Strona 1 z 2

Ustalmy kolejność filtra na podstawie wymaganych warunków zgodnie z harmonogramem tłumienia w paśmie zaporowym w książce G. Lama „Filtry analogowe i cyfrowe” rozdz. 8.1 s. 215.

Oczywiste jest, że do wymaganego tłumienia wystarczy filtr czwartego rzędu. Wykres pokazano dla przypadku, gdy w c \u003d 1 rad / s, a zatem częstotliwość, przy której potrzebne jest niezbędne tłumienie, wynosi 2 rad / s (odpowiednio 4 i 8 kHz). Ogólny wykres funkcji przenoszenia filtra Butterwortha:

Definiujemy implementację obwodu filtra:

aktywny filtr dolnoprzepustowy czwartego rzędu ze złożonym ujemnym sprzężeniem zwrotnym:

Aby pożądany obwód miał pożądaną charakterystykę częstotliwościową, zawarte w nim elementy można wybierać z niezbyt dużą dokładnością, co jest zaletą tego obwodu.

aktywny filtr dolnoprzepustowy czwartego rzędu z dodatnim sprzężeniem zwrotnym:

W tym obwodzie wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego musi mieć ściśle określoną wartość, a wzmocnienie tego obwodu będzie nie większe niż 3. Dlatego obwód ten można odrzucić.

Aktywny filtr dolnoprzepustowy czwartego rzędu z omowym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

Filtr ten jest zbudowany na czterech wzmacniaczach operacyjnych, co zwiększa szum i złożoność obliczania tego obwodu, więc go również odrzucamy.

Z rozważanych schematów wybieramy filtr ze złożonym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Obliczanie filtra

Definicja funkcji przejścia

Zapisujemy tabelaryczne wartości współczynników dla filtra Butterwortha czwartego rzędu:

a 1 \u003d 1,8478 b 1 \u003d 1

za 2 \u003d 0,7654 b 2 \u003d 1

(patrz W. Titze, K. Schenk zakładka „Obwody półprzewodnikowe” 13.6 s. 195)

Ogólne wyrażenie funkcji przenoszenia dla filtra dolnoprzepustowego czwartego rzędu:

(Patrz W. Titze, K. Schenk „Obwody półprzewodnikowe”, tabela 13.2, s. 190 i formularz 13.4, s. 186).

Funkcja przenoszenia pierwszego łącza ma postać:

Funkcja przenoszenia drugiego łącza ma postać:

gdzie wc jest częstotliwością kołową punktu odcięcia filtra, wc =2pfc.

Obliczanie nominałów części

Porównując współczynniki wyrażeń (2) i (3) ze współczynnikami wyrażenia (1), otrzymujemy:

Stałe współczynniki transmisji sygnału dla kaskad, ich iloczyn A 0 musi być równy 10 zgodnie z przeznaczeniem. Są ujemne, ponieważ te etapy się odwracają, ale ich iloczyn daje dodatni zysk.

Aby obliczyć obwód, lepiej ustawić pojemności kondensatorów, natomiast aby wartość R 2 była ważna, warunek musi być spełniony

i odpowiednio

Na podstawie tych warunków wybiera się C 1 \u003d C 3 \u003d 1 nF, C 2 \u003d 10 nF, C 4 \u003d 33 nF.

Oblicz wartości rezystancji dla pierwszego etapu:

Wartości rezystancji drugiego stopnia:

Wybór jednostki organizacyjnej

Wybierając wzmacniacz operacyjny, należy wziąć pod uwagę zakres częstotliwości filtra: częstotliwość wzmocnienia jedności wzmacniacza operacyjnego (przy którym wzmocnienie jest równe jedności) musi być większa niż iloczyn częstotliwości odcięcia i wzmocnienie filtra K y.

Ponieważ maksymalne wzmocnienie wynosi 3,33, a częstotliwość odcięcia wynosi 4 kHz, prawie wszystkie istniejące wzmacniacze operacyjne spełniają ten warunek.

Kolejnym ważnym parametrem wzmacniacza operacyjnego jest jego impedancja wejściowa. Musi być większa niż dziesięciokrotność maksymalnej rezystancji rezystora obwodu.

Maksymalna rezystancja w obwodzie wynosi 99,6 kOhm, dlatego rezystancja wejściowa wzmacniacza operacyjnego musi wynosić co najmniej 996 kOhm.

Należy również wziąć pod uwagę nośność systemu operacyjnego. W przypadku nowoczesnych wzmacniaczy operacyjnych minimalna rezystancja obciążenia wynosi 2 kOhm. Biorąc pod uwagę, że rezystancje R1 i R4 wynoszą odpowiednio 33,2 i 3,09 kΩ, prąd wyjściowy wzmacniacza operacyjnego z pewnością będzie mniejszy niż maksymalny dopuszczalny.

