Моменты сопротивления. Моменты инерции сечения балки Расчет момента инерции прямоугольного сечения

При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и круга.

Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а ) кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис.5, б ), кольцевое сечение шейки вала или еще более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги и т.д. Можно показать, что момент инерции такой сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые мы ее разбиваем.

Рис.5. Сечения типа тавр — а) и кольцо б)

Известно, что момент инерции любой фигуры относительно оси у — у равен:

где z — расстояние элементарных площадок до оси у —у .

Разобьем взятую площадь на четыре части: , , и . Теперь при вычислении момента инерции можно сгруппировать слагаемые в подинтегральной функции так, чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить. Величина интеграла от этого не изменится.

Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из которых будет охватывать одну из площадей, , и :

Каждый из этих интегралов представляет собой момент инерции соответствующей части площади относительно оси у — у ; поэтому

где — момент инерции относительно оси у — у площади , — то же для площади и т. д.

Полученный результат можно формулировать так: момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей. Таким образом, нам необходимо уметь вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой оси, лежащей в ее плоскости.

Решение этой задачи и составляет содержание настоящей и последующих двух собеседований.

Моменты инерции относительно параллельных осей.

Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.

Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями . Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу , момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры осьпараллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

Из рис.1 имеем:

Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу . Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F . Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).

Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции . Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и , через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

Аналогично:

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz , центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у .

Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О . Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О . Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О .

Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции.

Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси . Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.

Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

(1)

Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей , составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz , а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J ) от начального положения оси у :

Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом , представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z ; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен.

Введем декартову прямоугольную систему координат O xy . Рассмотрим в плоскости координат произвольное сечение (замкнутую область) с площадью A (рис. 1).

Статическими моментами

Точка C с координатами (x C , y C)

называется центром тяжести сечения .

Если оси координат проходят через центр тяжести сечения, то статические моменты сечения равны нулю:

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей x и y называются интегралы вида:

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат называется интеграл вида:

Центробежным моментом инерции сечения называется интеграл вида:

Главными осями инерции сечения называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых I xy =0. Если одна из взаимно перпендикулярных осей является осью симметрии сечения, то I xy =0 и, следовательно, эти оси - главные. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции сечения

2.Теорема Штейнера-Гюйгенса о параллельном переносе осей

Теорема Штейнера-Гюйгенса (теорема Штейнера).
Осевой момент инерции сечения I относительно произвольной неподвижной оси x равен сумме осевого момента инерции этого сечения I с относительной параллельной ей оси x * , проходящей через центр масс сечения, и произведения площади сечения A на квадрат расстояния d между двумя осями.

Если известны моменты инерции I x и I y относительно осей x и y, то относительно осей ν и u, повернутых на угол α, моменты инерции осевые и центробежный вычисляют по формулам:

Из приведенных формул видно, что

Т.е. сумма осевых моментов инерции при повороте взаимно перпендикулярных осей не меняется, т.е.оси u и v, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, а осевые моменты инерции І u и I v имеют экстремальные значения max или min, называют главными осями сечения. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями сечения . Для симметричных сечений оси их симметрии всегда являются главными центральными осями. Положение главных осей сечения относительно других осей определяют, используя соотношение:

где α 0 – угол, на который надо развернуть оси x и y, чтобы они стали главными (положительный угол принято откладывать против хода часовой стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции :

знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус – к минимальному.

Осевым моментом инерции называется, взятая по всему сечению сумма, произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения. Величина осевого момента инерции служит характеристикой способности балки сопротивляться деформации изгиба.

J – Осевой момент инерции

J x =

J y =

Осевым моментом сопротивления называется отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон сечения.

W – Осевой момент сопротивления.

W x = , W у =

Полярным моментом инерции называется, взятая по всему сечению, сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до центра тяжести сечения.т.е. до пересечения осей координат.

Полярный момент инерции характеризует способность детали сопротивляться деформации кручения.

Полярный момент инерции.

= .

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных точек сечения от центра тяжести рассматриваемого сечения.

Полярный момент сопротивления

1. Прямоугольное сечение.

J y = (мм 4), J x = (мм 4)

W x = (мм 3), W y = (мм 3)

2. Круглое сечение

J x = J y = (мм 4), = (мм 4)

W y = W x = (мм 3), = (мм 3)

3. Кольцевое сечение

J x = J y = - = (мм 4) , α=d/D

W y = W x = (мм 3)

= (мм 4)

= (мм 3)

4. Коробчатое сечение.

J x = = (мм 4)

J y = = (мм 4)

W x = (мм 3)

W y = (мм 3)

Расчеты деталей при равномерном распределении напряжений.

К этому типу деталей относятся тяги с проушинами и пальцами, а так же гидро- и пневмо- цилиндры и другие сосуды, работающие под давлением, биметаллические элементы (термореле).

Расчет тяги.

1) К тяге приложено растягивающее усилие F.

Стержень тяге воспринимает продольную нагрузку, под действием которой растягивается. При этом величина абсолютного удлинения определяется по развернутому закону Гука:

σ р =Eε. , σ р =F/A, , σ р =F/A<=[ σ р ]= σ T / n -

условие прочности тяги при растяжении, (A=H*B, A=).

Проушины в результате взаимодействия с пальцем сминаются по площади контакта.

Условие прочности при смятии:

σ см =F/A<=[σ см ]= 2σ T / n , A=d*b.

Пальцы рассчитываются на срез от взаимодействия с проушинами:

τ ср =F/A<=[τ ср ]= 0,5σ T / n; A=*i, i - количество платежей среза (i=2).

2) К тяге приложено сжимающее усилие F2.

Стержень тяги работает на сжатие. Величина абсолютного укорочения определяется так же по закону Гука:

σ с =F/A<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n. – Для коротких стержней тяги.

Длинный стержень – когда длина превышает в 3 раза один из размеров поперечного сечения. Здесь существует вероятность мгновенного изгиба стержня тяги.

σ с =<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n, φ – коэффициент продольного изгиба, величина табличная – зависит от материала, гибкости стержня и характера закрепления концов стержня.

Проушину и пальцы рассчитывают аналогично предыдущему расчету.

Расчет тонкостенных сосудов.

К тонкостенным сосудам относятся гидро- и пневмо- цилиндры, ресиверы, трубопроводы и т.д.

В зависимости от формы сосуды бывают:

цилиндрические (гидро- и пневмо- цилиндры, некоторые типы ресиверов, трубопроводы);

шаровые (некоторые типы ресиверов, днища и крышки цилиндрических сосудов, мембраны и т.д.);

торовые (криволинейные участки трубопроводов, чувствительные элементы стрелочных манометров).

Во всех сосудах под действием внутренних сил жидкости или газа в стенках возникают напряжения в продольном и поперечном сечении.

Цилиндрические сосуды.

Тонкая цилиндрическая оболочка нагружена внутренним давлением Р. - Рассчитываются как поперечное сечение цилиндра.

Торовые сосуды.

Они рассчитываются как искривленные цилиндрические.

15.10.04 Расчет напряжений, возникающих при изменении температуры.

При колебаниях температуры деталь, закрепленная между жесткими опорами, испытывает деформацию сжатия или растяжения. При повышении (понижении) температуры на Dt стержень должен удлиниться (укоротиться) на величину абсолютного удлинения (укорочения):

D l = a t * l * D t , где a t – температурный коэффициент линейного расширения (для стали 12*10 -6 °С -1), тогда величина абсолютного удлинения (укорочения): Δε t = Δ l t / l = α t * D t , но т.к. стержень закреплен жестко, то он не может удлиниться (укоротиться), поэтому в его материале возникнут напряжения сжатия (растяжения), значения которых определяются по закону Гука:

σ с,р =Е*ε t =E*α t *Δt.

Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник:
; круг:W x =W y =
,

трубчатое сечение (кольцо): W x =W y =
, где = d Н /d B .

Полярный момент сопротивления - отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:
.

Для круга W р =
.

Кручение

Т

акой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты - М к. Знак крутящего момента М к удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то М к >0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания - закон плоских сечений . Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: =G, G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания
,GJ p - жесткость сечения при кручении .
-относительный угол закручивания . Потенциальная энергия при кручении:
. Условие прочности:
, [] =, для пластичного материала за  пред принимается предел текучести при сдвиге  т, для хрупкого материала –  в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении:  max [] – допустимый угол закручивания.

Кручение бруса прямоугольного сечения

При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются –депланация поперечного сечения.

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

;
,J k и W k - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. W k = hb 2 ,

J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения  max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: =  max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.

Изгиб

П
лоский (прямой) изгиб - когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

С
лой, в котором отсутствуют удлинения, называетсянейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе :
, откуда (формула Навье):
,J x - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ x - жесткость при изгибе, - кривизна нейтрального слоя.

М
аксимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:
,J x /y max =W x -момент сопротивления сечения при изгибе,
. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба . При поперечном изгибе, кроме изгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не только нормальные , но и касательные  напряжения. Касательные напряжения определяются формулой Журавского:
, гдеS x (y) - статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; J x - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) - ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения.

Д
ля прямоугольного сечения:
,F=bh, для круглого сечения:
,F=R 2 , для сечения любой формы
,

k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).

M

max и Q max определяются из эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого балка разрезается на две части и рассматривается одна из них. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М, Q и q :

q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

Главные напряжения при поперечном изгибе :

.

Расчет на прочность при изгибе : два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки: а) по нормальным напряжениям
, (точки наиболее удаленные от С); б) по касательным напряжениям
, (точки на нейтр.оси). Из а) определяют размеры балки:
, которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3); - применяются редко.

теория Мора: ,
(используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [ р ][ с ] – на сжатие).

Для простых сечений статические моменты и моменты инерции находятся по формулам (2.1)-(2.4) с помощью интегрирования. Рассмотрим, например, вычисление осевого момента инерции J x для произвольного сечения, изображенного на рис. 2.9. Учитывая, что в прямоугольной системе координат элемент площади dF=dxdy, получим

гдех^(у) и х в (у) - координаты точек контура при некотором фиксированном значении у.

Выполняя интегрирование по х, найдем

Величина Ь(у) представляет собой ширину сечения на уровне у (см. рис. 2.9), а произведение b(y)dy = dF - площадь заштрихованной элементарной полосы, параллельной оси Ох. С учетом этого формула для / преобразуется к виду

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции J y .

Прямоугольник. Найдем моменты инерции относительно главных центральных осей, которые в соответствии со свойством 2 (§ 2.5) совпадают с осями симметрии прямоугольника (рис. 2.10). Так как ширина сечения постоянна, то по формуле (2.14) получим

Момент инерции относительно оси О х х х определим по первой из формул (2.6):

Моменты инерции / и J находятся аналогично. Запишем формулы для осевых моментов инерции прямоугольника:

Произвольный треугольник. Вначале найдем момент инерции относительно оси 0 { x v проходящей через основание треугольника (рис. 2.11). Ширина сечения Ь(у {) на уровне у { находится из подобия треугольников:

Подставляя эту величину в формулу (2.14) и производя интегрирование, получим

Моменты относительно осей Ох и 0 2 х 2 , параллельных основанию и проходящих соответственно через центр тяжести и через вершину треугольника, находим с помощью формул (2.6):

В этих формулах b { =h/ 3 и b 2 = -2h /3 - соответственно ординаты центра тяжести треугольника О в системе координат О х х 1 у 1 и 0 2 х 2 у т

1 ° 2 р Г* аУ 1

ТЛ П *2

г >4 ™ _ °21

Д__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Лт^

U_ У-_XI - UZ__у

О, | ь *, 0 Ь/ Ъ 2%*1

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Запишем формулы для осевых моментов инерции треугольника относительно осей, параллельных основанию:

Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Для прямоугольного треугольника (рис. 2.12) определим центробежный момент инерции J относительно центральных осей Ох и Оу, параллельных катетам. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (2.3). Однако решение задачи можно упростить, если применить следующий прием. С помощью медианы 0 { 0 3 разделим заданный треугольник на два равнобедренных треугольника 0 { 0 3 А и Ofi 3 B. Оси 0 3 х 3 и 0 3 у 3 являются осями симметрии для этих треугольников и на основании свойства 2 (§ 2.5) будут главными осями каждого из них по отдельности, а следовательно, и всего треугольника О х АВ. Поэтому центробежный момент инерции J =0. Центробеж-

ный момент треугольника относительно осей Ох и Оу найдем с помощью последней из формул (2.6):

Запишем формулы для моментов инерции прямоугольного треугольника:

Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси симметрии Оу (рис. 2.13) определим, используя четвертую из формул (2.17), как удвоенный момент инерции прямоугольного треугольника с основанием h и высотой Ь/ 2:

Таким образом, моменты инерции равнобедренного треугольника относительно главных центральных осей Ох и Оу определяются по формулам

Круг. Вначале удобно вычислить полярный момент инерции круга по формуле (2.4), воспользовавшись полярной системой координат (рис. 2.14).

Учитывая, что dF-rdrdQ, найдем

Поскольку полярный момент согласно (2.4) равен сумме двух осевых моментов, получим

Кольцо. Моменты инерции кольца (рис. 2.15) находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами Я 2 и R { :

Полукруг (рис. 2.16). Выделим в плоскости полукруга элемент площади dF с полярными координатами г, 0 и декартовыми координатами x v y v для которых в соответствии с рис. 2.16 имеем:

По формулам (2.1) и (2.5) найдем соответственно статический момент полукруга относительно оси 0 { х { и ординату у 0 центра тяжести О в системе координат 0 { х { Уу

Относительно осей 0,х, и 0 { y v которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине моментов инерции круга:

Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы (2.6):

Эллипс. Для вычисления осевого момента инерции эллипса с полуосями а и b относительно оси Ох (рис. 2.17) поступим следующим образом. Вокруг эллипса опишем окружность и выделим две элементарные полосы шириной dx и высотой 2у к для круга и 2у э для эллипса. Моменты инерции этих двух полос можно определить по первой из формул (2.15) для прямоугольника:

Интегрируя эти выражения в пределах от -а до а, получим

Рис. 2.16

Рис. 2.17

Из уравнений окружности и эллипса имеем

С учетом этого

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции относительно оси Оу. В результате для эллипса будем иметь следующие формулы для осевых моментов:

Прокатные стержни. Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение).