Wynika to oczywiście z hipotezy o przekrojach płaskich. W obliczeniach praktycznych, w celu określenia najwyższych naprężeń normalnych, często wykorzystuje się wskaźnik przekroju belki

gdzie | z| max to wartość bezwzględna odległości najdalszego światłowodu od osi neutralnej.

Dalsze indeksy y pominięty dla uproszczenia.

Istnieje związek pomiędzy momentem zginającym, siłą ścinającą i natężeniem obciążenia poprzecznego, który wynika ze stanu równowagi elementu mentalnie izolowanego od belki.

Rozważmy element belkowy o długości dx (ryc. 1.6). Zakłada się przy tym, że odkształcenia elementu są pomijalne.

Jeśli moment działa w lewej części elementu M i siłę cięcia N, to w jego prawej części odpowiednie siły będą miały przyrosty. Rozważaj tylko przyrosty liniowe .

Ryc.1.6. Siły działające na element belkowy

Przyrównanie do zera rzutu na oś uncja wszystkich wysiłków działających na element i moment wszystkich wysiłków względem neutralnej osi prawego odcinka, otrzymujemy:

Z tych równań otrzymujemy wartości wyższego rzędu małości

Z (1.11) i (1.12) wynika, że

Zależności (1.11)–(1.13) znane są jako twierdzenie Żurawskiego–Schwedlera Z zależności tych wynika, że ​​siłę ścinającą i moment zginający można wyznaczyć całkując obciążenie Q:

Gdzie N 0 i M 0 - siła ścinająca i moment zginający w przekroju odpowiadającymx=X 0 , które przyjmuje się za początek; ξ,ξ 1 – zmienne całkujące.

Stały N 0 i M Wartość 0 dla belek statycznie wyznaczalnych można wyznaczyć z warunków ich równowagi statycznej.

Jeżeli belka jest statycznie wyznaczalna, moment zginający w dowolnym przekroju można wyznaczyć z (1.14), a linię sprężystości wyznacza się poprzez dwukrotne całkowanie równania różniczkowego (1.7). Jednakże belki statycznie wyznaczalne są niezwykle rzadkie w konstrukcjach kadłubów statków. Większość belek wchodzących w skład konstrukcji statków tworzy układy wielokrotnie statycznie niewyznaczalne. W takich przypadkach do wyznaczenia linii sprężystości równanie (1.7) jest niewygodne i wskazane jest przejście do równania czwartego rzędu.

1.2. Równanie różniczkowe na zginanie belki

Równanie różniczkujące (1.7) dla przypadku ogólnego, gdy moment bezwładności przekroju jest funkcją X, biorąc pod uwagę (1.11) i (1.12), otrzymujemy:

gdzie kreski oznaczają zróżnicowanie ze względu na X.

Dla belek pryzmatycznych, tj. belek o stałym przekroju otrzymujemy następujące równania różniczkowe zginania:

Zwykłe niejednorodne liniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu (1.18) można przedstawić jako zbiór czterech równań różniczkowych pierwszego rzędu:

Następnie wykorzystujemy równanie (1.18) lub układ równań (1.19) do określenia ugięcia belki (jej linii sprężystości) i wszystkich nieznanych elementów zginających: w(X), θ (X), M(X), N(X).

Całkowanie (1.18) kolejno 4 razy (zakładając, że lewy koniec belki odpowiada przekrojowiX= x a ), otrzymujemy:

Łatwo zauważyć, że stałe całkowania Nie,MA,θ a , wa mają określone znaczenie fizyczne, a mianowicie:

Nie- siła skrawania na początku, tj. Na x=x a ;

MA- moment zginający na początku;

θ a – kąt obrotu w punkcie początkowym;

wa - ugięcie w tym samym przekroju.

Aby wyznaczyć te stałe, zawsze można postawić cztery warunki brzegowe – po dwa na każdy koniec belki jednoprzęsłowej. Oczywiście warunki brzegowe zależą od ułożenia końców belki. Najprostsze warunki odpowiadają podparciu przegubowemu na sztywnych podporach lub sztywnemu mocowaniu.

Kiedy koniec belki jest zawieszony na sztywnym wsporniku (ryc. 1.7, A) ugięcie belki i moment zginający są równe zeru:

Ze sztywnym zakończeniem na sztywnym wsporniku (ryc. 1.7, B) ugięcie i kąt obrotu przekroju są równe zeru:

Jeśli koniec belki (konsola) jest wolny (ryc. 1.7, V), to w tym przekroju moment zginający i siła ścinająca są równe zeru:

Możliwa jest sytuacja związana z zakończeniem ślizgowym lub symetrycznym (rys. 1.7, G). Prowadzi to do następujących warunków brzegowych:

Należy pamiętać, że warunki brzegowe (1.26) dotyczące ugięć i kątów obrotu nazywane są kinematyczny i warunki (1.27) moc.

Ryż. 1.7. Rodzaje warunków brzegowych

W konstrukcjach okrętowych często mamy do czynienia z bardziej złożonymi warunkami brzegowymi, które odpowiadają podparciu belki na podporach sprężystych lub sprężystym zakończeniu końcówek.

Elastyczne wsparcie (ryc. 1.8, A) nazywa się podporą, której spadek jest proporcjonalny do reakcji działającej na podporę. Rozważymy reakcję podpory sprężystej R dodatni, jeśli oddziałuje na podporę w kierunku dodatniego kierunku osi uncja. Następnie możesz napisać:

w =AR,(1.29)

Gdzie A- współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem podatności podpory sprężystej.

Współczynnik ten jest równy opadowi sprężystego podłoża pod wpływem reakcji R= 1, tj. A=wR = 1 .

Podporami sprężystymi w konstrukcjach statków mogą być belki wzmacniające rozważaną belkę lub filary i inne konstrukcje pracujące na ściskanie.

Aby określić współczynnik podatności podpory sprężystej A należy obciążyć odpowiednią konstrukcję siłą jednostkową i znaleźć wartość bezwzględną osiadania (ugięcia) w miejscu przyłożenia siły. Podpora sztywna jest szczególnym przypadkiem podpory elastycznej A= 0.

Uszczelka elastyczna (ryc. 1.8, B) jest taką konstrukcją nośną, która uniemożliwia swobodny obrót przekroju i w której kąt obrotu θ w tym przekroju jest proporcjonalny do momentu, tj. istnieje zależność

θ = Â M.(1.30)

Mnożnik proporcjonalności  nazywany jest współczynnikiem podatności uszczelki elastycznej i można go zdefiniować jako kąt obrotu uszczelki elastycznej przy M= 1, tj.  = θ M= 1 .

Szczególny przypadek elastycznego osadzania przy  = 0 to twarde zakończenie. W konstrukcjach okrętowych osadzaniami sprężystymi są zwykle belki normalne do rozpatrywanej i leżące w tej samej płaszczyźnie. Na przykład belki itp. można uznać za elastycznie osadzone na ramach.

Ryż. 1.8. Elastyczne wsparcie ( A) i elastyczne osadzenie ( B)

Jeśli końce belki są długie L wsparty na podporach sprężystych (rys. 1.9), wówczas reakcje podpór w przekrojach końcowych są równe siłom ścinającym i można zapisać warunki brzegowe:

Przyjmuje się znak minus w pierwszym warunku (1.31), ponieważ dodatnia siła tnąca w lewym przekroju odniesienia odpowiada reakcji działającej na belkę od góry do dołu i na podporę od dołu do góry.

Jeśli końce belki są długie Lelastycznie osadzony(Rys. 1.9), to dla przekrojów odniesienia, uwzględniając zasadę znaku dla kątów obrotu i momentów zginających, możemy napisać:

Przyjmuje się znak minus w drugim warunku (1.32), ponieważ przy dodatnim momencie w prawym odcinku odniesienia belki moment działający na mocowanie sprężyste jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a dodatni kąt obrotu w tym odcinku jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara , tj. kierunki momentu i kąt obrotu nie są zgodne.

Uwzględnienie równania różniczkowego (1.18) i wszystkich warunków brzegowych pokazuje, że są one liniowe zarówno w odniesieniu do zawartych w nich ugięć i ich pochodnych, jak i obciążeń działających na belkę. Liniowość jest konsekwencją założeń o obowiązywaniu prawa Hooke'a i małej wartości ugięcia belki.

Ryż. 1.9. Belka, której oba końce są elastycznie podparte i elastycznie osadzone ( A);

siły w elastycznych podporach i elastycznych uszczelkach odpowiadają dodatnim
kierunki momentu zginającego i siły ścinającej ( B)

Gdy na belkę działa kilka obciążeń, każdy element zginający belkę (ugięcie, kąt obrotu, moment i siła ścinająca) jest sumą elementów zginających z działania każdego z obciążeń z osobna. To bardzo ważne postanowienie, zwane zasadą superpozycji, czyli zasadą sumowania działania obciążeń, jest szeroko stosowane w obliczeniach praktycznych, a zwłaszcza w celu ujawnienia statycznej niewyznaczalności belek.

1.3. Metoda parametrów początkowych

Całkę ogólną z równania różniczkowego zginania belki można wykorzystać do wyznaczenia linii sprężystości belki jednoprzęsłowej, gdy obciążenie belki jest ciągłą funkcją współrzędnych w całym rozpiętości. Jeżeli obciążenie zawiera siły skupione, momenty lub obciążenie rozłożone działa na części długości belki (rys. 1.10), wówczas wyrażenia (1.24) nie można zastosować bezpośrednio. W tym przypadku byłoby to możliwe poprzez oznaczenie linii sprężystych w sekcjach 1, 2 i 3 do w 1 , w 2 , w 3 wypisz dla każdego z nich całkę w postaci (1.24) i znajdź wszystkie dowolne stałe z warunków brzegowych na końcach belki i warunków koniugacji na granicach przekrojów. Warunki koniugacji w rozpatrywanym przypadku wyrażają się następująco:

Na x=a 1

Na x=a 2

Na x=a 3

Łatwo zauważyć, że taki sposób rozwiązania problemu prowadzi do dużej liczby dowolnych stałych, równej 4 N, Gdzie N- liczba sekcji na długości belki.

Ryż. 1.10. Belka, na niektórych odcinkach przykładane są obciążenia różnego typu

O wiele wygodniej jest przedstawić w formie linię sprężystą belki

gdzie terminy stojące za podwójną linią są brane pod uwagę kiedy X³ A 1, X³ A 2 itd.

Oczywiście δ 1 w(X)=w 2 (X)−w 1 (X); δ2 w(X)=w 3 (X)−w 2 (X); itp.

Równania różniczkowe do wyznaczania poprawek na linię sprężystości δ Iw (X) na podstawie (1.18) i (1.32) można zapisać jako

Całka ogólna dla dowolnej poprawki δ Iw (X) do linii sprężystej można zapisać w postaci (1.24) dla x a = ja . Jednocześnie parametry Nie,MA,θ a , wa zmiany (skoki) mają sens odpowiednio: w sile tnącej, momencie zginającym, kącie obrotu i strzałce ugięcia na przejściu przez przekrój x=ja . Technika ta nazywana jest metodą parametrów początkowych. Można wykazać, że dla belki pokazanej na rys. 1.10, równanie linii sprężystości będzie miało postać

Zatem metoda parametrów początkowych pozwala, nawet w przypadku nieciągłości obciążeń, zapisać równanie prostej sprężystej w postaci zawierającej tylko cztery dowolne stałe N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, które są wyznaczane na podstawie warunków brzegowych na końcach belki.

Należy pamiętać, że dla dużej liczby spotykanych w praktyce wariantów belek jednoprzęsłowych opracowano szczegółowe tabele zginania, które ułatwiają znalezienie ugięcia, kątów obrotu i innych elementów zginających.

1.4. Wyznaczanie naprężeń stycznych podczas zginania belki

Hipoteza przekrojów płaskich przyjęta w teorii zginania belki prowadzi do tego, że odkształcenie ścinające w przekroju belki okazuje się równe zeru i nie mamy możliwości, korzystając z prawa Hooke'a, wyznaczyć naprężenia styczne. Ponieważ jednak w ogólnym przypadku w przekrojach belek działają siły ścinające, powinny powstać odpowiadające im naprężenia ścinające. Sprzeczności tej (będącej konsekwencją przyjętej hipotezy o przekrojach płaskich) można uniknąć, uwzględniając warunki równowagi. Zakładamy, że przy zginaniu belki złożonej z cienkich pasków naprężenia styczne w przekroju każdego z tych pasków rozkładają się równomiernie na grubości i są skierowane równolegle do długich boków jej obrysu. Stanowisko to praktycznie potwierdzają dokładne rozwiązania teorii sprężystości. Rozważmy belkę otwartej cienkościennej belki dwuteowej. Na ryc. Na rys. 1.11 przedstawiono dodatni kierunek naprężeń stycznych w pasach i ścianie profilu podczas zginania w płaszczyźnie ściany belki. Wybierz przekrój podłużny I-I i dwa przekroje długości elementu dx (ryc. 1.12).

Oznaczmy naprężenie styczne we wskazanym przekroju podłużnym jako τ, a siły normalne w początkowym przekroju jako T. Siły normalne w ostatnim odcinku będą miały przyrosty. W takim razie rozważaj tylko przyrosty liniowe.

Ryż. 1.12. Siły podłużne i naprężenia ścinające
w elemencie belki nośnej

Stan równowagi statycznej wybranego elementu z belki (równość zeru rzutów sił na oś WÓŁ) będzie

Gdzie ; F- obszar części profilu odcięty linią I-I; δ jest grubością profilu w miejscu przekroju.

Z (1.36) wynika:

Ponieważ naprężenia normalne σ X są określone wzorem (1.8), wówczas

W tym przypadku zakładamy, że belka ma przekrój stały na całej długości. Moment statyczny części profilu (linia odcięcia I-I) względem osi neutralnej przekroju belki OJ jest całką

Następnie z (1.37) dla wartości bezwzględnej naprężeń otrzymujemy:

Naturalnie otrzymany wzór na określenie naprężeń ścinających obowiązuje również na przykład dla dowolnego przekroju podłużnego II-II(patrz rys. 1.11) i moment statyczny S ots oblicza się dla odciętej części powierzchni profilu belki względem osi neutralnej, bez uwzględnienia znaku.

Wzór (1.38), zgodnie ze znaczeniem wyprowadzenia, określa naprężenia styczne w przekrojach podłużnych belki. Z twierdzenia o parowaniu naprężeń stycznych, znanego z przebiegu wytrzymałości materiałów, wynika, że ​​w odpowiednich punktach przekroju belki działają te same naprężenia styczne. Naturalnie rzut głównego wektora naprężenia ścinającego na oś uncja musi być równa sile ścinającej N w tej części belki. Ponieważ w tego typu belkach wieńcowych, jak pokazano na rys. 1.11 naprężenia ścinające są skierowane wzdłuż osi OJ, tj. normalne do płaszczyzny działania obciążenia i zasadniczo zrównoważone, siła ścinająca musi być równoważona przez naprężenia ścinające w środniku belki. Rozkład naprężeń stycznych wzdłuż wysokości ściany podlega prawu zmiany momentu statycznego S odciąć część powierzchni względem osi neutralnej (przy stałej grubości ścianki δ).

Rozważmy symetryczny przekrój belki dwuteowej z obszarem pasa F 1 i obszar ściany ω = hδ (ryc. 1.13).

Ryż. 1.13. Sekcja dwuteownika

Moment statyczny odciętej części obszaru dla punktu oddzielonego przez z od osi neutralnej, will

Jak widać z zależności (1.39), moment statyczny zmienia się od z zgodnie z prawem paraboli kwadratowej. Najwyższa wartość S ots , a co za tym idzie, naprężenia ścinające τ , okaże się na osi neutralnej, gdzie z= 0:

Największe naprężenie ścinające w środniku belki w osi neutralnej

Ponieważ moment bezwładności przekroju rozważanej belki jest równy

wtedy będzie największe naprężenie ścinające

Postawa N/ω to nic innego jak średnie naprężenie ścinające w ścianie, obliczone przy założeniu równomiernego rozkładu naprężeń. Biorąc na przykład ω = 2 F 1 , ze wzoru (1.41) otrzymujemy

Zatem dla rozważanej belki największe naprężenie ścinające w ścianie w osi neutralnej wynosi zaledwie 12,5% przekracza średnią wartość tych naprężeń. Należy zauważyć, że dla większości profili belek stosowanych w kadłubie statku przekroczenie maksymalnych naprężeń stycznych ponad średnie wynosi 10–15%.

Jeśli weźmiemy pod uwagę rozkład naprężeń stycznych podczas zginania w przekroju poprzecznym belki pokazanym na ryc. 1.14 widać, że tworzą one moment względem środka ciężkości przekroju. W ogólnym przypadku zginanie takiej belki w płaszczyźnie XOZ towarzyszyć będzie skręcanie.

Zginaniu belki nie towarzyszy skręcanie, jeśli obciążenie działa w płaszczyźnie równoległej do XOZ przechodząc przez punkt zwany środkiem zakrętu. Punkt ten charakteryzuje się tym, że moment wszystkich sił stycznych w przekroju belki względem niego jest równy zero.

Ryż. 1.14. Naprężenia styczne podczas zginania belki ceowej (pkt A - zagięcie środka)

Oznacza odległość od środka zakrętu A od osi środnika belki przez mi, zapisujemy warunek równości do zera momentu sił stycznych względem punktu A:

Gdzie Q 2 - siła styczna w ścianie równa sile ścinającej, tj. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - siła w pasie, określona na podstawie (1.38) z zależności

Odkształcenie ścinające (lub kąt ścinania) γ zmienia się wzdłuż wysokości środnika belki w taki sam sposób, jak naprężenia ścinające τ , osiągając największą wartość na osi neutralnej.

Jak pokazano, dla belek ze wspornikami zmiana naprężeń stycznych wzdłuż wysokości ściany jest bardzo niewielka. Pozwala to na dalsze rozważenie pewnego średniego kąta ścinania w środniku belki

Odkształcenie ścinające prowadzi do tego, że kąt prosty pomiędzy płaszczyzną przekroju belki a styczną do linii sprężystej zmienia się o wartość γ por. Uproszczony schemat odkształcenia elementu belkowego przy ścinaniu pokazano na ryc. 1,15.