Zgodnie z powyższymi wymaganiami wybieramy OU K140UD601 z następującymi danymi paszportowymi (charakterystyką):

K min = 50 000

R w = 1 MΩ

Filtr Butterwortha

Funkcja przenoszenia filtra dolnoprzepustowego Butterworth N-ty rząd charakteryzuje się wyrażeniem:

Pasmo przenoszenia filtra Butterwortha ma następujące właściwości:

1) W dowolnej kolejności N wartość odpowiedzi częstotliwościowej

2) przy częstotliwości odcięcia u=u s

Pasmo przenoszenia filtra dolnoprzepustowego maleje monotonicznie wraz ze wzrostem częstotliwości. Z tego powodu filtry Butterwortha nazywane są filtrami o najbardziej płaskiej charakterystyce. Rysunek 3 przedstawia wykresy charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej filtra dolnoprzepustowego Butterwortha 1-5 rzędów. Oczywiście im wyższy rząd filtra, tym dokładniej przybliżona jest charakterystyka częstotliwościowa idealnego filtra dolnoprzepustowego.

Rysunek 3 - Charakterystyka częstotliwościowa filtra dolnoprzepustowego Butterwortha rzędu od 1 do 5

Rysunek 4 przedstawia schematyczną implementację HPF Butterwortha.

Rysunek 4 – HPF-II Butterworth

Zaletą filtra Butterwortha jest najłagodniejsza charakterystyka częstotliwościowa w zakresie częstotliwości pasma przepustowego i jej redukcja do prawie zera w zakresie częstotliwości pasma tłumienia. Filtr Butterwortha jest jedynym filtrem, który zachowuje kształt pasma przenoszenia dla wyższych rzędów (z wyjątkiem bardziej stromego odchylenia na granicy odcięcia), podczas gdy wiele innych typów filtrów (filtr Bessela, filtr Czebyszewa, filtr eliptyczny) ma inny kształt odpowiedzi częstotliwościowej w różnych rzędach.

Jednakże w porównaniu z filtrami Czebyszewa typu I i II lub filtrem eliptycznym, filtr Butterwortha ma bardziej płaski przebieg i dlatego musi być wyższego rzędu (co jest trudniejsze do wdrożenia), aby zapewnić pożądaną wydajność przy częstotliwościach odcięcia.

Filtr Czebyszewa

Kwadrat modułu funkcji przenoszenia filtru Czebyszewa wyraża się wzorem:

gdzie jest wielomian Czebyszewa. Moduł funkcji przenoszenia filtra Czebyszewa jest równy jedności w tych częstotliwościach, w których zanika.

Filtry Czebyszewa stosuje się zwykle tam, gdzie wymagane jest zapewnienie wymaganej charakterystyki odpowiedzi częstotliwościowej za pomocą filtra dolnego rzędu, w szczególności dobrego tłumienia częstotliwości z pasma tłumienia, natomiast gładkość odpowiedzi częstotliwościowej w paśmie przepustowym i częstotliwościach tłumienia nie jest tak ważna .

Istnieją filtry Czebyszewa I i II rodzaju.

Filtr Czebyszewa pierwszego rodzaju. Jest to bardziej powszechna modyfikacja filtrów Czebyszewa. W paśmie przepustowym takiego filtra widoczne są tętnienia, których amplitudę wyznacza współczynnik tętnienia e. W przypadku analogowego elektronicznego filtra Czebyszewa jego kolejność jest równa liczbie elementów reaktywnych zastosowanych w jego realizacji. Bardziej stromy zanik charakterystyki można uzyskać, jeśli dopuści się tętnienia nie tylko w paśmie przepustowym, ale także w paśmie tłumienia, dodając zera do funkcji przenoszenia filtra na urojonej osi jsh w płaszczyźnie zespolonej. To jednak spowoduje mniej skuteczne tłumienie w paśmie tłumienia. Powstały filtr jest filtrem eliptycznym, znanym również jako filtr Cauera.

Odpowiedź częstotliwościową filtra dolnoprzepustowego Czebyszewa czwartego rzędu pierwszego rodzaju pokazano na rysunku 5.

Rysunek 5 - Charakterystyka częstotliwościowa filtra dolnoprzepustowego Czebyszewa pierwszego rodzaju czwartego rzędu

Filtr Czebyszewa typu II (odwrócony filtr Czebyszewa) jest używany rzadziej niż filtr Czebyszewa typu I ze względu na mniej stromy spadek odpowiedzi amplitudowej, co prowadzi do wzrostu liczby składowych. Nie ma tętnienia w paśmie przepustowym, ale jest obecne w paśmie tłumienia.

