Детерминирленген сигналдың қуаттылық спектрлік тығыздығы. Сигнал қуатының спектрлік тығыздығын бағалау әдістері Қуат спектрлік тығыздығы

Белгі берсін с(т) периодты емес функция ретінде көрсетіледі және ол тек ( интервалында болады) т 1 ,т 2) (мысал – бір импульс). Ерікті уақыт аралығын таңдайық Таралығын қоса алғанда ( т 1 ,т 2) (1-суретті қараңыз).

Алынған периодтық сигналды белгілейік с(т), түрде ( т). Сонда біз оған Фурье қатарын жаза аламыз

Функцияға өту үшін с(т) өрнекте ( т) периодты шексіздікке бағыттаңыз. Бұл жағдайда жиіліктері бар гармоникалық компоненттердің саны w=n 2б/Тшексіз үлкен болады, олардың арасындағы қашықтық нөлге ұмтылады (шексіз аз мәнге дейін:

құрауыштардың амплитудалары да шексіз аз болады. Сондықтан мұндай сигналдың спектрі туралы енді айту мүмкін емес, өйткені спектр үздіксіз болады.

Ішкі интеграл жиіліктің функциясы болып табылады. Ол сигналдың спектрлік тығыздығы немесе сигналдың жиілік реакциясы деп аталады және белгіленеді, яғни.

Жалпылық үшін интегралдау шегін шексіз деп орнатуға болады, өйткені s(t) нөлге тең, ал интеграл нөлге тең.

Спектрлік тығыздықтың өрнегі тура Фурье түрлендіруі деп аталады. Кері Фурье түрлендіруі сигналдың уақыттық функциясын оның спектрлік тығыздығынан анықтайды

Тура (*) және кері (**) Фурье түрлендірулері бірге Фурье түрлендірулерінің жұбы деп аталады. Спектрлік тығыздық модулі

сигналдың амплитудалық-жиілік жауабын (AFC) және оның аргументін анықтайды сигналдың фазалық жиілік реакциясы (PFC) деп аталады. Сигналдың жиілік реакциясы жұп функция, ал фазалық реакциясы тақ.

Модульдің мағынасы С(w) қарастырылып отырған жиілікті қамтитын шексіз тар жиілік диапазонындағы 1 Гц-ке сигнал амплитудасы (ток немесе кернеу) ретінде анықталады. w. Оның өлшемі [сигнал/жиілік] болып табылады.

Сигналдың энергетикалық спектрі.Егер s(t) функциясының Фурье сигналының қуат тығыздығы ( сигнал энергиясының спектрлік тығыздығы) өрнекпен анықталады:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Қуат спектрі әдетте энергия спектрі деп аталатын W()-нақты теріс емес жұп функция болып табылады. Сигналдың спектрлік тығыздығы модулінің квадраты ретінде қуат спектрі оның жиілік құрамдас бөліктері туралы фазалық ақпаратты қамтымайды, сондықтан қуат спектрінен сигналды қайта құру мүмкін емес. Бұл сонымен қатар әртүрлі фазалық сипаттамалары бар сигналдар бірдей қуат спектрлеріне ие болуы мүмкін дегенді білдіреді. Атап айтқанда, сигналдың ауысуы оның қуат спектрінде көрсетілмейді. Соңғысы (5.2.7) өрнектерден тікелей энергия спектрі үшін өрнек алуға мүмкіндік береді. Шекте t 0 ығысуы бар бірдей u(t) және v(t) сигналдары үшін Wuv() спектрінің ойша бөлігі нөлдік мәндерге, ал нақты бөлігі спектр модулінің мәндеріне ұмтылады. . Сигналдардың толық уақытша комбинациясы арқылы бізде:

анау. сигнал энергиясы оның жиілік спектрінің квадрат модулінің интегралына – оның жиілік құраушыларының энергиясының қосындысына тең және әрқашан нақты мән болып табылады.

Ерікті сигнал үшін s(t) теңдік

әдетте Парсевал теңдігі деп аталады (математикада – Планшерель теоремасы, физикада – Рэйлей формуласы). Теңдік анық, өйткені координаталар мен жиіліктер бір сигналдың әртүрлі математикалық көріністері ғана. Сол сияқты екі сигналдың әрекеттесу энергиясы үшін:

Парсевал теңдігінен Фурье түрлендіруіне қатысты сигналдар мен норманың скаляр көбейтіндісі инвариантты болып шығады:

Сигналдарды жазу мен берудің бірқатар таза практикалық мәселелерінде сигналдың энергетикалық спектрі өте маңызды мәнге ие. Периодтық сигналдар спектрлік аймаққа Фурье қатары түрінде аударылады. Периоды T периодты сигналды Фурье қатары түрінде күрделі түрде жазайық:

0-T аралығы барлық интегралдық дәреже көрсеткіштерінің периодтарының бүтін сандарын қамтиды және k = -m кезіндегі көрсеткішті қоспағанда, нөлге тең, ол үшін интеграл T-ке тең. Сәйкесінше, a-ның орташа дәрежесі Периодтық сигнал оның Фурье қатарының коэффициенттерінің квадраттық модульдерінің қосындысына тең:

Сигналдың энергетикалық спектрі – бұл гармоникалық емес сигналды құрайтын негізгі сигналдардың энергиясының жиілік осінде таралуы. Математикалық тұрғыдан сигналдың энергетикалық спектрі спектрлік функция модулінің квадратына тең:

Осыған сәйкес амплитудалық-жиілік спектрі жиілік осіндегі негізгі сигналдардың құрамдас бөліктерінің амплитудаларының жиынын көрсетеді, ал фазалық-жиілік спектрі фазалар жиынтығын көрсетеді.

Спектрлік функцияның модулі жиі аталады амплитудалық спектр, және оның аргументі фазалық спектр.

Сонымен қатар, оның спектрлік функциясын біле отырып, бастапқы сигналды қалпына келтіруге мүмкіндік беретін кері Фурье түрлендіруі бар:

Мысалы, тікбұрышты импульсті алыңыз:

Спектрлердің тағы бір мысалы:

Найквист жиілігі, Котельников теоремасы .

Nyquist жиілігі - цифрлық сигналды өңдеуде дискретизация жиілігінің жартысына тең жиілік. Гарри Найквисттің атымен аталған. Котельников теоремасынан аналогтық сигналды іріктеу кезінде сигналдың спектрі (спектрлік тығыздығы) Найквист жиілігіне тең немесе одан төмен болған жағдайда ғана ақпарат жоғалмайтыны шығады. Әйтпесе, аналогтық сигналды қалпына келтіру кезінде спектрлік «құйрықтардың» қабаттасуы (жиілікті ауыстыру, жиілікті маскировка) болады және қалпына келтірілген сигналдың пішіні бұрмаланады. Сигнал спектрінде Nyquist жиілігінен жоғары құрамдас бөліктер болмаса, онда оны (теориялық тұрғыдан) іріктеуге, содан кейін бұрмалаусыз қайта құруға болады. Шындығында, сигналды «цифрлау» (аналогтық сигналды цифрлық сигналға түрлендіру) үлгілерді кванттаумен байланысты - әрбір үлгі соңғы биттік тереңдіктің цифрлық коды түрінде жазылады, оның нәтижесінде кванттау (дөңгелектеу) қателері үлгілерге «кванттау шуы» ретінде қарастырылатын белгілі бір жағдайларда қосылады.

Ақырғы ұзақтығы бар нақты сигналдар әрқашанда шексіз кең спектрге ие, ол жиіліктің артуымен азды-көпті жылдам азаяды. Демек, сигналды дискретизациялау дискретизация жиілігі қаншалықты жоғары болса да, әрқашан ақпаратты жоғалтуға әкеледі (дискіні алу және қайта құру кезінде сигнал пішінінің бұрмалануы). Таңдалған дискретизация жылдамдығында бұрмалануды аналогтық сигналдың спектрлік құрамдас бөліктерін (дискіні алу алдында) Nyquist жиілігінен жоғары басу арқылы азайтуға болады, бұл құйрықтардың бүркеншік атын болдырмау үшін өте жоғары ретті сүзгіні қажет етеді. Мұндай сүзгіні іс жүзінде жүзеге асыру өте күрделі, өйткені сүзгілердің амплитудалық-жиілік сипаттамалары тікбұрышты емес, тегіс және өту жолағы мен басу жолағы арасында белгілі бір өтпелі жиілік диапазоны қалыптасады. Сондықтан дискреттеу жиілігі маржамен таңдалады, мысалы, аудио ықшам дискілерде 44 100 Гц дискреттеу жиілігі пайдаланылады, ал дыбыстық сигналдар спектріндегі ең жоғары жиілік 20 000 Гц деп есептеледі. Nyquist жиілік маржасы 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц енгізілген төменгі ретті сүзгіні пайдалану кезінде жиілікті ауыстыруды болдырмауға мүмкіндік береді.

Котельников теоремасы

Кішігірім бұрмаланулары (қателері) бар таңдалған сигналдан бастапқы үздіксіз сигналды қалпына келтіру үшін дискретизация қадамын ұтымды таңдау қажет. Сондықтан аналогты сигналды дискреттіге түрлендіру кезінде міндетті түрде таңдау қадамының өлшемі туралы сұрақ туындайды, келесі идеяны түсіну қиын емес. Егер аналогтық сигнал белгілі бір жоғарғы жиілікпен Fe шектелген төмен жиілікті спектрге ие болса (яғни, u(t) функциясы амплитудасының күрт өзгеруінсіз біркелкі өзгеретін қисық пішінге ие болса), онда бұл функцияның мүмкін болуы екіталай. кейбір шағын іріктеу амплитудасы бойынша айтарлықтай өзгереді. Аналогтық сигналды оның үлгілерінің тізбегінен қайта құру дәлдігі дискреттеу интервалының өлшеміне байланысты екені анық, ол неғұрлым қысқа болса, u(t) функциясы үлгі арқылы өтетін тегіс қисық сызықтан азырақ ерекшеленеді. ұпай. Дегенмен, сынама алу аралығы азайған сайын өңдеу жабдықтарының күрделілігі мен көлемі айтарлықтай артады. Егер дискреттеу интервалы жеткілікті үлкен болса, аналогтық сигналды қайта құру кезінде ақпараттың бұрмалану немесе жоғалу ықтималдығы артады. Таңдау интервалының оңтайлы мәні Котельников теоремасымен белгіленеді (басқа атаулары – дискретизация теоремасы, К. Шеннон теоремасы, X. Найквист теоремасы: теореманы алғаш рет О. Коши математикасында ашқан, содан кейін Д. қайта сипаттаған. Карсон және Р.Хартли), 1933 жылы дәлелдеген В.А. Котельников теоремасының маңызды теориялық және практикалық маңызы бар: ол аналогтық сигналды дұрыс таңдауға мүмкіндік береді және үлгі мәндерінен қабылдау жағында оны қалпына келтірудің оңтайлы әдісін анықтайды.

Котельников теоремасының ең танымал және қарапайым интерпретацияларының біріне сәйкес спектрі белгілі бір Fe жиілігімен шектелген ерікті сигнал u(t) уақыт бойынша оның анықтамалық мәндерінің тізбегінен толығымен қайта құрылуы мүмкін. интервал

Радиотехникадағы дискреттеу аралығы мен жиілігі Fe(1) жиі сәйкесінше интервал және Найквист жиілігі деп аталады. Аналитикалық түрде Котельников теоремасы жанында берілген

мұндағы k – үлгі нөмірі; - тірек нүктелеріндегі сигнал мәні - сигнал спектрінің жоғарғы жиілігі.

Дискретті сигналдардың жиілік көрінісі .

Сигналдардың көпшілігін Фурье қатары ретінде көрсетуге болады:

Дәріс 7.

Кездейсоқ ПРОЦЕСТІҢ СПЕКТРАЛДЫҚ ҚУАТ ТЫҒЫЗДЫҒЫ

Кездейсоқ процесті жүзеге асыру жиыны (ансамблі) ретінде түсінгенде, әртүрлі пішіндегі реализациялар әртүрлі спектрлік сипаттамаларға сәйкес келетінін есте ұстаған жөн. Күрделі спектрлік тығыздықты барлық енгізулер бойынша орташалау әртүрлі іске асырулардағы спектрлік құрамдастардың фазаларының кездейсоқтығы мен тәуелсіздігіне байланысты процестің нөлдік спектріне (орташа = 0) әкеледі. Алайда кездейсоқ шаманың орташа квадратының спектрлік тығыздығы ұғымын енгізуге болады, өйткені орташа квадраттың мәні жинақталған гармоникалардың фазалық қатынасына тәуелді емес. Кездейсоқ функция x(t) электр кернеуін немесе токты білдірсе, онда бұл функцияның орташа квадратын 1 Ом кедергіде шығарылатын орташа қуат ретінде қарастыруға болады. Бұл қуат кездейсоқ процестің қалыптасу механизміне байланысты белгілі бір жолақтағы жиіліктерге бөлінеді. Орташа қуаттың спектрлік тығыздығы - берілген жиіліктегі Гц орташа қуат ω . Осы жолмен енгізілген спектрлік тығыздық С(ω) Келесіде функцияның энергетикалық спектрін атаймыз x(т) . Бұл атаудың мағынасы функцияның өлшемімен анықталады С(ω) , ол қуаттың жиілік жолағына қатынасы:

[С(ω) ] = [ қуат/өткізу жолағы ] = [қуат×уақыт] = [энергия],

Кездейсоқ процестің пайда болу механизмі белгілі болса, энергия спектрін табуға болады. Бұл жерде біз кейбір жалпы анықтамалармен шектелеміз.

PSD есептеу әдістері

Спектрлік тығыздық функцияларын үш түрлі эквивалентті жолмен анықтауға болады, біз төменде қарастырамыз:

Коварианттық функцияларды қолдану;

Ақырлы Фурье түрлендіруін қолдану;

Сүзу, квадраттау және орташалауды қолдану.

Корреляциялық функциялардың көмегімен спектрлерді анықтау.

Тарихи тұрғыдан спектрлік тығыздықты анықтаудың бірінші әдісі математикада пайда болды. Ол алдын ала есептелген корреляциялық функцияның Фурье түрлендіруін қабылдаудан тұрады. Орташаларды алып тастағаннан кейін, мұндай (шексіз) Фурье түрлендірулері әдетте бастапқы процестің (шексіз) Фурье түрлендіруі болмаса да болады. Бұл тәсіл жиіліктер үшін анықталған екі жақты спектрлік тығыздықты береді f-ден + дейін және белгіленеді С(f) .

Корреляциялық және өзара корреляциялық функциялар болсын Rx(т), Ry(т) Және Rxy(т) . Сондай-ақ олардың абсолюттік мәндерінің интегралдарын ақырлы деп алайық

Р( г

Тәжірибеде бұл шарттар шектеулі ұзындықты іске асыру үшін әрқашан қанағаттандырылады. Содан кейін PF жұмыс істейді Р(т) бар және формулалармен анықталады

S x (f)=

S y (f)= (1)

S xy (f)=

Ақырғы іске асыру үстіндегі мұндай интегралдар әрқашан бар. Функциялар S x(f) Және С ж(f) процестердің спектрлік тығыздығының функциялары деп аталады x(т) Және ж(т) тиісінше, немесе жай спектрлік тығыздықтар және функция екі процестің өзара спектрлік тығыздығы деп аталады x(т) Және ж(т) .

(1) формулалардан кері ПФ береді

Rx(τ ) =

Ry(τ ) = (2)

Rxy(τ ) = df.

(1) және (2) қатынастар Винер-Хинчин формулалары деп аталады, олар 30-шы жылдары ПФ арқылы корреляциялық функциялар мен спектрлік тығыздық арасындағы байланысты дербес орнатты. Тәжірибелік есептерді шешу кезінде мүмкіндік беру керек Р(т) Және С(f) дельта функцияларының болуы.

Стационарлық коварианттық функциялардың симметриялық қасиеттерінен ол шығады

S x (-f)= S x (f)а S xy (-f) = S yx (f)

Сондықтан спектрлік тығыздық S x(f) нақты жұп функция болып табылады, а S xy(f) – күрделі функциядан f.

Содан кейін (1) спектрлік қатынастарды түрге түрлендіруге болады

Сигналдың спектрі бойынша энергияның таралуын сипаттайтын және энергияның спектрлік тығыздығы деп аталатын шама тек шексіз уақыт интервалындағы энергиясы шекті және сондықтан Фурье түрлендіруі оларға қолданылатын сигналдар үшін ғана бар.

Уақыт бойынша ыдырамайтын сигналдар үшін энергия шексіз үлкен және интеграл (1,54) алшақтайды. Амплитудалық спектрді көрсету мүмкін емес. Дегенмен, орташа қуат Рср, қатынаспен анықталады

шекті болып шығады. Сондықтан «қуат спектрінің тығыздығы» деген кеңірек ұғым қолданылады. Оны жиілікке қатысты орташа сигнал қуатының туындысы ретінде анықтап, оны Сk(п) деп белгілейік:

k индексі бұл жерде қуат спектрінің тығыздығын сигналдың жүзеге асуын сипаттайтын u(t) детерминирленген функциясының сипаттамасы ретінде қарастыратынымызды атап көрсетеді.

Сигналдың бұл сипаттамасы амплитудалық спектрлік тығыздыққа қарағанда маңызды емес, өйткені ол фазалық ақпараттан айырылған [қараңыз. (1.38)]. Сондықтан одан бастапқы сигналды іске асыруды бір мәнді түрде қайта құру мүмкін емес. Дегенмен, фазалық ақпараттың болмауы бұл тұжырымдаманы фаза анықталмаған сигналдарға қолдануға мүмкіндік береді.

Ск(х) спектрлік тығыздығы мен амплитудалық спектр арасындағы байланысты орнату үшін шектеулі уақыт интервалында (-T) бар u(t) сигналын қолданамыз.<. t

мұндағы – уақытпен шектелген сигналдың қуат спектрлік тығыздығы.

Бұл сипаттаманы көптеген іске асырулар бойынша орташалау арқылы кездейсоқ процестердің үлкен класы үшін қуаттың спектрлік тығыздығын алуға болатыны кейінірек көрсетіледі (§ 1.11 қараңыз).

Детерминирленген сигналдың автокорреляциялық функциясы

Енді жиілік доменінде екі сипаттама бар: спектрлік жауап және қуат спектрінің тығыздығы. u(t) сигналы туралы толық ақпаратты қамтитын спектрлік сипаттама уақыт функциясы түріндегі Фурье түрлендіруіне сәйкес келеді. Фазалық ақпаратсыз қуат спектрлік тығыздығы уақыттық аймақта неге сәйкес келетінін анықтайық.

Бірдей қуат спектрлік тығыздығы фазалары бойынша ерекшеленетін көптеген уақыт функцияларына сәйкес келеді деп болжау керек. Кеңес ғалымы Л.Я. Хинчин мен американдық ғалым Н.Винер бір мезгілде дерлік спектрлік қуат тығыздығының кері Фурье түрлендіруін тапты:

Фазалық ақпараты жоқ жалпыланған уақыт функциясын r() уақыт автокорреляция функциясы деп атайық. Ол уақыт аралығымен бөлінген u(t) функциясы мәндерінің арасындағы корреляция дәрежесін көрсетеді және корреляция коэффициенті түсінігін жасау арқылы статистикалық теориядан шығаруға болады. Уақыт корреляциялық функциясында орташалау жеткілікті ұзақ ұзақтықты бір іске асыру шеңберінде уақыт бойынша жүзеге асырылатынын ескеріңіз.

Фурье түрлендіру жұбының екінші интегралдық қатынасы да жарамды:

1.6-мысал Гармоникалық сигналдың уақыттық автокорреляция функциясын анықтаңыз u(t) = u0 cos(t-ts). (1.64) сәйкес

Қарапайым түрлендірулерді жүргізу

ақыры бізде

Күткендей, ru() μ-ге тәуелді емес, сондықтан (1.66) фазалары бойынша ерекшеленетін гармоникалардың тұтас жиынтығы үшін жарамды.

Кездейсоқ процесті уақыттық функциялардың жиыны (ансамблі) ретінде түсінгенде, әртүрлі пішіндегі функциялардың әртүрлі спектрлік сипаттамаларға сәйкес келетінін есте ұстаған жөн. (1.47) арқылы анықталған кешенді спектрлік тығыздықты барлық функциялар бойынша орташалау процестің нөлдік спектріне әкеледі (де M[x(т)]=0 ) әртүрлі іске асырудағы спектрлік компоненттердің фазаларының кездейсоқтығы мен тәуелсіздігіне байланысты.

Алайда кездейсоқ функцияның орташа квадратының спектрлік тығыздығы ұғымын енгізуге болады, өйткені орташа квадраттың мәні қосынды гармоникалардың фазалық қатынасына тәуелді емес. Кездейсоқ функция астында болса x(t)электр кернеуін немесе токты білдіреді, онда бұл функцияның орташа квадратын 1 Ом кедергіде шығарылатын орташа қуат ретінде қарастыруға болады. Бұл қуат кездейсоқ процестің қалыптасу механизміне байланысты белгілі бір жолақтағы жиіліктерге бөлінеді.

Орташа қуаттың спектрлік тығыздығы - берілген жиіліктегі Гц орташа қуат ω . Функция өлшемі В(ω) , ол қуаттың жиілік жолағына қатынасы болып табылады

Кездейсоқ процестің пайда болу механизмі белгілі болса, кездейсоқ процестің спектрлік тығыздығын табуға болады. Заттың және электр энергиясының атомдық құрылымымен байланысты шуға қатысты бұл тапсырма кейінірек келеді. Бұл жерде біз бірнеше жалпы анықтамалармен шектелеміз.

Ансамбльден кез келген іске асыруды таңдау арқылы xк(т) және оның ұзақтығын шекті интервалмен шектеу Т, оған әдеттегі Фурье түрлендіруін қолданып, спектрлік тығыздықты табуға болады X кТ (ω). Сонда қарастырылатын іске асыру сегментінің энергиясын мына формула арқылы есептеуге болады:

(1.152)

Бұл энергияны бөлу Т, орташа қуатты аламыз к-шісегментте жүзеге асыру Т

(1.153)

Көбейту кезінде Тэнергия ЕКТартады, бірақ қатынасы белгілі бір шекке ұмтылады. Шектеуден өтіп, біз мыналарды аламыз:

Г
де

білдіреді орташа қуаттың спектрлік тығыздығықарастырылып отырған к-шіжүзеге асыру.

Жалпы, құндылық В к (ω) көптеген іске асырулар бойынша орташа болуы керек. Бұл жағдайда стационарлы және эргодикалық процесті қарастырумен шектей отырып, функция бір іске асырудан орташалау арқылы табылды деп болжауға болады. В к (ω) бүкіл процесті тұтастай сипаттайды. k индексін алып тастап, біз кездейсоқ процестің орташа қуатының соңғы өрнегін аламыз

Ортасы нөлге тең процесс үшін

(1.156)

Спектрлік тығыздық анықтамасынан (1,155) көрініп тұр В X (ω) жұп және теріс емес функция болып табылады ω.

1.5.3 Кездейсоқ процестің спектрлік тығыздығы мен коварианттық функциясы арасындағы байланыс

Бір жағынан, өзгеру жылдамдығы X(т) уақыт бойынша спектрдің енін анықтайды. Басқа жақтан, өзгеру жылдамдығы x(t) коварианттық функцияның жүруін анықтайды. арасында екені анықВ X (ω) және К X(τ) тығыз байланыс бар.

Винер-Хинчин теоремасы бұл туралы айтады TO X (τ) Және В x (ω) Фурье түрлендірулерімен байланысты:

(1.157)

(1.158)

Орташа мәні нөлге тең кездейсоқ процестер үшін ұқсас өрнектер келесідей болады:

Бұл өрнектер детерминирленген сигналдар үшін Фурье түрлендірулерінің қасиеттеріне ұқсас сипатты білдіреді:кездейсоқ процестің спектрі неғұрлым кең болса, корреляциялық интервал соғұрлым аз болады және сәйкесінше, корреляциялық интервал неғұрлым үлкен болса, процестің спектрі тар болады (1.20-суретті қараңыз).

1.20-сурет. Кездейсоқ процестің кең жолақты және тар жолақты спектрлері; орталық жолақтың шекаралары: ±F 1

Спектр барлық жиіліктерде біркелкі болған кезде ақ шу үлкен қызығушылық тудырады.

1.158 өрнегін ауыстырсақ Вx(ω) = В 0 = const, содан кейін аламыз

мұндағы δ(τ) – дельта функциясы.

Шексіз және біркелкі спектрі бар ақ шу үшін корреляция функциясы τ-дан басқа барлық мәндер үшін нөлге тең. τ = 0 , онда Р x (0) шексіздікке айналады. Шексіз жұқа кездейсоқ ұштары бар ине тәрізді құрылымы бар шудың бұл түрі кейде дельта-корреляциялық процесс деп аталады. Ақ шудың дисперсиясы шексіз үлкен.

Өзін-өзі тексеру сұрақтары

Кездейсоқ сигналдың негізгі сипаттамаларын атаңыз.

Кездейсоқ сигналдың корреляциялық функциясы мен энергетикалық спектрі математикалық тұрғыдан қалай байланысты?

Қандай кездейсоқ процесс стационарлық деп аталады.

Қандай кездейсоқ процесс эргодикалық деп аталады.

Тар жолақты сигналдың конверті, фазасы және жиілігі қалай анықталады

Қандай сигнал аналитикалық деп аталады.

Төменде кейбір сигналдардың қысқаша сипаттамасы берілген және олардың спектрлік тығыздықтары анықталған. Абсолютті интегралдық шартты қанағаттандыратын сигналдардың спектрлік тығыздықтарын анықтау кезінде тікелей (4.41) формуласын пайдаланамыз.

Бірқатар сигналдардың спектрлік тығыздықтары кестеде келтірілген. 4.2.

1) Тік бұрышты импульс (4.2-кесте, 4-тармақ). Суретте көрсетілген тербеліс. (4.28, а) түрінде жазуға болады

Оның спектрлік тығыздығы

Спектрлік тығыздық графигі (4.28, а-сурет) бірполярлы, тікбұрышты импульстардың периодтық реттілігінің спектрін бұрын орындалған талдау негізінде құрастырылған (4.14). Көріп отырғанымыздай (4.28, б-сурет) аргумент мәндерінде функция нөлге дейін барады = n, Қайда П - 1, 2, 3, ... - кез келген бүтін сан. Бұл жағдайда бұрыштық жиіліктер = -ге тең.

Күріш. 4.28. Тік бұрышты импульс (a) және оның спектрлік тығыздығы (b)

Импульстің спектрлік тығыздығы сан жағынан оның ауданына тең, яғни. Г(0)=А. Бұл позиция импульс үшін жарамды с(т) еркін нысаны. Шынында да, жалпы өрнекте (4.41) = 0 деп есептесек, аламыз

яғни импульстік аймақ с(т).

4.3-кесте.

	Сигнал с(т)			Спектрлік тығыздық

Импульс созылған кезде функцияның нөлдері арасындағы қашықтық азаяды, яғни спектр қысылады. Содан кейін мән артады. Керісінше, импульс қысылғанда оның спектрі кеңейіп, мәні азаяды. 4.29, а, б) суретте тік бұрышты импульстің амплитудалық және фазалық спектрлерінің графиктері көрсетілген.

Күріш. 4.29. Амплитудалық графиктер (а) сур. 4.30. Тікбұрышты пішінді импульс және уақыт бойынша ығысқан фазалық (b) спектрлері

Импульсті біраз уақытқа оңға (кідіріске) жылжытқанда (4.30-сурет), фазалық спектр exp() көбейткіш аргументі арқылы анықталған шамаға өзгереді (4.2-кесте, 9-тармақ). Кешіктірілген импульстің алынған фазалық спектрі күріште көрсетілген. 4.29, b нүктелі сызықпен.

2) Delta функциясы (4.3-кесте, 9-тармақ). Сүзгілеу қасиетін пайдаланып, спектрлік тығыздық функциясын (4.41) формула арқылы табамыз δ -функциялары:

Осылайша, амплитудалық спектр біркелкі және ауданмен анықталады δ -функция [= 1], ал фазалық спектр нөлге тең [= 0].

Анықтамалардың бірі ретінде = 1 функциясының кері Фурье түрлендіруі қолданылады δ -функциялары:

Уақыт ығысуының қасиетін пайдаланып (4.2-кесте, 9-тармақ) функцияның спектрлік тығыздығын анықтаймыз. , қатысты уақыт бойынша кешіктірілді :

Функцияның амплитудалық және фазалық спектрлері кестеде көрсетілген. 4.3, позиция. 10. Функцияның кері Фурье түрлендіруінің түрі бар

3) Гармоникалық тербеліс (4.3-кесте, 12-тармақ). Гармоникалық тербеліс толығымен интегралдық сигнал емес. Соған қарамастан оның спектрлік тығыздығын анықтау үшін (4.41) формуланы келесі түрде жаза отырып, тікелей Фурье түрлендіруі қолданылады:

Содан кейін (4.47) ескере отырып, аламыз

δ(ω) – жиілік осі бойынша жиілік бойынша ығысқан дельта функциялары , сәйкесінше оңға және солға қатысты. (4.48) тармақтан көрініп тұрғандай, амплитудасы шектеулі гармоникалық тербелістің спектрлік тығыздығы дискретті жиіліктерде шексіз үлкен мәнді қабылдайды.

Ұқсас түрлендірулерді орындау арқылы тербелістің спектрлік тығыздығын алуға болады (4.3-кесте, 13-тармақ)

4) Түр функциясы (4.3-кесте, 11-тармақ)

Тұрақты деңгей ретіндегі сигналдың спектрлік тығыздығы А(4.48) формуласымен анықталады, параметр = 0:

5) Бірлік функциясы (немесе бірлік секіру) (4.3-кесте, 8-тармақ). Функция толығымен интегралды емес. Егер экспоненциалды импульстің шегі ретінде ұсынылса , яғни

онда функцияның спектрлік тығыздығын экспоненциалды импульстің спектрлік тығыздығының шегі ретінде анықтауға болады (4.3-кесте, 1-тармақ) кезінде:

Бұл өрнектің оң жағындағы бірінші мүше = 0-ден басқа барлық жиіліктерде нөлге тең, мұнда ол шексіздікке барады, ал функция астындағы аудан тұрақты мәнге тең.

Сондықтан функцияны бірінші мүшенің шегі деп санауға болады. Екінші мүшенің шегі функция болып табылады. Ақыры аламыз

(4.51) өрнекте екі мүшенің болуы функцияның көрсетілуіне сәйкес келеді 1/2+1/2белгісі( т). (4.50) сәйкес тұрақты компонент 1/2 спектрлік тығыздыққа, ал тақ функцияға сәйкес келеді. - спектрлік тығыздықтың ойша мәні.

Тасымалдау функциясы = 0 болған тізбектерге (яғни, тұрақты ток өтпейтін тізбектерге) бір қадамның әсерін талдау кезінде (4.51) формулада спектрлік тығыздықты білдіретін екінші мүшені ғана есепке алуға болады. пішіндегі бір қадамнан тұрады

6) Күрделі көрсеткіштік сигнал (4.3-кесте, 16-тармақ). функциясын ұсынатын болсақ

онда Фурье түрлендіруінің сызықтылығы негізінде және (4.48) және (4.49) өрнектерін ескере отырып, кешенді көрсеткіштік сигналдың спектрлік тығыздығы анықталады.

Демек, күрделі сигналдың асимметриялық спектрі бар, бір дельта функциясымен ұсынылған, жиілік бойынша оған қатысты оңға ығысқан.

7) Ерікті периодтық функция. Ерікті периодтық функцияны (4.31, а-сурет) кешенді Фурье қатары арқылы көрсетейік.

импульстің қайталану жылдамдығы қайда.

Фурье қатарының коэффициенттері

бір импульстің спектрлік тығыздығы арқылы өрнектеледі с(т) жиіліктерде ( n=0, ±1, ±2, ...). (4.55) мәнін (4.54) орнына қойып, (4.53) қатынасты пайдаланып, периодтық функцияның спектрлік тығыздығын анықтаймыз:

(4.56) сәйкес, ерікті периодты функцияның спектрлік тығыздығы жиілік бойынша бір-біріне қатысты ығысқан функциялар тізбегі түрінде болады (4.31, б-сурет). коэффициенттері δ -функциялар бір импульстің спектрлік тығыздығына сәйкес өзгереді с(т) (4.31, б-суреттегі үзік қисық).

8) δ-функциялардың периодтық тізбегі (4.3-кесте, 17-тармақ). Функциялардың периодтық тізбегінің спектрлік тығыздығы

үшін периодтық функцияның спектрлік тығыздығының ерекше жағдайы ретінде (4.56) формуласымен анықталады. = 1:

4.31-сурет. Импульстердің ерікті тізбегі (a) және оның спектрлік тығыздығы (b)

Күріш. 4.32. Радиосигнал (а), радиосигналдың спектрлік тығыздықтары (c) және оның қабығы (b)

және периодтық реттілік формасы бар δ -функциялардың коэффициентіне көбейтіндісі .

9) Тік бұрышты конверті бар радиосигнал. (4.32а-сурет) берілген радиосигналды былай жазуға болады

Позға сәйкес. 11 4.2-кесте, радиосигналдың спектрлік тығыздығы тікбұрышты қабықтың спектрлік тығыздығын жиілік осі бойымен оңға және солға ординатаның екіге бөлінуімен жылжыту арқылы алынады, яғни.

Бұл өрнек (4.42) жиілікті – оңға жылжу және – солға жылжу жиіліктерімен ауыстыру арқылы алынады. Конверт спектрінің түрленуі (4.32, б, в-сурет) көрсетілген.

Периодты емес сигналдардың спектрлерін есептеу мысалдары да келтірілген.