Ryż. 1,15. Wykres ścinania elementu belki

Oznacza strzałkę ugięcia spowodowaną przecięciem w sdv, możemy napisać:

Uwzględnienie zasady znaku dla siły ścinającej N i znajdź kąt obrotu

Ponieważ ,

Całkując (1.47) otrzymujemy

Stały A, zawarty w (1.48), określa przemieszczenie belki jako bryły sztywnej i można przyjąć dowolną wartość, gdyż przy wyznaczaniu strzałki całkowitego odchylenia od zginania w zginać i ścinać w sdv

pojawi się suma stałych całkowania w 0 +A określone na podstawie warunków brzegowych. Tutaj w 0 - ugięcie od zgięcia na początku.

Wkładamy w przyszłość A=0. Wtedy ostateczne wyrażenie linii sprężystej spowodowanej ścinaniem przyjmie formę

Elementy zginające i ścinające linii sprężystej pokazano na rysunkach. 1.16.

Ryż. 1.16. Elastyczne ( A) i ścinanie ( B) składowe linii sprężystej belki

W rozpatrywanym przypadku kąt obrotu przekrojów podczas ścinania jest równy zeru, zatem biorąc pod uwagę ścinanie, kąty obrotu przekrojów, momenty zginające i siły ścinające są skojarzone jedynie z pochodnymi linii sprężystości od zginania:

Nieco inaczej sytuacja wygląda w przypadku działania momentów skupionych na belce, które jak zostanie pokazane poniżej nie powodują ugięć ścinających, a jedynie powodują dodatkowy obrót przekrojów belki.

Rozważmy belkę swobodnie podpartą na sztywnych podporach, której lewą część moment aktorski M. Siła tnąca w tym przypadku będzie stałe i równe

Odpowiednio dla właściwej sekcji referencyjnej otrzymujemy

.(1.52)

Wyrażenia (1.51) i (1.52) można przepisać jako

Wyrażenia w nawiasach charakteryzują względny dodatek do kąta obrotu przekroju spowodowanego ścinaniem.

Jeśli weźmiemy pod uwagę na przykład swobodnie podpartą belkę obciążoną siłą w środku jej rozpiętości R(Rys. 1.18), wówczas ugięcie belki pod wpływem siły będzie równe

Ugięcie przy zginaniu można znaleźć w tabelach gięcia belek. Ugięcie przy ścinaniu określa się wzorem (1,50), biorąc pod uwagę fakt, że .

Ryż. 1.18. Schemat swobodnie podpartej belki obciążonej siłą skupioną

Jak widać ze wzoru (1.55), dodatek względny do ugięcia belki od ścinania ma taką samą strukturę jak dodatek względny do kąta obrotu, ale z innym współczynnikiem liczbowym.

Wprowadzamy notację

gdzie β jest współczynnikiem liczbowym zależnym od rozpatrywanego zadania, rozmieszczenia podpór i obciążenia belki.

Przeanalizujmy zależność współczynnika k od różnych czynników.

Jeśli to uwzględnimy , zamiast (1.56) otrzymamy

Moment bezwładności przekroju belki można zawsze przedstawić jako

,(1.58)

gdzie α jest współczynnikiem liczbowym zależnym od kształtu i charakterystyki przekroju. Zatem dla dwuteownika zgodnie ze wzorem (1.40) przy ω = 2 F 1 znalezisko ja= ωh 2/3, tj. α=1/3.

Należy pamiętać, że wraz ze wzrostem wymiarów wsporników belek współczynnik α będzie wzrastał.

Biorąc pod uwagę (1.58) zamiast (1.57) możemy napisać:

Zatem wartość współczynnika k w istotny sposób zależy od stosunku rozpiętości belki do jej wysokości, kształtu przekroju (poprzez współczynnik α), układu podpór i obciążenia belki (poprzez współczynnik β). Im stosunkowo dłuższa belka ( H/L małe), tym mniejszy jest efekt odkształcenia ścinającego. W przypadku walcowanych belek profilowych związanych z H/L mniejsza niż 1/10 1/8, korekta przesunięcia praktycznie nie może być brana pod uwagę.

Jednakże w przypadku belek o szerokich obwodach, takich jak na przykład stępki, podłużnice i denniki stanowiące część płyt dennych, wpływ ścinania i przy wskazanym H/L może być znaczące.

Należy zauważyć, że odkształcenia ścinające wpływają nie tylko na wzrost ugięcia belek, ale w niektórych przypadkach także na skutki ujawnienia statycznej niewyznaczalności belek i układów belek.

Do usług. Ale aksjomaty: „jeśli chcesz, żeby praca została wykonana dobrze, zrób to sam” nie zostały jeszcze anulowane. Faktem jest, że w różnego rodzaju podręcznikach i podręcznikach zdarzają się literówki lub błędy, więc korzystanie z gotowych wzorów nie zawsze jest dobre.

11. Wyznaczanie kąta obrotu.

Ugięcie konstrukcji budynku, a w naszym przypadku belek, to jedyna wartość, którą najłatwiej określić empirycznie, a najtrudniej teoretycznie. Kiedy przykładaliśmy obciążenie do linijki (dociskaliśmy ją palcem lub siłą naszego intelektu), gołym okiem widzieliśmy, że linijka się zwisała:

Rysunek 11.1. Przemieszczenie środka ciężkości przekroju belki w środku belki oraz kąt obrotu osi podłużnej przechodzącej przez środek ciężkości przekroju poprzecznego na jednej z podpór.

Gdybyśmy chcieli empirycznie określić wielkość ugięcia, to wystarczyłoby zmierzyć odległość od stołu, na którym leżą książki (niepokazanego na rysunku) do góry lub dołu linijki, następnie przyłożyć obciążenie i zmierzyć odległość od stołu do góry lub dołu linijki. Różnica odległości to wymagane ugięcie (na zdjęciu wartość ugięcia oznaczona jest pomarańczową linią):

Zdjęcie 1.

Spróbujmy jednak dojść do tego samego rezultatu, podążając ciernistą ścieżką teorii sopromatu.

Ponieważ belka jest wygięta (w dobrym tego słowa znaczeniu), okazuje się, że oś podłużna przechodząca przez środki ciężkości przekrojów wszystkich punktów belki, a przed przyłożeniem obciążenia pokrywała się z osią X, przesunięty. Jest to przemieszczenie środka ciężkości przekroju poprzecznego wzdłuż osi Na zwane ugięciem belki F. Poza tym widać, że na podporze ta najbardziej podłużna oś jest teraz pod pewnym kątem θ do osi X, a w miejscu działania skupionego obciążenia kąt obrotu = 0, ponieważ obciążenie jest przykładane w środku, a belka jest zgięta symetrycznie. Kąt obrotu jest zwykle oznaczany „ θ „i ugięcie” F„(w wielu podręcznikach na temat wytrzymałości materiałów ugięcie jest oznaczane jako” ν ", "w „lub jakikolwiek inny znak, ale dla nas, jako praktyków, wygodniej jest używać oznaczenia” F„zaakceptowane w SNiP).

Nie wiemy jeszcze, jak określić to ugięcie, ale wiemy, że obciążenie działające na belkę wytwarza moment zginający. Moment zginający wytwarza wewnętrzne normalne naprężenia ściskające i rozciągające w przekrojach poprzecznych belki. Te same naprężenia wewnętrzne powodują, że w górnej części belki jest ona ściskana, a w dolnej rozciągana, natomiast długość belki w osi przechodzącej przez środki ciężkości przekrojów pozostaje tak samo w górnej części długość belki maleje, a w dolnej zwiększa się, ponadto im dalej punkty przekrojów znajdują się od osi podłużnej, tym większe będzie odkształcenie. To właśnie odkształcenie możemy określić wykorzystując inną cechę materiału - moduł sprężystości.

Jeśli weźmiemy kawałek gumy bandażowej i spróbujemy ją rozciągnąć, okaże się, że guma rozciąga się bardzo łatwo i, z naukowego punktu widzenia, odkształca się znacznie pod wpływem nawet niewielkiego obciążenia. Jeśli spróbujemy zrobić to samo z naszą linijką, to jest mało prawdopodobne, że uda nam się rozciągnąć ją rękami nawet o dziesiąte części milimetra, nawet jeśli przyłożymy do linijki obciążenie kilkadziesiąt razy większe niż do gumy bandażowej. Tę właściwość dowolnego materiału opisuje moduł Younga, często nazywany po prostu modułem sprężystości. Fizyczne znaczenie modułu Younga przy maksymalnym dopuszczalnym obciążeniu obliczonej konstrukcji jest w przybliżeniu następujące: moduł Younga pokazuje stosunek naprężeń normalnych (które przy maksymalnym dopuszczalnym obciążeniu są równe obliczeniowej wytrzymałości materiału na odkształcenie względne pod takim obciążeniem:

E = R/∆ (11.1.1)

a to oznacza, że ​​dla pracy materiału w obszarze odkształceń sprężystych wartość wewnętrznych naprężeń normalnych, działających nie abstrakcyjnie, ale na dobrze określonym polu przekroju poprzecznego, biorąc pod uwagę odkształcenie względne, nie powinna przekraczać wartość modułu sprężystości:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

w naszym przypadku belka ma przekrój prostokątny, tzw S = b godz, gdzie b jest szerokością belki, h jest wysokością belki.

Moduł Younga mierzy się w paskalach lub kgf / m2. Dla zdecydowanej większości materiałów budowlanych moduły sprężystości wyznacza się empirycznie, wartość modułu dla konkretnego materiału można poznać z podręcznika lub Stół obrotowy .

Określenie wielkości odkształcenia przekroju, na który przykładane jest równomiernie rozłożone obciążenie lub siła skupiona w środku ciężkości przekroju, jest bardzo proste. W takim przekroju powstają normalne naprężenia ściskające lub rozciągające o wartości równej działającej sile, skierowane przeciwnie i stałe na całej wysokości belki (zgodnie z jednym z aksjomatów mechaniki teoretycznej):

Rysunek 507.10.1

i wtedy wyznaczenie odkształcenia względnego nie jest trudne, jeśli znane są parametry geometryczne belki (długość, szerokość i wysokość), najprostsze matematyczne przekształcenia wzoru (11.1.2) dają następujący wynik:

Δ = Q/(S· MI)(11.2.1) lub Δ = q godz/(S· MI) (11.2.2)

Ponieważ nośność obliczeniowa pokazuje, jakie maksymalne obciążenie można przyłożyć do określonego obszaru, w tym przypadku możemy rozważyć wpływ obciążenia skupionego na całą powierzchnię przekroju poprzecznego naszej konstrukcji. W niektórych przypadkach ważne jest określenie odkształceń w miejscu przyłożenia obciążenia skupionego, ale obecnie nie rozważamy takich przypadków. Aby określić całkowite odkształcenie, należy pomnożyć obie strony równania przez długość belki:

Δl = Q l/(b h E)(11.2.3) lub Δl = q godz l/(b godz E) (11.2.4)

Jednak w rozpatrywanym przez nas przypadku na przekroje belek nie działa siła skupiona przyłożona do środka ciężkości przekroju, ale moment zginający, który można przedstawić jako następujące obciążenie:

Rysunek 149.8.3

Przy takim obciążeniu maksymalne naprężenia wewnętrzne i odpowiednio maksymalne odkształcenia wystąpią w najwyższych i najniższych częściach belki, a w środku nie będzie żadnych odkształceń. Wypadkową takiego rozłożonego obciążenia i ramienia działania siły skupionej znaleźliśmy w poprzedniej części (), gdy wyznaczaliśmy moment oporu belki. Dlatego teraz bez większych trudności możemy określić całkowite odkształcenie w najwyższej i najniższej części belki:

Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E) (11.3.1)

Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

ponieważ W \u003d b godz. 2 / 6 (10.6)

Tę samą formułę możemy uzyskać w inny sposób. Jak wiemy moduł przekroju belki musi spełniać warunek:

W ≥ M / R (10.3)

Jeśli potraktujemy tę zależność jako równanie i zastąpimy wartość R przez ΔE w tym równaniu, otrzymamy następujące równanie:

W=M/ΔE (11.4.1)

M = WΔE(11.4.2) Δ = M/(W E)(11.4.5) i odpowiednio Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

W wyniku zdefiniowanej przez nas deformacji nasza belka mogłaby wyglądać następująco:

Rysunek 11.2. Założono (dla przejrzystości) odkształcenie belki

to znaczy w wyniku odkształceń najwyższe i najniższe punkty przekroju poprzecznego przesuną się o Δx. A to oznacza, że ​​znając wielkość odkształcenia i wysokość belki, możemy wyznaczyć kąt obrotu θ przekroju poprzecznego na podporze belki. Ze szkolnego kursu geometrii wiemy, że stosunek nóg trójkąta prostokątnego (w naszym przypadku nóg Δx i h / 2) jest równy tangensowi kąta θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ \u003d 2 M x / (h W. E) (11.5.3)

Jeśli przypomnimy sobie, że moment bezwładności to moment oporu przekroju poprzecznego pomnożony przez odległość od środka ciężkości do skrajnego punktu przekroju i odwrotnie, moment oporu to moment bezwładności podzielony przez odległość od środka ciężkości do skrajnego punktu przekroju:

W = I/(h/2)(10.7) lub Ja = Wh/2 (10.7.2)

wówczas możemy zastąpić moment oporu momentem bezwładności:

tgφ \u003d M x / (I E) (11.5.4)

chociaż nie było to konieczne, ale w ten sposób otrzymaliśmy wzór na kąt obrotu prawie taki sam, jak jest podawany we wszystkich podręcznikach i podręcznikach dotyczących wytrzymałości materiałów. Główna różnica polega na tym, że zwykle mówimy o kącie obrotu, a nie o tangensie kąta. I chociaż dla małych odkształceń wartości tangensa kąta i kąta są porównywalne, to jednak kąt i tangens kąta to różne rzeczy (jednak w niektórych podręcznikach, na przykład: Fesik S.P. ”) Podręcznik o wytrzymałości materiałów" Kijów: Budivelnik. - Wspomniano o przejściu od stycznej do kąta z 1982 r., choć moim zdaniem bez wystarczających wyjaśnień). Ponadto, chcąc być bardzo precyzyjnym, wyznaczamy w ten sposób stosunek odkształcenia podłużnego do wysokości belki

Obliczone elementy nie zawsze mają przekrój prostokątny, jak nasza rozważana linijka. Jako belki i nadproża można zastosować różne profile gorącowalcowane, ciosane i nieciosane kłody oraz wszystko inne. Niemniej jednak zrozumienie zasad obliczania momentu bezwładności pozwala wyznaczyć moment bezwładności dla przekroju o dowolnym, nawet bardzo skomplikowanym kształcie geometrycznym. W zdecydowanej większości przypadków nie jest konieczne obliczanie samego momentu bezwładności, dla profili metalowych o skomplikowanym przekroju (narożniki, ceowniki, dwuteowniki itp.) oblicza się moment bezwładności, a także moment oporu , jest ustalany przez asortyment . W przypadku elementów o przekroju okrągłym, owalnym, trójkątnym i niektórych innych typów przekroju moment bezwładności można określić na podstawie odpowiednich tabela .

Jeśli weźmiemy pod uwagę całkowite odkształcenie całej belki, tj. na całej długości l , to oczywiste jest, że całkowite odkształcenie pod naszymi obciążeniami nie może wystąpić tylko po jednej stronie belki, jak pokazano na rysunku 11.3.a:

Rysunek 11.3.

Ponieważ obciążenie przykładane jest do naszej belki w środku, w wyniku czego reakcje na podporach wynikające z działania obciążenia są sobie równe i każda jest równa połowie przyłożonego obciążenia, bardziej prawdopodobne jest, że w tych warunkach całkowite odkształcenie będzie wyglądało jak na rysunku 11.3.b i wówczas w naszym konkretnym przypadku kąt nachylenia przekroju poprzecznego na każdej z podpór będzie wynosić:

tgθ = M x/(2IE) (11.5.5)

Do tej pory tangens kąta obrotu wyznaczaliśmy prostą metodą graficzno-analityczną, a w przypadku przyłożenia obciążenia do belki w środku, poradziliśmy sobie dobrze. Ale istnieje wiele opcji przykładania obciążeń do belki i chociaż całkowite odkształcenie będzie zawsze równe Δl, ale kąt nachylenia przekrojów na podporach może być inny. Jeśli przyjrzymy się bliżej wzorom (11.5.4) i (11.5.5), zobaczymy, że wartość momentu w pewnym momencie mnożymy przez wartość X, co z punktu widzenia mechaniki teoretycznej nie różni się od pojęcia - „ramię siły”. Okazuje się, że aby wyznaczyć tangens kąta obrotu, musimy pomnożyć wartość momentu przez ramię działania momentu, co oznacza, że ​​pojęcie „ramienia” można zastosować nie tylko do siły, ale także do chwili obecnej. Kiedy korzystaliśmy z koncepcji ramienia działania siły, odkrytej przez Archimedesa, zakładaliśmy również, jak daleko może nas to zaprowadzić. Metoda pokazana na rysunku 5.3 dała nam wartość momentu arm = x/2. Spróbujmy teraz wyznaczyć ramię momentu w inny sposób (metoda grafowo-analityczna). Tutaj będziemy potrzebować schematów zbudowanych dla belki na podporach przegubowych:

Rysunek 149.7.1 Rysunek 149.7.2

Teoria wytrzymałości materiałów pozwala traktować wewnętrzne naprężenia normalne, scharakteryzowane wykresem „M” na rysunku 149.7.1 dla belki o stałej sztywności, jako rodzaj zewnętrznego obciążenia fikcyjnego. Wówczas obszar wykresu „M” od początku belki do środka przęsła jest fikcyjną reakcją podporową materiału belki na równomiernie zmieniające się obciążenie. A fikcyjny moment zginający to obszar diagramu „M” pomnożony przez odległość od środka ciężkości diagramu „M” do rozważanego punktu. Ponieważ wartość momentu zginającego w środku przęsła wynosi Ql/4, pole takiej figury będzie wynosić Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. A jeśli tę wartość podzielimy przez sztywność EI, otrzymamy wartość tangensa kąta obrotu.

Patrząc w przyszłość, określamy wartość ugięcia. Odległość środka ciężkości trójkąta „M” do środka przęsła wynosi l/6, wówczas fikcyjny moment zginający wyniesie (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/ 6 = Ql 3 /48. Wtedy ugięcie f = Ql 3 /48EI. A ponieważ wykres momentu znajduje się na dole belki, to takie fikcyjne obciążenie ostatecznie da ujemną wartość kąta obrotu i ugięcia, co jest ogólnie logiczne, ponieważ przy takim działaniu obciążenia ugięcie - przemieszczenie belki środek ciężkości przekroju poprzecznego będzie przebiegał wzdłuż osi Y.

Cechą charakterystyczną metody graficzno-analitycznej jest możliwość dalszego ograniczenia liczby obliczeń. Aby to zrobić, należy pomnożyć powierzchnię diagramu fikcyjnego obciążenia przez odległość od środka ciężkości diagramu do początku współrzędnych, a nie do rozważanego punktu na osi. Przykładowo dla powyższego przypadku (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

Przy równomiernie rozłożonym obciążeniu wykres momentów opisuje parabola kwadratowa, trudniej jest określić pole takiej figury i odległość do środka ciężkości, ale do tego potrzebna jest znajomość geometrii, więc że możemy określić powierzchnię dowolnej figury i położenie środka ciężkości takiej figury.

Okazuje się zatem, że dla belki, na którą działa skupione obciążenie w środku belki przy x = l / 2:

tgθ \u003d M (x / 2) / (EI) \u003d ((Ql / 4) (l / 4)) / (EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.1)

To, co właśnie zrobiliśmy, nazywa się całkowaniem, ponieważ jeśli pomnożymy wartość wykresu „Q” (rysunek 149.7.1) przez długość ładunku, wyznaczymy w ten sposób pole prostokąta o bokach „Q” i x, natomiast pole tego prostokąta jest równe wartości wykresu „M” w punkcie X.

Teoretycznie okazuje się, że wartość tangensa kąta obrotu możemy wyznaczyć całkując jedno z równań momentów opracowanych dla naszej belki. Maksymalna wartość tangensa kąta obrotu belki na dwóch podporach przegubowych, na które w środku działa obciążenie skupione (rysunek 149.7.1), będzie wynosić x \u003d l / 2

tgθ = ∫Mdx/(EI)= ∫Axdx/(EI)\u003d Topór 2 / (2EI) \u003d (Q / 2) (l / 2) 2 / (2EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.2)

Gdzie A jest reakcją podporową Pytanie/2

Przy obciążeniu rozproszonym całkowanie równania momentów: q(l/2) x - qx 2 /2 dla lewej strony belki daje następujący wynik:

tgθ =∫Mdx/(EI)\u003d q (l / 2) (l / 2) 2 / (2EI) -q (l / 2) 3 / (6EI) \u003d ql 3 / (24EI) (11.6.3)

Ten sam wynik otrzymamy, stosując metodę analizy grafowej.

Wyznaczając kąt obrotu, dla przejrzystości założyliśmy, że belka uległa odkształceniu jak pokazano na rysunku 5.2, a następnie jak pokazano na rysunku 11.3.b, wówczas okazało się, że jeśli nie było drugiej podpory, to belka odwróciła się pierwszą podporę, ale w rzeczywistości istnieje druga podpora i dlatego belka nie może zostać w ten sposób odkształcona (przy naszym obciążeniu belki). Ponieważ na podporze nie ma momentu obrotowego, a zatem nie ma naprężeń wewnętrznych, które mogłyby zmienić geometryczny kształt belki, geometryczny kształt belki na podporze pozostaje niezmieniony, a naprężenia wewnętrzne, które rosną wzdłuż belki, bardziej odkształcają belkę i więcej, a to prowadzi do tego, że belka obraca się wokół podpór przegubowych i ten kąt obrotu jest równy kątowi nachylenia przekroju θ (ponieważ rozważamy belkę równoległościenną):

Rysunek 11.4. Rzeczywiste odkształcenie belki.

Jeśli po prostu wykreślimy kąty obrotu belki ze skupionym obciążeniem pośrodku zgodnie z równaniami dla lewej i prawej części belki, to wykres będzie wyglądał następująco:

Rysunek 11.5.

Schemat ten byłby poprawny tylko dla belki pokazanej na rysunku 5.3.a. Oczywiście w naszym przypadku diagram nie może tak wyglądać, a aby zbudować poprawny diagram, należy wziąć pod uwagę, że przekroje belki mają nachylenie na obu podporach, a nachylenie to ma tę samą wartość , ale inny kierunek i nachylenie przekroju belki w środku \u003d 0. Jeśli sprowadzimy wykres do Ql 2 /16EI, który otrzymamy całkując równanie momentów dla lewej strony belki i które pokazuje kąt nachylenia przekroju poprzecznego dokładnie na podporze, to otrzymamy wykres następujący formularz:

Rysunek 11.6.

Ten diagram absolutnie dokładnie pokazuje zmianę kąta obrotu przekrojów wzdłuż całej belki, a wartość tangensa kąta obrotu na lewym wsporniku belki jest niczym innym jak pewną stałą Od 1, które otrzymamy jeśli całkowanie zostanie wykonane poprawnie. A następnie równanie kąta obrotu belki przy danym obciążeniu na przekroju 0 będzie wyglądać tak:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) (11.6.5)

Wykres kątów obrotu belki z obciążeniem rozłożonym wizualnie nie różni się niczym od wykresu kątów obrotu belki z obciążeniem skupionym, jedyną różnicą jest to, że wykres kątów obrotu belki z rozłożonym obciążeniem jest parabolą sześcienną. Równanie kąta obrotu belki z równomiernie rozłożonym obciążeniem będzie wyglądać następująco:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) - qx 3 / (6EI) (11.6.6)

O znakach w tym równaniu. „-” oznacza, że ​​​​rozważany człon równania niejako próbuje obrócić belkę w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem rozważanego przekroju, a „+” - zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Jednak z wykresu kątów obrotu widać, że wartość tgθ A musi być negatywny. Zatem, jeśli przekrój ma nachylenie względem osi x w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, wówczas będzie ono ujemne, a jeśli będzie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, będzie dodatnie.

Cóż, teraz najważniejsze, potrzebowaliśmy wszystkich tych demontów z kątem obrotu przekroju, aby określić ugięcie belki.

12. Definicja ugięcia.

Jak widać na rysunku 11.4, trójkąt z nogami h/2 i Δx jest podobny do trójkąta z nogą X i druga noga, równa f+y, co oznacza, że ​​teraz możemy wyznaczyć wartość ugięcia:

tgθ = (f + y)/X (12.1)

f + y = tgθ X(12.2.1) lub f + y \u003d M x X / (2EI) (12.2)

dla małych wartości X oznaczający Na bliska 0, ale w bardziej odległych punktach przekroju wartość Na wzrasta. Oznaczający Na- jest to wpływ obecności drugiej podpory na wielkość ugięcia. Należy pamiętać, że ta wartość Na pokazuje różnicę pomiędzy rzeczywistym nachyleniem osi podłużnej belki a nachyleniem osi podłużnej belki, gdyby belkę po prostu obrócić wokół podpory, i okazuje się, że wartość Na zależy od kąta obrotu. Dodatkowo ponownie otrzymaliśmy równanie, w którym wartość ugięcia w pewnym punkcie zależy od tangensa kąta obrotu (12.2.1) i tym samym okazuje się, że kąt obrotu również ma „ramię działania” . Na przykład przy y \u003d f / 2 (jeśli przyjrzysz się uważnie lewej stronie zdjęcia 1, to będzie gdzieś na środku belki) otrzymamy następujący wzór na określenie ugięcia:

f \u003d M x 2 / (3EI) (12.3.1)

Ale niczego nie będziemy zakładać, ale zastosujemy integrację. Jeśli całkujemy równanie momentu dla lewej strony belki, otrzymamy wartość Na(działka dla Na pokazany w kolorze turkusowym na zdjęciu 1):

y \u003d ∫ ∫ ∫ (Q / 2) dx \u003d 2 (Q / 2) (l / 2) 3 / 6EI \u003d Ql 3 / (96EI) (12.3.2)

lub obszar fioletowego diagramu dla lewej strony belki (rysunek 5.5), ale potrzebujemy obszaru niebieskiego diagramu w lewej części belki (rysunek 5.6), który jest 2 razy większy od pola fioletowego diagramu. Zatem:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2) (l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Dlaczego powierzchnia niebieskiej działki jest 2 razy większa niż powierzchnia fioletowej działki, jest bardzo łatwa do wyjaśnienia. Pole trójkąta jest równe 1/2 pola prostokąta o tych samych bokach, pole figury opisane kwadratową parabolą wynosi 1/3 pola prostokąta z tymi samymi stronami. Gdybyśmy rozwinęli fioletową działkę, otrzymalibyśmy prostokąt utworzony przez niebieską i fioletową działkę. Odpowiednio, jeśli odejmiemy 1/3 od powierzchni prostokąta, otrzymamy 2/3. Ta logiczna seria ma kontynuację - pole figury opisane sześcienną parabolą wynosi 1/4 pola prostokąta o tych samych bokach i tak dalej.

Wartość ugięcia możemy znaleźć w inny sposób. Z rysunku 11.4 i wzorów (12.2) wynika, że:

fa x = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l / 2 \u003d - (Ql 2 / 16EI) l / 2 + (Ql 3 / 96EI) \u003d - (Ql 3 / 48EI) (12.3.5)

W tym przypadku znak „-” wskazuje, że środek przekroju belki przesunie się wzdłuż osi w dół Na o osi X. A teraz wróćmy do zdjęcia 1. Pod osią podłużną belki pokazano wykres Na, to właśnie tę wartość w punkcie l/2 odjęliśmy przy rozwiązywaniu równania (12.3.3). Co więcej, okazuje się, że stosunek pomiędzy F I Na zależy od współczynnika poprzedniego całkowania, tj. y = kf Lub f = y/k. Całkując równanie sił, otrzymaliśmy współczynnik 1/2. Jednakże otrzymaliśmy tę samą wartość, gdy określiliśmy dźwignię chwili. Jeśli będziemy kontynuować ten logiczny ciąg, okaże się, że przy wyznaczaniu ugięcia od obciążenia rozłożonego musimy zastosować współczynnik 1/3, czyli możemy obliczyć ugięcie w środku belki ze wzoru:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫ qdx \u003d (2 (qlx 3 / 6) - 3 (qx 4 / 24)) / EI \u003d 5ql 4 / (384EI) (12.4.4)

fa x = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l / 2 \u003d (- ql 3 x / 24 + (qlx 3 / 6) - (qx 4 / 24)) / EI \u003d - 5ql 4 / (384EI) (12.4.6)

W tym przypadku znak „-” oznacza, że ​​środek ciężkości przekroju poprzecznego przesuwa się wzdłuż osi w dół Na.

Notatka: Proponowana metoda określania ugięcia różni się nieco od ogólnie przyjętych, ponieważ starałem się skupić na przejrzystości.

Jeśli ugięcie zostanie określone metodą graficzno-analityczną, wówczas obszar fikcyjnego obciążenia - wykres momentów opisany kwadratową parabolą, będzie (zgodnie z tabelą 378.1) (2ql 2 / (8 3)) l / 2 = ql 3 / 24. A odległość od środka ciężkości diagramu do początku układu współrzędnych wynosi 5/8. Wtedy fikcyjny moment wynosi (ql3/24)(5l/(8 2)) = 5ql 4 /384.

Oczywiście obciążenie skupione można przyłożyć do belki nie pośrodku, obciążenie rozłożone może nie tylko równomiernie rozłożyć i nie działać na całej długości belki, a możliwości mocowania belki do podpór są różne. Ale dlatego istnieją gotowe formuły z nich korzystać.

Pozwól mi! - Powiesz: - Wszystko to dobrze, ale co z naprężeniami ścinającymi? W końcu działają wzdłuż osi Y i dlatego muszą w jakiś sposób wpływać na ugięcie!

W porządku. Naprężenia styczne wpływają na ugięcie, jednakże dla belek o stosunku l/h > 10 wpływ ten jest bardzo nieznaczny, dlatego dopuszczalne jest zastosowanie metody opisanej w tym artykule do określenia ugięcia.

Ale to nie wszystko, jak już powiedzieliśmy, dość łatwo jest empirycznie wyznaczyć wartość ugięcia, stosując metodę opisaną na samym początku artykułu. Ponieważ nie było pod ręką nic lepszego, wziąłem do ręki drewnianą linijkę, której prototyp opisywałem tak długo (patrz zdjęcie 1). Linijka drewniana miała wymiary około 91,5 cm, szerokość b=4,96 cm i wysokość h=0,32 cm (wysokość i szerokość mierzono suwmiarką). Następnie położyłem linijkę na podporach, przy czym odległość między podporami wynosiła około 90 cm i w ten sposób otrzymałem belkę o rozpiętości l = 90 cm Linijka oczywiście pod wpływem własnego ciężaru lekko się ugięła , ale takie małe ugięcie mnie nie zainteresowało. Zmierzyłem taśmą mierniczą (z dokładnością do 1 mm) odległość od podłogi do dołu linijki (77,65 cm), następnie przyłożyłem warunkowo skupione obciążenie na środku (umieściłem miarkę o wadze około 52 gramów z 250 gramów wody w środku) i zmierzyłem odległość od podłogi do spodu linijki pod obciążeniem (75,5 cm). Różnica pomiędzy tymi dwoma pomiarami stanowiła pożądane ugięcie. Zatem wielkość ugięcia określona empirycznie wyniosła 77,65 - 75,5 = 2,15 cm Pozostaje tylko znaleźć moduł sprężystości drewna, określić moment bezwładności dla danego przekroju i dokładnie obliczyć obciążenie. Moduł sprężystości E dla drewna = 10,5 kgf / cm 2, moment bezwładności przekroju prostokątnego I z = bh 3 /12 = 4,98 0,32 3 /12 = 0,01359872 cm 4, pełne obciążenie - 0,302 kg.

Obliczenie ugięcia według wzoru dało: f = Ql 3 / (48EI) = 0,302 90 3 / (48 10 5 0,0136) = 3,37 cm Przypominam, że ugięcie wyznaczone empirycznie wynosiło: f = 2,15 cm. Być może należało uwzględnić wpływ na ugięcie pierwszej pochodnej funkcji – tangensa kąta obrotu? Przecież kąt nachylenia, sądząc po zdjęciu, jest dość duży.

Sprawdź: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0,302 90 2 /(16 10 5 0,0136) = 0,11233. Następnie zgodnie ze wzorem (542.12) f = 3,37/((1 + 0,112 2) 3/2) = 3,307 cm. z pewnością istnieje wpływ, ale nie przekracza on 2% lub 0,63 mm.

Wynik na początku mnie zaskoczył, ale potem było kilka wyjaśnień takiej rozbieżności, w szczególności w środku przekrój linijki nie był prostokątny, ponieważ linijka została zdeformowana odpowiednio pod wpływem czasu i wystawienia na działanie wody, moment bezwładności dla takiego przekroju jest większy niż dla prostokątnego, ponadto linijka nie jest wykonana z sosny, ale z twardszego gatunku drewna, dla którego należy przyjąć wyższy moduł sprężystości. A z naukowego punktu widzenia jeden wynik to zdecydowanie za mało, aby mówić o jakichkolwiek prawidłowościach. Następnie sprawdziłem wartość ugięcia pręta drewnianego o momencie bezwładności I = 2,02 cm 4 o długości ponad 2 m i rozpiętości 2 m pod obciążeniem 2 kg przyłożonym w środku pręta, a następnie wartość ugięcia, określona teoretycznie i empirycznie, zbiegała się z dokładnością do dziesiątych milimetra. Oczywiście eksperymenty można byłoby kontynuować, ale tak się złożyło, że setki innych osób zrobiło to już przede mną i uzyskało w praktyce wyniki bardzo zbliżone do teoretycznych. A jeśli weźmiemy pod uwagę, że materiały idealnie izotropowe istnieją tylko w teorii, to są to bardzo dobre wyniki.

Wyznaczanie kąta obrotu poprzez ugięcie.

Określ wartość kąta obrotu belki przegubowej, na którą wpływa jedynie moment zginający M na jednym z podpórek, na przykład na podporze A wydaje się być tak proste, jak:

tgθ x \u003d - tgθ A + Mx / (EI) - Ax 2 / (2EI) (13.1.1)

Gdzie A \u003d M / l, (B = - M/l), ale do tego trzeba znać kąt obrotu wspornika A, ale tego nie wiemy, jednak pomaga to obliczyć, rozumiejąc, że ugięcie na podporach będzie wynosić zero, a następnie:

fa ZA = tgθ B l - Bl 3/(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B \u003d tgθ Al + Ml 2 / (2EI) - Al 3 / (6EI) \u003d 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Jak widać kąt obrotu na podporze, na którą przykładany jest moment zginający, jest dwukrotnie większy niż kąt obrotu na przeciwległej podporze, jest to bardzo ważny wzór, który bardzo nam się przyda w przyszłości.

Jeżeli na belkę w środku ciężkości nie działa obciążenie skupione lub obciążenie rozłożone jest nierównomierne, wówczas kąty obrotu podpór określa się poprzez ugięcie, jak w powyższym przykładzie. Innymi słowy, w trakcie rozwiązania wyznaczane są wartości parametrów początkowych

Zadanie. Dla belki określ przemieszczenia w t. A, W, Z, D, wybierz z warunku wytrzymałościowego przekrój dwóch kanałów, sprawdź sztywność, pokaż zakrzywioną oś belki. Materiał - stal St3, dopuszczalny ruch.

1. Zdefiniujmy reakcje wspierające.

Stosujemy wartość reakcji podporowych do schemat obliczeń

2. Budynek wykres momentów od danego obciążenia - wykres obciążenia M. F .

Ponieważ pod równomiernie rozłożonym obciążeniem linia jest krzywą paraboliczną, wówczas do jej narysowania potrzebny jest dodatkowy punkt - stawiamy T. DO w środku ładunku.

Budowanie diagramu M. F od danego obciążenia.

3. Wybierzemy część dwóch kanałów:

Wybieramy 2 kanały nr 33 cm 3.

Sprawdźmy wytrzymałość wybrana sekcja.

Trwałość jest gwarantowana.

4. Zdefiniuj przemieszczenie w danych punktach. Usuwamy cały ładunek z belki. Do ustalenia ruchy liniowe(ugięcia) mają zastosowanie siła jednostkowa ( F=1 ) i ustalić narożnik ruchy - pojedyncza chwila .

zwrotnica A I W są podporami, a zgodnie z warunkami brzegowymi w podporach przegubowych odchylenie nie jest możliwe, ale występuje ruch kątowy. W punktach Z I D będą występować zarówno ruchy liniowe (ugięcia), jak i kątowe (kąty obrotu).

Zdefiniujmy przesunięcie kątowe V T. A . Zgłaszamy się w A pojedyncza chwila(Ryż. B ). Budujemy ep, ustalamy w nim niezbędne rzędne. (Ryż. V ).

Współrzędne EP. M. F– wszystko pozytywne, odc. - To samo.

Zdefiniujemy przemieszczenia Metoda Mohra.

Zdefiniujmy moment bezwładności ja x dla sekcji.

Moduł sprężystości mi dla St3 mi= 2 10 5 MPa = 2 10 8 kPa. Następnie:

Kąt obrotu φ A okazało się pozytywny, to znaczy, że kąt obrotu przekroju pokrywa się z kierunkiem momentu jednostkowego.

Zdefiniujmy kąt obrotuφ V. ( Ryż .d, d)

Zdefiniujmy teraz przemieszczenia w t. Z (liniowy i kątowy). Przykładamy jedną siłę (ryc. mi ), określ reakcje podporowe i zbuduj ep. z jednej siły (ryc. I ).

Rozważać Ryż. mi.

Budujemy ep. :

Zdefiniujmy ugięcie w t. Z.

Aby określić kąt obrotu w t. Z Zastosujmy jeden moment (ryc. H ), wyznacz reakcje podporowe i skonstruuj wykres pojedynczych momentów (rys. I ).

(podpisać "— " mówi że reakcja RA skierowany do tyłu. Pokazujemy to na schemacie obliczeniowym - ryc. H ).

Budujemy ep. ,

Ponieważ M=1 zastosowano łącznie Z rozpiętość belki, następnie moment w t. Z definiować zarówno z lewej jak i prawej strony.

Zdefiniujmy ugięcie w punkcie C.

(znak „-” wskazuje na to kąt obrotu jest przeciwny do kierunku momentu jednostkowego)

Podobnie przemieszczenia liniowe i kątowe definiujemy w tzw. D .

Zdefiniujmy Na D . (Ryż. Do ).

Budujemy ep. (Ryż. l ) :

Zdefiniujmy φ D (Ryż. M ):

Budujemy ep. - (Ryż. N ).

Zdefiniujmy kąt obrotu:

(kąt obrotu jest skierowany w kierunku przeciwnym do momentu jednostkowego).

Teraz pokażmy zakrzywiona oś belki (linia sprężysta), która pod wpływem obciążenia stała się osią prostą. Aby to zrobić, narysuj wstępny położenie osi i na skali odkładamy obliczone przemieszczenia (ryc. O ).

Sprawdźmy sztywność belki, gdzie F- maksymalne ugięcie.

Maksymalne ugięcie - sztywność nie jest gwarantowana.

To. w tym zadaniu zadbaliśmy o to, aby przekroje wybrane z warunku wytrzymałościowego (w tym przypadku przekrój dwóch ceowników) nie zawsze spełniały warunki sztywności.

Zadanie. Wyznacz przemieszczenie poziome wolnego końca ramy za pomocą całki Mohra

1. Utwórz wyrażenie moment zginający M. F z aktualny masa.

2. Z belki usuwamy wszystkie obciążenia i w miejscu, w którym konieczne jest określenie przemieszczenia, przykładamy siłę jednostkową (jeśli wyznaczamy przemieszczenie liniowe) lub pojedynczy moment (jeśli wyznaczamy przemieszczenie kątowe) w belce kierunek wymaganego przemieszczenia. W naszym problemie stosujemy poziomą siłę jednostkową. Zapisz wyrażenie na moment zginający.

Definiujemy momentów z pojedynczego obciążenia F=1

Obliczając ruch poziomy:

Ruch jest pozytywny. Oznacza to, że odpowiada on kierunkowi siły jednostkowej.

Całka, wzór Mohra. W belce zakrzywionej określ poziome przemieszczenie punktu A. Sztywność na całej długości belki jest stała.

Oś belki jest wyznaczona przez parabola, którego równanie to:

Biorąc pod uwagę, że belka bez ciągu i wystarczy delikatnie nachylony (f/v = 3/15 = 0,2), zaniedbujemy wpływ sił podłużnych i poprzecznych. Dlatego do określenia przemieszczenia używamy wzoru:

Ponieważ sztywność EJ jest stała, To:

Utwórz wyrażenie M1 dla rzeczywistego stanu belki ( 1. stan) (Ryż. A):

Usuwamy wszystkie obciążenia z belki i przykładamy punktowo A pozioma siła jednostkowa ( drugi stan) (Ryż. B). Tworzymy wyrażenie dla:

Obliczamy pożądane przejście do punktu A :

Podpisać minus wskazuje, że ruchomy punkt A przeciwnym do kierunku siły jednostkowej, tj. ten punkt porusza się poziomo w lewo.

Całka, wzór Mohra Wyznaczanie kąta obrotu podpory przegubowej D w przypadku ramy o określonych reakcjach podporowych sztywności elementów pokazano na schemacie obliczeniowym.

Utwórz wyrażenie M 1, korzystając ze schematu układu w stanie 1. M 1 jest funkcją wewnętrznego momentu zginającego w przekroju siły dla danej belki lub ramy od działania danych obciążeń I stanu.

Zwalniamy ramę z obciążeń, nakładamy pojedynczy moment na podparciu D, otrzymujemy system drugi stan.

Wykonujemy wyrażenia - jest to funkcja wewnętrznego momentu zginającego na odcinku mocy dla układu pomocniczego II stanu, obciążonego pojedynczy wysiłek:Znajdujemy pożądane przemieszczenie - kąt obrotu wzdłuż wzór (całka):
Wartość kąta obrotu jest dodatnia, co oznacza, że ​​kierunek odpowiada wybranemu kierunkowi pojedynczego momentu.

Całka (wzór Mohra). W przypadku ramy zdefiniuj poziome przemieszczenie punktu C. Sztywność elementów pokazano na rysunku. Dany system nazywamy systemem Pierwszy stwierdza. . Komponujemy pod każdy element wyrażenie M₁, za pomocą schemat pierwszego stanu układu:

Usuwamy wszystkie obciążenia z ramy i otrzymujemy 2 stan ramy, stosując w kierunku pożądanego przemieszczenia pozioma siła jednostkowa. Komponujemy wyraz pojedynczych chwil: . Oblicz według wzór (całka) pożądane przemieszczenie :

Następnie otrzymujemy:

Podpisać minus wskazuje, że kierunek ruchu jest przeciwny do kierunku siły jednostkowej.

W przypadku belki stalowej wybierz wymiary przekroju poprzecznego składającego się z dwóch belek dwuteowych, w oparciu o warunek wytrzymałościowy dla naprężeń normalnych, zbuduj wykresy przemieszczeń liniowych i kątowych. Dany:

Nie będziemy podawać obliczeń reakcji podporowych i wartości wykresu obciążenia (wykres momentów zginających), pokażemy to bez obliczeń. Więc, wykres obciążenia momentów:

Jednocześnie na wykresie M wartości momentów zginających nie mają znaków, które doświadczają włókna kompresja. Jak widać z diagramu, niebezpieczny Sekcja: M C \u003d M max \u003d 86,7 kNm.

Wybierzmy sekcję z dwie dwuteowniki. Z warunki wytrzymałościowe:

Według wyboru Dwuteownik nr 27a, Który I x 1 \u003d 5500 cm 3, h \u003d 27 cm. aktualna wartość osiowy moment oporu całego przekroju W x \u003d 2I x 1 / (h / 2) \u003d 2 5500 / (27/2) \u003d 815 cm 3.

Oblicz ruchy liniowe i kątowe sekcja belki metoda, zastosowanie . Wybór liczby przekrojów potrzebnych do wykreślenia wykresów przemieszczeń liniowych i kątowych belki zależy od liczby przekrojów i charakteru wykresu momentu zginającego. W rozważanej belce obejmują one sekcje A, B, C, D(należeć do granice sekcje energetyczne) i sekcje 1, 2, 3– w środku odcinków (określenie przemieszczeń w tych odcinkach wzrasta dokładność rysowania).

Sekcja A. Jak wiadomo, przemieszczenie liniowe przekroju w podporze przegubowej yA=0.

Liczyć przemieszczenie kątowe θ a obciążamy układ pomocniczy jedną parą sił - momentem równym jeden
Równania równowagi

Rozwiązując równania równowagi otrzymujemy:

Wyznacz wartości momentów w przekrojach charakterystycznych

Działka AD:

W środek odcinka AB oznaczający moment zginający wykresu obciążenia M F równa się f=73,3 1- 80 1 2 /2=33,3 kNm

Definiujemy przemieszczenie kątowe przekroju A Przez :

Przemieszczenie kątowe przekroju A jest skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara(w przeciwieństwie do działania pojedynczego momentu).

Sekcja B

Zgłaszamy się w sekcji B siła równa jeden, do ustalenia liniowy przemieszczeń i zbudować pojedynczy wykres momentów

Równania równowagi:

Z rozwiązania równań równowagi wynika:

Określamy wartości momentów w charakterystyczne sekcje:

Definiujemy ruch liniowy y V.

Ruch liniowy y V =3,65×10 -3 m wysłano w górę(w przeciwieństwie do działania siły jednostkowej).

Aby określić przemieszczenie kątowe w przekroju B, stosujemy pojedyncza chwila i budować pojedynczy diagram momentów.

W wyniku „pomnożenia” pojedynczego diagramu i diagramu ładunku otrzymujemy ruch kątowy:

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Sekcja C.

Ruch liniowy:

Ruch kątowy:

Kierowany ruch kątowy zgodnie ze wskazówkami zegara.

Sekcja D. Ruch liniowy w tej sekcji równa się zeru.

Ruch kątowy:

Kierowany ruch kątowy zgodnie ze wskazówkami zegara.

Dodatkowe sekcje:

Sekcja 1 (z=0,5ℓ)

Ruch kątowy:

Kierowany ruch kątowy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie budujemy pojedyncze diagramy dla przekroju 2 (z=1,5ℓ) i odcinka 3 (z=2,5ℓ), znajdujemy przemieszczenia.

Stosowanie zasady znaku dla przemieszczeń liniowych góra - plus, dół - minus oraz dla przemieszczeń kątowych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie, zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest ujemne, budynek wykresy przemieszczeń liniowych i kątowych y i θ.

Dla belki określ maksymalne ugięcie i maksymalny kąt obrotu.

Ze względu na symetrię obciążenia reakcje wspierające A=B=ql/2

Równanie różniczkowe zakrzywionej osi belki:

Całkujemy to równanie dwukrotnie. Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy równanie na kąty obrotu:

(A)

Po drugim całkowaniu otrzymujemy równanie ugięcia:

(B)

Należy zdefiniować wartość stałe całkowania - C i D. Zdefiniujmy je od warunków brzegowych. W sekcjach A i B belka ma wsporniki przegubowe, Oznacza ugięcia w nich są równe zeru. Dlatego mamy warunki graniczne:

1) z = 0, y= 0.

2) z = l, y= 0.

Używamy pierwszy warunek brzegowy: z = 0, y = 0.

Następnie od (B) mamy:

Drugi warunek brzegowy w z = l daje:

, Gdzie:

Wreszcie dostajemy.

Równanie kąta obrotu:

Równanie ugięcia:

Gdy kąt obrotu wynosi zero, a ugięcie będzie maksymalne:

Podpisać minus mówi, że przy przyjętym dodatnim kierunku osi w górę, odchylenie będzie skierowane w dół.

Kąt obrotu ma największą wartość na odcinkach odniesienia, na przykład, gdy

Znak minus wskazuje, że kąt obrotu przy z = 0 skierowany zgodnie ze wskazówkami zegara.

W przypadku ramy wymagane jest określenie kąta obrotu sekcji 1 i poziomy ruch sekcji 2 .

Dany: L=8 m, F=2 kN, q=1 kN/m, h=6 m, momenty bezwładności I 1 =I, I 2 =2I

1. Wyznacz reakcje podporowe i zbuduj wykres obciążeń:

a) Wyznacz reakcje podporowe:

Kontrola przeszła. Reakcje pionowe są poprawnie zdefiniowane. Aby określić reakcje poziome, musisz użyć zawias Właściwość, mianowicie zapisać równanie momentów względem zawiasu ze wszystkich sił, umieszczony po jednej stronie ramy.

Test zaliczył, co oznacza reakcje poziome są zdefiniowane prawidłowo.

b) Budujemy wykres obciążenia – wykres z danego obciążenia. Zbudujemy diagram ładunku na rozciągniętych włóknach.

Ramę dzielimy na sekcje. Na każdym odcinku obrysowujemy sekcje na początku i na końcu sekcji, a w sekcjach z rozłożonym obciążeniem dodatkową sekcję pośrodku. W każdym przekroju wyznaczamy wartość wewnętrznego momentu zginającego zgodnie z zasadą: moment zginający jest równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił zewnętrznych znajdujących się po jednej stronie przekroju, względem środka tego przekroju. Zasada znaku dla momentu zginającego: Moment uznaje się za dodatni, jeśli rozciąga dolne włókna.

Budujemy schemat ładunku.

2. Określ kąt obrotu sekcji (1)

a) Aby określić kąt obrotu określonej sekcji, potrzebujesz naszkicuj oryginalną ramę bez obciążenia zewnętrznego i przyłóż pojedynczy moment do danego przekroju.

Najpierw definiujemy reakcje:

Znak „-” oznacza, że ​​przekrój jest obracany w kierunku przeciwnym do kierunku pojedynczego momentu, tj. zgodnie ze wskazówkami zegara.

3. Określ przemieszczenie poziome przekroju (2).

a) W celu określenia przemieszczenia poziomego we wskazanym przekroju należy naszkicować oryginalną ramę bez obciążenia zewnętrznego i przyłożyć do danego przekroju jednostkową siłę w kierunku poziomym.

Zdefiniuj reakcje:

Budujemy pojedyncza fabuła momentów

.

Dla belki należy określić przemieszczenia liniowe i kątowe w punktach A, B, C, po wybraniu przekroju dwuteownika z warunku wytrzymałościowego.

Dany:A=2 m,B=4 m, s=3 m,F=20 kN, M=18 kNM,Q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa

1) Rysujemy schemat belki, określamy reakcje podporowe. W przypadku twardego zakończenia tak jest 3 reakcje — pionowo i poziomo, I punkt zakotwiczenia. Ponieważ nie ma żadnych obciążeń poziomych, odpowiednia reakcja wynosi zero. Aby znaleźć reakcje w punkcie E, układamy równania równowagi.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(znak to wskazuje

Znajdźmy moment zakotwiczenia w zamocowaniu sztywnym, dla którego rozwiązujemy równanie momentów względem dowolnego wybranego punktu.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(znak to wskazuje reakcja jest skierowana w przeciwnym kierunku, pokazujemy to na schemacie)

2) Budujemy wykres obciążenia M F - wykres momentów od danego obciążenia.

Aby skonstruować diagramy momentów, znajdujemy momenty w charakterystycznych punktach. W punkt B określić momenty zarówno z prawej, jak i lewej strony, ponieważ w tym punkcie stosowany jest moment.

Aby zbudować diagram momentu na linii działania obciążenia rozproszonego (przekroje AB i BC) potrzebujemy dodatkowe punkty aby wykreślić krzywą. Zdefiniujmy te momenty pośrodku te obszary. Są to momenty w środkach odcinków AB i BC 15,34 kNm i 23,25 kNm. Budujemy schemat ładunku.

3) Aby wyznaczyć przemieszczenia liniowe i kątowe w danym punkcie należy w pierwszym przypadku zastosować w tym punkcie siła jednostkowa (F=1) i wykreśl momenty, w drugim przypadku, pojedynczy moment (M=1) i narysuj diagram momentów. Budujemy wykresy z obciążeń jednostkowych dla każdego punktu - A, B i C.

4) Aby znaleźć przemieszczenia, używamy wzoru Simpsona.

Gdzie l i - długość przekroju;

EI ja- sztywność belki na budowie;

M. F– wartości momentów zginających z wykresu obciążeń odpowiednio na początku, w środku i na końcu sekcji;

– wartości momentów zginających z jednego wykresu odpowiednio na początku, w środku i na końcu sekcji.

Jeżeli współrzędne diagramów znajdują się po jednej stronie osi belki, wówczas przy mnożeniu uwzględnia się znak „+”, jeśli z różnych, to znak „-”.

Jeżeli wynik okazał się znakiem „-”, wówczas pożądany ruch w kierunku nie pokrywa się z kierunkiem odpowiedniego współczynnika siły jednostkowej.

Rozważać zastosowanie wzoru Simpsona na przykładzie wyznaczania przemieszczeń w punkcie A.

Zdefiniujmy ugięcie, mnożąc wykres obciążenia przez wykres siły jednostkowej.

Okazało się, że odchylenie ze znakiem „-”. oznacza wymagane przemieszczenie kierunek nie pokrywa się z kierunkiem siły jednostkowej (skierowanej do góry).

Zdefiniujmy kąt obrotu, mnożąc wykres obciążenia przez wykres z jednego momentu.

Kąt obrotu wynosi ze znakiem „-”. oznacza to, że pożądany ruch w kierunku nie pokrywa się z kierunkiem odpowiedniego pojedynczego momentu (skierowanego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

5) Aby określić konkretne wartości przemieszczeń, należy wybrać przekrój. Wybieramy sekcję belki dwuteowej

Gdzie Mmaks- Ten maksymalny moment na wykresie momentu obciążenia

Wybieramy wg Dwuteownik nr 30 o szer. x \u003d 472 cm 3 i I x \u003d 7080 cm 4

6) Wyznaczamy przemieszczenia punktowo, odkrywczy sztywność przekroju: E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału lub moduł (2 10 5 MPa),J x - osiowy moment bezwładności przekroju

Ugięcie w punkcie A (w górę)

Kąt obrotu (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

Najpierw zbudujmy schemat ładunku od danego obciążenia. Obszar diagramu ładunku ma kształt krzywoliniowy i jest równy:

Teraz usuńmy obciążenie z belki i przyłóżmy je w miejscu, w którym konieczne jest określenie przemieszczenia siła jednostkowa do określenia ugięcia I pojedynczy moment do określenia kąta obrotu. Budujemy schematy z pojedynczych obciążeń.

Środek ciężkości działki ładunkowej jest na odległość jeden kwadrans(patrz schemat)

Rzędne diagramów jednostkowych naprzeciw środka ciężkości diagramu ładunku:

Administrator pod .