Odpowiedź częstotliwościową filtra dolnoprzepustowego Czebyszewa drugiego rodzaju czwartego rzędu pokazano na rysunku 6.

Rysunek 6 - Charakterystyka częstotliwościowa filtra dolnoprzepustowego Czebyszewa drugiego rodzaju

Rycina 7 pokazuje implementacje obwodów HPF Czebyszewa I i II zamówienia.

Rysunek 7 - Czebyszew HPF: a) Zamawiam; b) II zamówienie

Właściwości charakterystyk częstotliwościowych filtrów Czebyszewa:

1) W paśmie przepustowym charakterystyka częstotliwościowa ma charakter równofalowy. Na przedziale (-1? u? 1) jest N punkty, w których funkcja osiąga wartość maksymalną 1 lub wartość minimalną . Jeśli n jest nieparzyste, jeśli n jest parzyste;

2) wartość odpowiedzi częstotliwościowej filtra Czebyszewa przy częstotliwości odcięcia wynosi

3) Dla , funkcja maleje monotonicznie i dąży do zera.

4) Parametr e określa nierównomierność odpowiedzi częstotliwościowej filtra Czebyszewa w paśmie przepustowym:

Porównanie odpowiedzi częstotliwościowej filtrów Butterwortha i Czebyszewa pokazuje, że filtr Czebyszewa zapewnia większe tłumienie w paśmie przepustowym niż filtr Butterwortha tego samego rzędu. Wadą filtrów Czebyszewa jest to, że ich charakterystyka częstotliwościowo-fazowa w paśmie przepustowym znacznie różni się od liniowej.

W przypadku filtrów Butterwortha i Czebyszewa istnieją szczegółowe tabele pokazujące współrzędne biegunów i współczynniki funkcji przenoszenia różnych rzędów.

W tym artykule porozmawiamy o filtrze Butterwortha, rozważymy rzędy filtrów, dekady i oktawy oraz szczegółowo przeanalizujemy filtr dolnoprzepustowy Butterwortha trzeciego rzędu wraz z obliczeniami i obwodem.

Wstęp

W urządzeniach wykorzystujących filtry do kształtowania widma częstotliwości sygnału, takich jak systemy komunikacyjne lub sterujące, kształt lub szerokość roll-offu, określana również jako „pasmo przejściowe”, w przypadku prostego filtra pierwszego rzędu może być zbyt długie lub szerokie i aktywne filtry zaprojektowane z więcej niż jednym „porządkiem”. Tego typu filtry są powszechnie znane jako filtry „wysokiego rzędu” lub „n-tego rzędu”.

Kolejność filtrów

Złożoność lub rodzaj filtra zależy od „kolejności” filtrów i zależy od liczby elementów reaktywnych, takich jak kondensatory lub cewki indukcyjne, w jego konstrukcji. Wiemy również, że współczynnik opadania, a tym samym szerokość pasma przejścia, zależy od numeru sekwencji filtra i że w przypadku prostego filtra pierwszego rzędu standardowy współczynnik opadania wynosi 20 dB/dekadę, czyli 6 dB /oktawa.

Następnie w przypadku filtra o n-tym numerze rzędu współczynnik opadania będzie wynosił 20 n dB/dekadę lub 6 n dB/oktawę. Zatem:

• filtr pierwszego rzędu ma współczynnik opadania wynoszący 20 dB/dekadę (6 dB/oktawę)
• filtr drugiego rzędu ma współczynnik opadania 40 dB/dekadę (12 dB/oktawę)
• filtr czwartego rzędu ma częstotliwość opadania 80 dB/dekadę (24 dB/oktawę) itp.

Filtry wyższego rzędu, takie jak trzeci, czwarty i piąty, są zwykle tworzone poprzez kaskadowanie pojedynczych filtrów pierwszego i drugiego rzędu.

Na przykład dwa filtry dolnoprzepustowe drugiego rzędu można połączyć kaskadowo, tworząc filtr dolnoprzepustowy czwartego rzędu i tak dalej. Chociaż nie ma ograniczeń co do kolejności filtra, który można uformować, wraz ze wzrostem kolejności wzrasta jego rozmiar i koszt, a jego dokładność maleje.

Dekady i oktawy

Ostatni komentarz dot Dekady I Oktawy. Według skali częstotliwości dekada oznacza dziesięciokrotny wzrost (pomnożyć przez 10) lub dziesięciokrotny spadek (podzielić przez 10). Na przykład 2 do 20 Hz oznacza jedną dekadę, podczas gdy 50 do 5000 Hz oznacza dwie dekady (50 do 500 Hz, a następnie 500 do 5000 Hz).

Oktawa oznacza podwojenie (mnożenie przez 2) lub zmniejszenie o połowę (dzielenie przez 2) na skali częstotliwości. Na przykład 10 do 20 Hz reprezentuje jedną oktawę, a 2 do 16 Hz reprezentuje trzy oktawy (2 do 4, 4 do 8 i wreszcie 8 do 16 Hz), podwajając za każdym razem częstotliwość. W każdym razie, logarytmiczny Skale są szeroko stosowane w dziedzinie częstotliwości do wskazywania wartości częstotliwości podczas pracy ze wzmacniaczami i filtrami, dlatego ważne jest, aby je zrozumieć.

Ponieważ wszystkie rezystory określające częstotliwość są równe, podobnie jak kondensatory określające częstotliwość, częstotliwość odcięcia lub częstotliwość narożna (ƒ C) dla filtra pierwszego, drugiego, trzeciego lub nawet czwartego rzędu musi być również równa i obliczona przy użyciu znanego równania :

Podobnie jak w przypadku filtrów pierwszego i drugiego rzędu, filtry górnoprzepustowe trzeciego i czwartego rzędu tworzone są poprzez prostą zamianę pozycji elementów określających częstotliwość (rezystorów i kondensatorów) w równoważnym filtrze dolnoprzepustowym. Filtry wyższego rzędu można zaprojektować, postępując zgodnie z procedurami, które widzieliśmy wcześniej w instrukcjach filtrów dolnoprzepustowych i górnoprzepustowych. Jednakże ogólny zysk filtrów wyższego rzędu jest taki naprawił, ponieważ wszystkie elementy określające częstotliwość są takie same.

Filtruj przybliżenia

Do tej pory rozważaliśmy obwody filtrów pierwszego rzędu niskiej i wysokiej częstotliwości, wynikające z nich charakterystyki częstotliwościowe i fazowe. Idealny filtr dałby nam specyfikacje maksymalnego wzmocnienia i płaskości pasma przepustowego, minimalnego tłumienia pasma przepustowego i bardzo stromego pasma przepustowego, aby zatrzymać opadanie pasma (pasmo przejściowe), a zatem oczywiście duża liczba odpowiedzi sieci spełniałaby te wymagania.

Nic dziwnego, że w projektowaniu liniowych filtrów analogowych istnieje wiele „funkcji aproksymacyjnych”, które wykorzystują podejście matematyczne w celu najlepszego przybliżenia funkcji przenoszenia potrzebnej do projektowania filtra.

Takie konstrukcje to tzw Eliptyczny, Butterwortha, Czebyszew, Bessela, Cauer i wiele innych. Tylko z tych pięciu „klasycznych” funkcji aproksymacji liniowego filtra analogowego Filtr Butterwortha a zwłaszcza projekt dolnoprzepustowy filtr Butterwortha będzie tutaj uważana za najczęściej używaną funkcję.

Filtr dolnoprzepustowy Butterwortha

Odpowiedź częstotliwościowa funkcji aproksymacyjnej Filtr Butterwortha często nazywana również „maksymalnie płaską” (wolną od tętnień) odpowiedzią, ponieważ szerokość pasma została zaprojektowana tak, aby charakterystyka częstotliwościowa była tak płaska, jak to matematycznie możliwe, od 0 Hz (DC) do częstotliwości odcięcia -3 dB bez tętnienia. Wyższe częstotliwości wykraczające poza punkt odcięcia są obcinane do zera w paśmie końcowym 20 dB/dekadę lub 6 dB/oktawę. Dzieje się tak dlatego, że ma „współczynnik jakości”, „Q” wynoszący zaledwie 0,707.

Jednakże jedną z głównych wad filtra Butterwortha jest to, że osiąga on płaskość pasma przepustowego kosztem szerokiego pasma przejściowego, gdy filtr zmienia się z pasma przepustowego na pasmo zaporowe. Ma również słabą charakterystykę fazową. Poniżej podano idealną charakterystykę częstotliwościową, nazywaną filtrem „ceglanej ściany” oraz standardowe przybliżenia Butterwortha dla różnych rzędów filtrów.

Należy zauważyć, że im wyższy rząd filtru Butterwortha, tym większa liczba kaskadowych kroków w konstrukcji filtra i im bardziej filtr zbliża się do idealnej odpowiedzi „ceglanej ściany”.

Jednak w praktyce idealna charakterystyka częstotliwościowa Butterwortha nie jest możliwa do osiągnięcia, ponieważ powoduje nadmierne tętnienie w paśmie przepustowym.

Gdzie znajduje się uogólnione równanie reprezentujące filtr Butterwortha „n-tego” rzędu, charakterystykę częstotliwościową podaje się jako:

Gdzie: n oznacza rząd filtrów, ω wynosi 2πƒ, a ε jest maksymalnym wzmocnieniem pasma przepustowego (A max).

Jeśli Amax zostanie określone przy częstotliwości równej kątowemu punktowi odcięcia wynoszącemu -3 dB (ƒc), wówczas ε będzie równe jeden, a zatem ε 2 również będzie równe jeden. Jeśli jednak chcesz teraz określić Amax przy innym wzmocnieniu napięcia, na przykład 1 dB lub 1,1220 (1 dB = 20 * logA max), wówczas nową wartość ε wyznacza się ze wzoru:

Podstawiając dane do równań otrzymujemy:

Pasmo przenoszenia filtr można określić matematycznie na podstawie jego funkcja przenoszenia ze standardem przenoszenia napięcia Funkcja H (jω) i jest zapisywany jako:

Uwaga: (jω) można również zapisać jako (s) w celu oznaczenia Regiony S. a wynikowa funkcja przenoszenia dla filtra dolnoprzepustowego drugiego rzędu jest dana wzorem:

Znormalizowane wielomiany filtra dolnoprzepustowego Butterwortha

Aby pomóc w projektowaniu filtrów dolnoprzepustowych, Butterworth stworzył standardowe tabele znormalizowanych wielomianów dolnoprzepustowych drugiego rzędu, których wartości współczynników odpowiadają częstotliwości odcięcia kąta wynoszącej 1 radian/s.

N	Znormalizowane wielomiany mianownikowe w postaci rozłożonej na czynniki
1	(1+S)
2	(1 + 1,414 s + s 2)
3	(1 + s) (1 + s + s 2)
4	(1 + 0,765 s + s 2) (1 + 1,848 s + s 2)
5	(1 + s) (1 + 0,618 s + s 2) (1 + 1,618 s + s 2)
6	(1 + 0,518 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,932 s + s 2)
7	(1 + s) (1 + 0,445 s + s 2) (1 + 1,247 s + s 2) (1 + 1,802 s + s 2)
8	(1 + 0,390 s + s 2) (1 + 1,111 s + s 2) (1 + 1,663 s + s 2) (1 + 1,962 s + s 2)
9	(1 + s) (1 + 0,347 s + s 2) (1 + s + s 2) (1 + 1,532 s + s 2) (1 + 1,879 s + s 2)
10	(1 + 0,313 s + s 2) (1 + 0,908 s + s 2) (1 + 1,414 s + s 2) (1 + 1,782 s + s 2) (1 + 1,975 s + s 2)

Obliczanie i obwód filtru dolnoprzepustowego Butterwortha

Znajdź rząd aktywnego filtru dolnoprzepustowego Butterwortha, którego charakterystyki są podane jako: A max = 0,5 dB przy częstotliwości pasma przepustowego (ωp) wynoszącej 200 radianów/s (31,8 Hz) i A min = -20 dB przy częstotliwości pasma zaporowego (ωs) ) 800 radianów/sek. Zaprojektuj również odpowiedni obwód filtra Butterwortha, aby spełnić te wymagania.

Po pierwsze, maksymalne wzmocnienie pasma przepustowego A max = 0,5 dB, co jest równe wzmocnieniu 1,0593 , pamiętaj, że: 0,5 dB = 20 * log (A) przy (ωp) 200 rad/s, zatem wartość epsilon ε wyznaczamy ze wzoru:

Po drugie, minimalne wzmocnienie pasma zaporowego A min = -20 dB, co jest równe wzmocnieniu 10 (-20 dB = 20 * log (A)) przy częstotliwości pasma zaporowego (ωs) wynoszącej 800 rad/s lub 127,3 Hz.

Podstawiając wartości do ogólnego równania odpowiedzi częstotliwościowej filtrów Butterwortha otrzymujemy, co następuje:

Ponieważ n musi zawsze być liczbą całkowitą, następną najwyższą wartością 2,42 będzie n = 3, więc „wymaga filtra trzeciego rzędu” i tworzyć Filtr Butterwortha stopnia trzeciego, stopień filtra drugiego rzędu wymaga połączenia kaskadowego ze stopniem filtra pierwszego rzędu.

Z powyższej tabeli znormalizowanych dolnoprzepustowych wielomianów Butterwortha współczynnik dla filtra trzeciego rzędu jest podany jako (1 + s) (1 + s + s 2 ), co daje nam zysk 3-A = 1 lub A = 2. W A = 1 + (Rf / R1) wybierając wartość zarówno dla rezystora sprzężenia zwrotnego Rf, jak i rezystora R1, otrzymujemy odpowiednio wartości 1 kΩ i 1 kΩ jako: (1 kΩ / 1 kΩ) + 1 = 2 .

Wiemy, że częstotliwość narożną odcięcia, punkt -3 dB (ω o) można znaleźć za pomocą wzoru 1/CR, ale musimy znaleźć ω o z częstotliwości pasma przepustowego ω p.

Zatem częstotliwość odcięcia naroża wynosi 284 rad/s lub 45,2 Hz (284/2π) i korzystając ze znanego wzoru 1/RC, możemy znaleźć wartości rezystorów i kondensatorów dla naszego obwodu trzeciego rzędu.

Należy pamiętać, że najbliższa preferowana wartość 0,352 uF to 0,36 uF lub 360 nF.

I na koniec nasz obwód filtra dolnoprzepustowego Butterwortha trzeciego rzędu z częstotliwością narożną odcięcia 284 rad/s lub 45,2 Hz, maksymalnym wzmocnieniem pasma przepustowego 0,5 dB i minimalnym wzmocnieniem pasma zaporowego 20 dB, jest skonstruowany w następujący sposób.

Zatem dla naszego filtra dolnoprzepustowego Butterwortha trzeciego rzędu o częstotliwości narożnej 45,2 Hz, C = 360 nF i R = 10 kΩ

W filtrach obliczenia rozpoczynają się zwykle od ustawienia parametrów filtra, z których najważniejszym jest pasmo przenoszenia. Jak już pisaliśmy w artykule, wymagania danego filtra sprowadzają się w pierwszej kolejności do wymagań prototypu LPF. Przykład wymagań dotyczących charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej prototypu filtra dolnoprzepustowego projektowanego filtra przedstawiono na rysunku 1.

Rysunek 1. Przykład znormalizowanej odpowiedzi częstotliwościowej filtra dolnoprzepustowego

Ten wykres pokazuje zależność wzmocnienia filtra od znormalizowanej częstotliwości ξ , Gdzie ξ = f/f V

Wykres na rysunku 1 pokazuje, że dopuszczalne tętnienie wzmocnienia jest ustawione w paśmie przepustowym. Minimalny współczynnik tłumienia sygnału zakłócającego ustawiany jest w paśmie zaporowym. Prawdziwy filtr może mieć dowolny kształt. Najważniejsze, że nie przekracza granic określonych wymagań.

Przez długi czas obliczenia filtra prowadzono metodą doboru charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej za pomocą standardowych łączy (m-link lub k-link). Metodę tę nazwano metodą aplikacyjną. Było to dość skomplikowane i nie zapewniało optymalnego stosunku jakości opracowanego filtra do liczby linków. Dlatego opracowano matematyczne metody aproksymacji charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej przy zadanych charakterystykach.

Przybliżenie w matematyce jest reprezentacją złożonej zależności za pomocą jakiejś znanej funkcji. Zwykle ta funkcja jest dość prosta. W przypadku opracowywania filtrów ważne jest, aby funkcja aproksymująca mogła być łatwo zaimplementowana w projektowaniu obwodów. Aby to zrobić, funkcje są realizowane przy użyciu zer i biegunów czterokońcowego współczynnika przenoszenia, w tym przypadku filtra. Można je łatwo wdrożyć za pomocą obwodów LC lub ze sprzężeniem zwrotnym.

Najpopularniejszym rodzajem aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowej filtra jest przybliżenie Butterwortha. Takie filtry nazywane są filtrami Butterwortha.

Filtry Butterwortha

Charakterystyczną cechą charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej filtra Butterwortha jest brak minimów i maksimów w pasmach przepustowych i opóźniających. Spadek odpowiedzi częstotliwościowej na krawędzi pasma przepustowego tych filtrów wynosi 3 dB. Jeśli filtr wymaga mniejszej wartości tętnienia pasma przepustowego, wówczas zwracana jest częstotliwość filtra F c jest wybrane powyżej określonej górnej częstotliwości pasma przepustowego. Funkcja aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowej prototypowego filtru dolnoprzepustowego Butterwortha jest następująca:

(1),

Gdzie ξ jest znormalizowaną częstotliwością;
N- kolejność filtrów.

W tym przypadku rzeczywistą charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową opracowanego filtra można uzyskać poprzez pomnożenie znormalizowanej częstotliwości ξ do częstotliwości granicznej filtra. W przypadku filtra dolnoprzepustowego Butterwortha funkcja aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowej będzie wyglądać następująco:

(2).

