Параметрично циклоидно уравнение и уравнение в декартови координати. Онлайн калкулатор за изчисляване на арки Покривни покрития за сводести покриви
ЛЕМНИКАТИ
Уравнение в полярни координати:
r 2 = a 2 cos2θ
(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)
Ъгъл между AB" или A"B и оста x = 45 o
Площ на един цикъл = a 2 /2
ЦИКЛОИД
Площ на една дъга = 3πa 2
Дължина на дъгата на една арка = 8a
Това е крива, описана от точка P върху окръжност с радиус a, която се търкаля по оста x. 
ХИПОЦИКЛОИДИ С ЧЕТИРИ СПИЦИ
Уравнение в правоъгълни координати:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Уравнения в параметрична форма: 
Площ, оградена от крива = 3πa 2 /8
Дължина на дъгата на цялата крива = 6a
Това е крива, описана от точка P върху окръжност с радиус a/4, която се търкаля вътре в окръжност с радиус a. 
КАРДИОИД
Уравнение: r = a(1 + cosθ)
Площ, оградена от крива = 3πa 2 /2
Дължина на дъгата на кривата = 8a
Това е крива, описана от точка P върху окръжност с радиус a, която се търкаля извън окръжността с радиус a. Тази крива също е частен случай на охлюва на Паскал. 
ВЕРИЖНА ЛИНИЯ
Уравнението:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)
Това е кривата, по която веригата ще виси вертикално от точка А до точка Б. 
РОЗА С ТРИ ЛИСТЕНЧЕТА
Уравнение: r = acos3θ
Уравнението r = acos3θ е подобно на кривата, получена чрез въртене обратно на часовниковата стрелка по крива от 30 o или π/6 радиана.
Като цяло, r = acosnθ или r = asinnθ има n венчелистчета, ако n е нечетно. 
ЧЕТИРИ ЛИСТЕНЧЕТА РОЗА
Уравнение: r = acos2θ
Уравнението r = asin2θ е подобно на кривата, получена чрез въртене обратно на часовниковата стрелка по крива от 45 o или π/4 радиана.
Като цяло r = acosnθ или r = asinnθ има 2n венчелистчета, ако n е четно. 
ЕПИЦИКЛОИД
Параметрични уравнения: 
Това е кривата, описана от точка P върху окръжност с радиус b, докато се търкаля по външната страна на окръжността с радиус a. Кардиоидата е специален случай на епициклоида. 
ОБЩ ХИПОЦИКЛОИД
Параметрични уравнения: 
Това е кривата, описана от точка P върху окръжност с радиус b, докато се търкаля по външната страна на окръжността с радиус a.
Ако b = a/4, кривата е хипоциклоида с четири точки. 
ТРОХОИД
Параметрични уравнения: 
Това е кривата, описана от точка P на разстояние b от центъра на окръжност с радиус a, докато се върти по оста x.
Ако b е съкратена циклоида.
Ако b > a, кривата има формата, показана на фиг. 11-11 и се нарича проходилка.
Ако b = a, кривата е циклоида. 
ТРАКТРИЦЕ
Параметрични уравнения: 
Това е кривата, описана от крайната точка P на опъната струна с дължина PQ, когато другият край Q се премества по оста x. 
VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (ПОНЯКОГА CURL AGNEZI)
Уравнение в правоъгълни координати: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)
Параметрични уравнения: 
B. На фигурата променливата права OA пресича y = 2a и окръжност с радиус a с център (0,a) съответно в A и B. Всяка точка P на "къдрицата" се определя чрез конструиране на линии, успоредни на осите x и y, съответно през B и A, и определяне на пресечната точка на P. 
ЛИСТ НА ДЕКАРТ
Уравнение в правоъгълни координати:
x 3 + y 3 = 3axy
Параметрични уравнения: 
Зона на контура 3a 2 /2
Асимптотично уравнение: x + y + a = 0. 
КРЪГ УЧАСТВАЩ
Параметрични уравнения: 
Това е кривата, описана от крайната точка P на нишката, докато се развива от окръжност с радиус a. 
ЕЛИПСА ИНВОЛВЕНТА
Уравнение в правоъгълни координати:
(ax) 2/3 + (по) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3
Параметрични уравнения: 
Тази крива е обвивката, нормална към елипсата x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. 
КАСИНИ ОВАЛИ
Полярно уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.
Това е крива, описана от точка P, така че произведението на нейното разстояние от две фиксирани точки [разстояние 2a отстрани] е константа b 2 .
Крива като на фигурите по-долу, когато b a съответно.
Ако b = a, кривата е лемниската
ОХЛЮВЪТ НА ПАСКАЛ
Полярно уравнение: r = b + acosθ
Нека OQ е правата, свързваща центъра на O с всяка точка Q от окръжност с диаметър a, минаваща през O. Тогава кривата е фокусът на всички точки P, така че PQ = b.
Кривата, показана на фигурите по-долу, когато b > a или b 
ЦИСОИД НА ДИОКЛЕС
Уравнение в правоъгълни координати: y 2 = x 3 /(2a - x)
Параметрични уравнения: 
Това е крива, описана от точка P, така че разстоянието OP = разстоянието RS. Използва се в задачата удвояване на куба, т.е. намиране на страната на куб, която има два пъти по-голям обем от даден куб 
СПИРАЛАТА НА АРХИМЕД
Полярно уравнение: r = aθ 
*
ВАЖНО!За да използвате калкулатора за изчисляване на поликарбонатен навес, нивото на натоварване за вашия регион трябва да се определи независимо, въз основа на картите за натоварване от сняг и вятър (изброени по-долу) и таблиците, съответстващи на натоварванията в дадения регион.
Използвайки примера по-долу, ще разгледаме избора на товар за Ростов на Дон и най-близките до него градове. При изчисляване на навес е задължително да се вземат предвид натоварванията, за които ще бъде проектирана конструкцията на навеса. Според картата на зоните на снежната покривка в Русия Ростов на Дон принадлежи към II категория на снежно натоварване, а според картата на зоните на ветрово натоварване нашият град принадлежи към III категория.
III Категория на натоварване от вятър отговаря на налягане от 38 kg/m2, съгласно таблицата.
II категория натоварване от сняг отговаря на натиск 120 kg/m2, съгласно таблицата. Когато избирате натоварване за изчисление, трябва да се съсредоточите върху максималната стойност на натоварване, взета от двете таблици.
Следователно, за Ростов на Дон и градове на не повече от 100 км от него, е необходимо да се избере изчислена стойност на нивото на натоварване за навеса от най-малко 120 kg/m 2.
| Карта на зоните на снежната покривка в Русия | Карта на зоните на натоварване от вятър в Русия | |||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
|
Дизайн и предимства на сводестите покриви В частното жилищно строителство днес се използват различни технически решения, от традиционни до много нестандартни. Възможността да се създаде почти всеки дизайн и да се използва цялата гама от съвременни строителни материали, присъстващи на пазара, стана причина за разпространението на нетипични и смели решения.
Всичко по-горе се отнася напълно за сводестите покриви - доста необичайни и оригинални конструкции, които въпреки цялата си привидна сложност могат да бъдат инсталирани без никакви проблеми. Калкулатор за радиус на аркаКак да направите сводест покрив ще обсъдим в тази статия. Дизайн и предимства на сводестите покривиДъговидният покрив е извита конструкция, оформена като дъга. Такива покриви се използват в жилищни сгради, промишлени съоръжения и административни сгради за защита от външни фактори. Доскоро обхватът на използване на сводестите покриви беше ограничен до специализирани сгради - басейни, оранжерии и др.
Сега сводестите конструкции се използват успешно в различни ситуации, което до голяма степен се дължи на редица присъщи им предимства, включително:
Освен това си струва да се отбележи универсалността на сводестите конструкции - ако е необходимо, те могат да се използват във всеки архитектурен стил, от доста архаичен до доста модерен. Видове носещи рамкиНай-важният елемент на всяка покривна конструкция е нейната рамка. Сводестите покриви не са изключение - правилно сглобената опорна система поддържа всички останали конструктивни елементи и гарантира нейната надеждност.
Има следните видове опорни рамки, използвани за подреждане на сводести покриви:
За да бъде надежден сводест покрив, трябва да подходите с цялата отговорност към избора на рамка и нейното подреждане. При проектирането на конструкцията е задължително да се изчисли мощността на опорната система. Покривни покрития за сводести покривиМатериалите, използвани за покриване на сводести покриви, имат няколко специфични изисквания - по-специално материалът трябва да се огъва добре и да запазва формата си.
Най-често сводестите конструкции са оборудвани с помощта на следните покривни покрития:
Възможността за подреждане и параметрите на сводест покрив са тясно свързани с покривното покритие. За да създадете структура с голям завой, поликарбонатът е най-подходящ - той има по-добра гъвкавост и е лесен за инсталиране. Как да инсталирате сводест покрив от поликарбонатКато се има предвид, че клетъчният поликарбонат е най-популярният и най-подходящият материал за сводест покрив, неговият пример си струва да се обмисли неговото инсталиране. Алгоритъмът за монтаж на сводест покрив е както следва:
Поликарбонатните листове трябва да бъдат монтирани по такъв начин, че профилът им да е успореден на завоите на рамката - това е необходимо, за да се предпази материала от натрупване на влага. Заключение Дъговидният покрив е доста оригинален и интересен дизайн, който може успешно да се използва като функционален или декоративен елемент на сграда. Ако работата по подреждането на покрива е извършена правилно, тогава готовата конструкция няма да бъде по-ниска по надеждност от по-традиционните скатни аналози. Изчисляване и чертеж на сенника Навес, изработен от профилна тръба, е много често срещан дизайн, който може да се намери в почти всеки двор. От профилни тръби можете да направите или малък навес над верандата, или голям покрив за паркинг - и във всеки случай конструкцията ще бъде доста здрава, красива и лесна за инсталиране. Тази статия ще обсъди изчисляването на козирка, изработена от профилна тръба и нейната инсталация.
Изчисляване и чертеж на сенникаПравилното изчисление и създаването на добър чертеж предполагат спазване на редица стандарти и изисквания за конструкции от профилни тръби. Малките навеси обаче не трябва да се изчисляват толкова точно - малък навес, изработен от профилна тръба, не тежи много, така че този вид конструкция не представлява никаква опасност. Големите навеси за паркинги или басейни трябва да бъдат изчислени, за да се избегнат проблеми. Чертежът на навес, изработен от гофрирана тръба, винаги започва със скица - проста скица, която показва вида на конструкцията, нейните основни характеристики и приблизителни размери. За да определите точно размерите на бъдещия навес, струва си да направите измервания в района, където ще бъде разположена конструкцията. Ако навесът е прикрепен към къщата, също е необходимо да се измери стената, за да се знаят точно размерите на профилната тръба за навеса.
Можете да разгледате методологията за изчисление, като използвате примера на конструкция, разположена на площадка 9x7 m, разположена пред къща с размери 9x6 m:
Чертежите на профилни тръбни ферми за козирка трябва да се показват отделно с всички подробности. Също така си струва да запомните, че минималният наклон на сенника е 6 градуса, а оптималната стойност е 8 градуса. Твърде малък наклон няма да позволи на снега да се свлече сам. След приключване на чертежите се избира подходящият материал и неговото количество. Изчислението трябва да се извърши точно и преди закупуването си струва да добавите около 5% от толеранса - по време на работа много често възникват малки загуби и дефектите не са необичайни. Създаване на козирка от профилна тръбаДизайнът на сенника не е особено сложен. Ако вече имате чертеж на сенника и материалите, необходими за неговото сглобяване, тогава можете да продължите директно към подреждането на конструкцията. Производството на навес от профилна тръба се извършва съгласно следния алгоритъм:
Преди монтажа на покрива, навесът трябва да бъде боядисан или покрит с антикорозионна смес, за да се предотврати евентуално разрушаване на материала - по време на монтажа основното покритие се поврежда и в резултат на това металните части губят своята устойчивост на корозия. Освен това трябва да разберете, че външната обработка не предпазва конструкцията от разрушаване отвътре, така че краищата на тръбите трябва да бъдат затворени с тапи. Видове закрепвания за елементи на сенника и техните размериЗа сглобяване на елементи на навес от профилни тръби могат да се използват различни методи:
Избор на профилни тръби за производство на фермиПри избора на тръби за подреждане на голям навес от профилна тръба е необходимо да се проучат следните стандарти:
Тези стандарти и специфични изисквания за дизайна позволяват точното изчисляване на неговите параметри, по-специално ъгъла на наклона на покрива, вида на профилните тръби и ферми. Прочетете също: „Как да направите правилно козирка от профилна тръба - инструкции.“
Можете да разгледате подреждането на конструкцията, като използвате примера за монтиран на стената навес с размери 4,7x9 m, поддържан от външни стълбове отпред и прикрепен към сградата отзад. Когато избирате ъгъл на наклон, най-добре е да спрете на 8 градуса. Чрез изучаване на стандартите можете да разберете нивото на натоварване от сняг в региона. В този пример скатен покрив от профилна тръба ще бъде подложен на натоварване от 84 kg/m2. Един 2,2-метров стелаж, изработен от профилна тръба, тежи около 150 кг, а натоварването върху него е около 1,1 тона. Като се има предвид степента на натоварване, ще трябва да изберете издръжливи тръби - стандартна кръгла профилна тръба с 3 mm стени и диаметър 43 mm няма да работи тук. Минималните размери на кръгла тръба трябва да бъдат 50 mm (диаметър) и 4 mm (дебелина на стената). Ако използваният материал е тръба с диаметър 45 mm и дебелина на стената 4 mm.
При избора на ферми си струва да изберете дизайн от два успоредни контура с диагонална решетка. За ферма с височина 40 см можете да използвате квадратна профилна тръба с диаметър 35 мм и дебелина на стената 4 мм (прочетете също: „Как да направите ферми от профилна тръба - видове и методи за монтаж“) . Тръбите с диаметър 25 mm и дебелина на стената 3 mm са подходящи за направата на диагонални решетки. Заключение Сглобяването на навес от гофрирана тръба със собствените си ръце не е толкова трудно. За успешна работа е необходимо компетентно да се проектира бъдещата структура и да се подходи отговорно към всеки етап от проекта - и тогава резултатът ще бъде надеждна структура, която може да издържи много години. Изчисляване на арки с двойни панти. Изчисляване на арки със затяганеосновната система, ако се разглежда при комбинираното действие на дадено натоварване и тягата на арка с три панти от това натоварване. По-нататък ще използваме първата основна система. За арка с двойни панти се съставя едно канонично уравнение на метода на силата, от което се намира силата на натиск или затягане: Х1 = Н = – Δ1р/δ11. Тъй като оста на дъгата е очертана по кривата y = f (x), вече не е възможно да се използва правило A за изчисляване на преместванията на основната система. Н. Верещагин и е необходимо да се приложи интегралната формула на Максуел-Мор. На практика се приема, че инерционните моменти на напречните сечения на арките са постоянни или променливи. Най-удобен за интегриране е следният закон за промяна на инерционните моменти на напречните сечения на арката: Ix = Iс/cos휑, където IC е инерционният момент в средната част на дъгата; 휑 е ъгълът на наклон на допирателната към оста на дъгата по отношение на координатната ос x. За арки с двойни панти по структурни и естетически причини е по-подходящ друг закон: Ix = Iс×cos휑. В този случай височините на напречните сечения постепенно се увеличават от опорите до средата на арката. При изчисляване на дъги се приемат следните правила за признаци на вътрешни сили: моментът на огъване, причиняващ напрежение във вътрешните влакна, се счита за положителен; нормалната сила на опън се приема за положителна; силата на срязване се счита за положителна, ако върти останалата част по посока на часовниковата стрелка. При изчисляване на арка с двойни панти, разлагането на товара на симетрично и наклонено симетрично не въвежда значително опростяване. Имайте предвид, че при косо симетрично натоварване тягата X1 е равна на нула. Ако арката има вратовръзка, тогава основната система може да се получи чрез отрязване на вратовръзката (фиг. 8). |
5. Параметрично циклоидно уравнение и уравнение в декартови координати
Да приемем, че ни е дадена циклоида, образувана от окръжност с радиус a с център в точка A.
Ако изберем като параметър, определящ позицията на точката, ъгъла t=∟NDM, през който е успял да се завърти радиусът, който е имал вертикално положение AO в началото на търкалянето, тогава координатите x и y на точка M ще да се изрази, както следва:
x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,
y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t
Така че параметричните уравнения на циклоидата имат формата:
Когато t се промени от -∞ до +∞, ще се получи крива, състояща се от безкраен брой разклонения като тези, показани на тази фигура.
Също така, в допълнение към параметричното уравнение на циклоида, има и неговото уравнение в декартови координати:
Където r е радиусът на окръжността, образуваща циклоидата.
6. Задачи за намиране на части от циклоида и фигури, образувани от циклоида
Задача No1. Намерете площта на фигура, ограничена от една дъга на циклоида, чието уравнение е дадено параметрично
и оста Ox.
Решение. За да решим този проблем, ще използваме фактите, които знаем от теорията на интегралите, а именно:
Площ на извит сектор.
Да разгледаме някаква функция r = r(ϕ), дефинирана върху [α, β].
ϕ 0 ∈ [α, β] съответства на r 0 = r(ϕ 0) и следователно точката M 0 (ϕ 0 , r 0), където ϕ 0,
r 0 - полярни координати на точката. Ако ϕ се промени, „преминавайки“ през целия [α, β], тогава променливата точка M ще опише някаква крива AB, дадена
уравнение r = r(ϕ).
Определение 7.4. Криволинеен сектор е фигура, ограничена от два лъча ϕ = α, ϕ = β и крива AB, дефинирана в полярна
координати по уравнението r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Вярно е следното
Теорема. Ако функцията r(ϕ) > 0 и е непрекъсната върху [α, β], тогава площта
криволинейният сектор се изчислява по формулата:
Тази теорема беше доказана по-рано в темата за определен интеграл.
Въз основа на горната теорема, нашият проблем за намиране на площта на фигура, ограничена от една дъга на циклоида, чието уравнение е дадено от параметричните параметри x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), и оста Ox, се редуцира до следното решение.
Решение. От уравнението на кривата dx = a(1−cos t) dt. Първата дъга на циклоидата съответства на промяна на параметъра t от 0 до 2π. следователно
Задача No2. Намерете дължината на една дъга от циклоидата
Следната теорема и следствието от нея също бяха изучавани в интегралното смятане.
Теорема. Ако кривата AB е дадена от уравнението y = f(x), където f(x) и f ’ (x) са непрекъснати върху , тогава AB е поправима и
Последица. Нека AB е дадено параметрично
L AB = 
(1)
Нека функциите x(t), y(t) са непрекъснато диференцируеми върху [α, β]. Тогава
формула (1) може да бъде записана по следния начин
Нека направим промяна на променливите в този интеграл x = x(t), тогава y’(x)= ;
dx= x’(t)dt и следователно:
Сега да се върнем към решаването на нашия проблем.
Решение. Имаме и следователно
Задача No3. Трябва да намерим повърхността S, образувана от въртенето на една дъга на циклоидата
L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – цена), 0≤ t ≤ 2π)
В интегралното смятане има следната формула за намиране на площта на повърхността на въртящо се тяло около оста x на крива, дефинирана параметрично на сегмент: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)
Прилагайки тази формула към нашето циклоидно уравнение, получаваме:
Задача No4. Намерете обема на тялото, получено при завъртане на арката на циклоида
По оста Окс.
В интегралното смятане, когато се изучават обеми, има следната забележка:
Ако кривата, ограничаваща криволинейния трапец, е дадена с параметрични уравнения и функциите в тези уравнения отговарят на условията на теоремата за промяната на променливата в определен интеграл, тогава обемът на тялото на въртене на трапеца около оста Ox ще се изчислява по формулата
Нека използваме тази формула, за да намерим обема, от който се нуждаем.
Проблемът е решен.
Заключение
И така, в хода на тази работа бяха изяснени основните свойства на циклоида. Научихме също как да построим циклоида и открихме геометричното значение на циклоида. Както се оказа, циклоидът има огромно практическо приложение не само в математиката, но и в технологичните изчисления и физиката. Но циклоидът има и други достойнства. Използван е от учени от 17-ти век при разработването на техники за изучаване на криви линии - онези техники, които в крайна сметка доведоха до изобретяването на диференциално и интегрално смятане. Това беше и един от „пробните камъни“, върху които Нютон, Лайбниц и техните ранни изследователи изпробваха силата на мощни нови математически методи. И накрая, проблемът с брахистохрона доведе до изобретяването на вариационното смятане, което е толкова необходимо за днешните физици. Така циклоидът се оказва неразривно свързан с един от най-интересните периоди в историята на математиката.
Литература
1. Берман Г.Н. Циклоид. – М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрон, или друга тайна на циклоида // Quantum. – 1975. - № 5
3. Веров С.Г. Тайните на циклоидата // Quantum. – 1975. - № 8.
4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С., Радченко Т.Н. Приложения на определен интеграл. Методически указания и индивидуални задания за студенти от 1 курс на Физическия факултет. - Ростов n/a: UPL RSU, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездната възраст на циклоида // Quantum. – 1985. - № 6.
6. Фихтенголц Г.М. Курс по диференциално и интегрално смятане. Т.1. – М., 1969
Тази линия се нарича "плик". Всяка крива линия е обвивка на своите допирателни.
Материята и движението, както и методът, който те представляват, позволяват на всеки да реализира своя потенциал в познанието на истината. Разработването на методология за развитие на диалектико-материалистичната форма на мислене и овладяването на подобен метод на познание е втората стъпка към решаването на проблема за развитието и реализацията на човешките способности. Фрагмент XX Възможности...
В тази ситуация хората могат да развият неврастения - невроза, основата на клиничната картина на която е астенично състояние. Както в случай на неврастения, така и в случай на декомпенсация на неврастенична психопатия, същността на умствената (психологическа) защита се отразява в оттеглянето от затруднения в раздразнителна слабост с вегетативни дисфункции: или човекът несъзнателно се „пребори“ с атаката повече. ..
Различни видове дейности; развитие на пространствено въображение и пространствени понятия, образно, пространствено, логическо, абстрактно мислене на учениците; развиване на способността за прилагане на геометрични и графични знания и умения за решаване на различни приложни задачи; запознаване със съдържанието и последователността на етапите на проектните дейности в областта на техническите и...
дъги. Спиралите също са еволвенти на затворени криви, например еволвента на окръжност. Имената на някои спирали се дават от сходството на техните полярни уравнения с уравненията на криви в декартови координати, например: · параболична спирала (a - r)2 = bj, · хиперболична спирала: r = a/j. · Прът: r2 = a/j · si-ci-спирала, параметричните уравнения на която имат формата: , )
Стенни сплит системи
Как да изберем климатик според нивото на шума
Правилно отглеждане на маруля на перваза на прозореца от семена