Zwróćmy teraz uwagę na fakt, że przy obliczaniu filtrów powszechnie stosuje się koncepcję złożonej płaszczyzny s, na której wzdłuż osi y wykreślana jest częstotliwość kołowa jω, a wzdłuż odciętej jest odwrotnością współczynnika jakości. W ten sposób można określić główne parametry obwodów LC wchodzących w skład obwodu filtra: częstotliwość strojenia (częstotliwość rezonansowa) i współczynnik jakości. Przejście do płaszczyzny s odbywa się za pomocą .

Podano szczegółowe wyprowadzenie położenia biegunów filtru Butterwortha na zespolonej płaszczyźnie s. Dla nas najważniejsze jest to, że bieguny tego filtra znajdują się na okręgu jednostkowym w równej odległości od siebie. Liczba biegunów zależy od kolejności filtra.

Rysunek 2 przedstawia układ biegunów dla filtra Butterwortha pierwszego rzędu. W pobliżu pokazano charakterystykę częstotliwościową odpowiadającą danemu położeniu biegunów na złożonej płaszczyźnie s.

Rysunek 2. Położenie bieguna i charakterystyka częstotliwościowa filtra Butterwortha pierwszego rzędu

Rysunek 2 pokazuje, że w przypadku filtra pierwszego rzędu biegun musi być dostrojony do częstotliwości zerowej, a jego współczynnik jakości musi być równy jedności. Wykres odpowiedzi częstotliwościowej pokazuje, że częstotliwość strojenia słupa faktycznie wynosi zero, a współczynnik jakości słupa jest taki, że przy częstotliwości odcięcia znormalizowanego filtra Butterwortha, która jest równa jedności, jego współczynnik przenoszenia wynosi -3 dB.

Bieguny filtru Butterwortha drugiego rzędu definiuje się dokładnie w ten sam sposób. Tym razem częstotliwość strojenia bieguna wybierana jest na przecięciu okręgu jednostkowego z linią prostą przechodzącą przez środek okręgu pod kątem 45°.

Rysunek 3. Układ biegunów i charakterystyka częstotliwościowa filtra Butterwortha drugiego rzędu

W tym przypadku częstotliwość rezonansowa bieguna znajduje się w pobliżu częstotliwości odcięcia filtra znormalizowanego. Jest równy 0,707. Współczynnik jakości bieguna zgodnie z wykresem pierwiastka biegunów jest dwukrotnie większy niż współczynnik jakości bieguna filtra Butterwortha pierwszego rzędu, więc nachylenie zaniku charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej jest większe . (Zwróć uwagę na liczby po prawej stronie wykresu. Przy przesunięciu częstotliwości wynoszącym 2 tłumienie wynosi już 13 dB) Lewa strona charakterystyki częstotliwościowej bieguna jest płaska. Dzieje się tak pod wpływem bieguna znajdującego się w strefie częstotliwości ujemnych.

Położenie bieguna i charakterystykę częstotliwościową filtra Butterwortha trzeciego rzędu pokazano na rysunku 4.

Rysunek 4. Układ biegunów filtra Butterwortha trzeciego rzędu

Jak widać z wykresów pokazanych na rysunkach 2...5, wraz ze wzrostem rzędu filtru Butterwortha wzrasta nachylenie zaniku charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej i wymagany współczynnik jakości obwodu drugiego rzędu (obwód) realizujący wzrost bieguna charakterystyki transmisji filtra. To właśnie wzrost wymaganego współczynnika jakości ogranicza maksymalne możliwe do zrealizowania zamówienie filtra. Obecnie możliwa jest realizacja filtrów Butterwortha aż do ósmego – dziesiątego rzędu.

Filtry Czebyszewa

W filtrach Czebyszewa charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową przybliża się w następujący sposób:

(3),

W tym przypadku charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową rzeczywistego filtru Czebyszewa, podobnie jak w filtrze Butterwortha, można otrzymać mnożąc znormalizowaną częstotliwość ξ na częstotliwości odcięcia opracowanego filtra. W przypadku dolnoprzepustowego filtra Czebyszewa charakterystykę częstotliwościową można określić w następujący sposób:

(4).

Charakterystyka częstotliwościowa filtra dolnoprzepustowego Czebyszewa charakteryzuje się bardziej stromym spadkiem w obszarze częstotliwości powyżej częstotliwości górnoprzepustowego. Wzmocnienie to osiąga się dzięki pojawieniu się nierównej odpowiedzi częstotliwościowej w paśmie przepustowym. Niejednorodność funkcji aproksymacyjnej AFC filtra Czebyszewa wynika z wyższego współczynnika jakości biegunów.

Szczegółowe wyprowadzenie położenia biegunów funkcji aproksymującej filtru Czebyszewa na płaszczyźnie s podano w. Ważne jest dla nas, aby bieguny filtra Czebyszewa znajdowały się na elipsie, której główna oś pokrywa się z osią znormalizowanych częstotliwości. Na tej osi elipsa przechodzi przez punkt częstotliwości odcięcia filtra dolnoprzepustowego.

W wersji znormalizowanej punkt ten jest równy jeden. Druga oś jest wyznaczona przez niejednorodność funkcji aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowej w paśmie przepustowym. Im większe dopuszczalne tętnienie pasma przepustowego, tym mniejsza jest ta oś. Następuje swego rodzaju „spłaszczenie” koła jednostkowego filtru Butterwortha. Bieguny wydają się zbliżać do osi częstotliwości. Odpowiada to wzrostowi współczynnika jakości biegunów filtra. Im większa nierówność pasma przepustowego, tym większy współczynnik jakości biegunów, tym większa szybkość wzrostu tłumienia w paśmie zaporowym filtra Czebyszewa. Liczbę biegunów funkcji aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowej wyznacza rząd filtru Czebyszewa.

Należy zauważyć, że nie ma filtru Czebyszewa pierwszego rzędu. Położenie biegunów i charakterystykę częstotliwościową filtra Czebyszewa drugiego rzędu pokazano na rysunku 5. Charakterystyka filtra Czebyszewa jest interesująca, ponieważ są na nim wyraźnie widoczne częstotliwości biegunów. Odpowiadają one maksymalnej charakterystyce częstotliwościowej w paśmie przepustowym. W przypadku filtra drugiego rzędu częstotliwość biegunowa odpowiada ξ =0.707.

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Filtr Butterwortha 4 zamówienia

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Czebyszew filtruje 3 zamówienia

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Czebyszew filtruje 4 zamówienia

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Filtr Bessela trzeciego rzędu

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Filtr Bessela 4-rzędowy

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> LPF1)

KONWERSJA WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> HPF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> PF)

PRZELICZANIE WŁAŚCIWOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCI DF (LPF --> RF)

Przeanalizować wpływ błędów ustawienia współczynników cyfrowego filtra dolnoprzepustowego na charakterystykę częstotliwościową (poprzez zmianę jednego ze współczynników b J). Opisz charakter zmiany odpowiedzi częstotliwościowej. Wyciągnij wniosek na temat wpływu zmiany jednego ze współczynników na zachowanie filtra.

Wpływ błędów ustawienia współczynników cyfrowego filtra dolnoprzepustowego na charakterystykę częstotliwościową przeanalizujemy na przykładzie filtra Bessela czwartego rzędu.

Dobieramy wartość odchyłki współczynników ε równą –1,5%, tak aby maksymalna odchyłka charakterystyki częstotliwościowej wynosiła około 10%.

Odpowiedź częstotliwościową filtra „idealnego” i filtrów ze zmodyfikowanymi współczynnikami o wartość ε przedstawiono na rysunku:

I

Z rysunku widać, że największy wpływ na charakterystykę częstotliwościową ma zmiana współczynników b 1 i b 2 (ich wartość przewyższa wartość pozostałych współczynników). Stosując ujemną wartość ε zauważamy, że dodatnie współczynniki zmniejszają amplitudę w dolnej części widma, natomiast ujemne współczynniki ją zwiększają. Przy dodatniej wartości ε wszystko dzieje się na odwrót.

Kwantuj współczynniki filtra cyfrowego przez taką liczbę cyfr binarnych, aby maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej od pierwotnej wynosiło około 10 - 20%. Naszkicuj charakterystykę częstotliwościową i opisz charakter jej zmiany.

Zmieniając liczbę cyfr części ułamkowej współczynników B J należy pamiętać, że maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej od oryginału, nieprzekraczające 20%, uzyskuje się przy n≥3.

Rodzaj odpowiedzi częstotliwościowej dla różnych N pokazane na rysunkach:

N \u003d 3, maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej \u003d 19,7%

N \u003d 4, maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej \u003d 13,2%

N \u003d 5, maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej \u003d 5,8%

N \u003d 6, maksymalne odchylenie odpowiedzi częstotliwościowej \u003d 1,7%

Można zatem zauważyć, że zwiększenie głębi bitowej podczas kwantyzacji współczynników filtra powoduje, że charakterystyka częstotliwościowa filtra coraz bardziej zbliża się do pierwotnej. Należy jednak zauważyć, że komplikuje to fizyczną realizację filtra.

Kwantyzacja dla różnych N można zobaczyć na rysunku: