Contoh ruang metrik. Ruang metrik. Ruang fungsional dasar

Ruang fungsional dasar

Kuliah 5

Salah satu operasi terpenting dalam analisis adalah melewati batas. Operasi ini didasarkan pada kenyataan bahwa jarak dari satu titik ke titik lainnya ditentukan pada garis bilangan. Banyak fakta dasar analisis yang tidak berkaitan dengan sifat aljabar bilangan real (yaitu fakta bahwa bilangan tersebut membentuk suatu bidang), tetapi hanya mengandalkan konsep jarak. Menggeneralisasi gagasan bilangan real sebagai himpunan yang memperkenalkan jarak antar elemen, kita sampai pada konsep ruang metrik - salah satu konsep terpenting matematika modern.

Definisi.

Ruang metrik adalah sepasang (X, ρ), terdiri dari beberapa himpunan (spasi) X elemen (titik) dan jarak, yaitu fungsi nyata bernilai tunggal, non-negatif ρ(x,y), ditentukan untuk apa pun X Dan kamu dari X dan tunduk pada aksioma berikut;

1. ρ(x,y) ≥ 0 untuk semua x, kamu,

2. ρ(x,y) = 0 saat itu dan hanya kapan x=kamu,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksioma simetri),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(aksioma segitiga).

Ruang metrik itu sendiri, yaitu pasangan (X, ρ), biasanya kami tunjukkan dengan satu huruf R = (X, ρ).

Dalam kasus di mana kesalahpahaman dikecualikan, kita akan sering menunjukkan ruang metrik dengan simbol yang sama dengan “persediaan poin” itu sendiri. X.

Mari kita berikan contoh ruang metrik. Beberapa ruang ini memainkan peran yang sangat penting dalam analisis.

1. Pengaturan untuk elemen himpunan sembarang

kita tentu saja memperoleh ruang metrik. Ini bisa disebut ruang titik-titik terisolasi.

2. Himpunan bilangan real dengan jarak

membentuk ruang metrik R 1.

3. Himpunan kelompok terurut dari N bilangan real x = (x 1, …, xn) dengan jarak

ditelepon N-dimensi ruang Euclidean aritmatika Rn. Validitas aksioma 1) - 3) untuk Rn jelas. Mari kita tunjukkan itu di Rn aksioma segitiga juga terpenuhi.

Membiarkan x = (x 1 ,…, xn), y = (y 1 ,…, yn),

z = (z 1 ,…, zn);

maka aksioma segitiga ditulis sebagai

Dengan asumsi , kita memperoleh , dan pertidaksamaan (2) berbentuk

Namun ketimpangan ini langsung muncul dari ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky yang terkenal

Memang, karena ketimpangan yang kita alami

Jadi, pertidaksamaan (3), dan karenanya (2), terbukti.

4. Pertimbangkan himpunan grup terurut yang sama dari N bilangan real x = (x 1 ,…, xn) tapi kami mendefinisikan jarak di dalamnya dengan rumus

Validitas aksioma di sini jelas.

Tugas. Buktikan aksioma 4.

Mari kita nyatakan ruang metrik ini dengan simbol .

5. Ambil kembali himpunan yang sama seperti pada contoh 3 dan 4, dan tentukan jarak antar elemennya menggunakan rumus

Validitas aksioma 1) - 3) jelas.

Tugas. Buktikan aksioma 4.

Ruang ini, yang kami nyatakan dengan , tidak kalah nyamannya dalam banyak pertanyaan analisis dibandingkan ruang Euclidean Rn.

Tiga contoh terakhir menunjukkan bahwa terkadang memang penting untuk memiliki notasi yang berbeda untuk ruang metrik itu sendiri dan untuk himpunan titik-titiknya, karena kumpulan titik yang sama dapat diukur dengan cara yang berbeda.

6. Banyak C semua fungsi nyata kontinu yang didefinisikan pada segmen tersebut , dengan jarak

juga membentuk ruang metrik. Aksioma 1) - 3) diverifikasi secara langsung.

Tugas. Buktikan aksioma 4.

Ruang ini memainkan peran yang sangat penting dalam analisis. Kami akan melambangkannya dengan simbol yang sama C, yang merupakan himpunan titik dari ruang itu sendiri. Alih-alih C kami akan menulis secara sederhana DENGAN.

7. Mari kita nyatakan dengan aku 2 ruang metrik yang titik-titiknya merupakan barisan yang mungkin x=(x 1,...,xn,...) bilangan real memenuhi kondisi,

dan jaraknya ditentukan oleh rumus

Dari pertidaksamaan dasar maka fungsinya ρ(x,y) masuk akal bagi semua orang menyatu jika

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa fungsi (8) memenuhi aksioma ruang metrik. Aksioma 1) - 3) sudah jelas, dan aksioma segitiga di sini berbentuk

Karena hal di atas, masing-masing dari tiga deret yang ditulis di sini konvergen. Sebaliknya, setiap saat N ketimpangan memang benar adanya

(lihat contoh 4). Melewati sini sampai batas di n®∞ kita memperoleh (8), yaitu. pertidaksamaan segitiga di aku 2.

8. Perhatikan, seperti pada Contoh 6, himpunan semua fungsi kontinu pada interval tersebut , tapi mari kita definisikan jaraknya secara berbeda, yaitu, mari kita taruh

Kami akan menunjukkan ruang metrik tersebut dari 2 dan menyebutnya ruang fungsi kontinu dengan metrik kuadrat. Di sini semua aksioma ruang metrik terlihat jelas, dan aksioma segitiga langsung mengikuti bentuk integral pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky

9. Perhatikan himpunan semua barisan berbatas x = (x 1 , ..., x n , ...) bilangan real.

kami mendapatkan ruang metrik, yang kami nyatakan M. Validitas aksioma ini jelas.

10. Himpunan kelompok terurut dari N bilangan real dengan jarak

Di mana R- nomor tetap apa pun ≥ 1 , adalah ruang metrik, yang dilambangkan dengan .

Mari kita periksa aksioma 4.

Membiarkan x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,yn), z=(z 1 ,…,z n).

Misalkan pertidaksamaan

keadilan yang harus kita tegakkan akan terwujud

Inilah yang disebut ketimpangan Minkowski. Pada hal= 1 Pertidaksamaan Minkowski jelas (modulus jumlahnya tidak melebihi jumlah moduli), jadi kita asumsikan bahwa hal> 1.

Bukti pertidaksamaan (13) dengan hal>1 berdasarkan apa yang disebut ketimpangan Hölder

dimana angkanya hal> 1 Dan q > 1 terikat oleh syarat

Perhatikan bahwa pertidaksamaan (14) adalah homogen. Artinya jika terpenuhi untuk dua vektor apa pun a = (a 1 ,…, sebuah n), Dan b = (b 1 ,…, bn), maka itu juga berlaku untuk vektor ya Dan μb, Di mana λ Dan μ - angka sewenang-wenang. Oleh karena itu, cukup membuktikan pertidaksamaan (14) untuk kasus kapan

Jadi, biarkan kondisi (16) terpenuhi; mari kita buktikan itu

Pertimbangkan di pesawat (ξ,η) kurva yang ditentukan oleh persamaan η = ξ hal -1 (ξ>0), atau, yang sama, dengan persamaan ξ hal -1 (η >0)(Gbr. 1). Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa setiap pilihan mempunyai nilai positif A Dan B akan S 1 + S 2 > ab. Mari kita hitung luasnya S 1 Dan S 2:

Jadi, pertidaksamaan numerik tersebut benar

Mengganti di sini A pada |aku | Dan B pada |bk | dan menjumlahkannya k dari 1 sampai N, kita peroleh, dengan mempertimbangkan (15) dan (16),

Ketimpangan (17), dan akibatnya, ketimpangan umum (14) telah terbukti.

Pada hal = 2 Pertidaksamaan Hölder (14) berubah menjadi pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky (4).

Sekarang mari kita beralih ke bukti ketidaksetaraan Minkowski. Untuk melakukan ini, pertimbangkan identitasnya

Mengganti identitas tertulis A pada sebuah k Dan B pada bk dan menjumlahkannya k dari 1 sebelum N kita mendapatkan

Sekarang terapkan pertidaksamaan Hölder pada masing-masing dua jumlah di sebelah kanan dan pertimbangkan hal tersebut (hal - 1)q = hal, kita mendapatkan x(t) , kita mendapatkan

Dengan demikian terbukti rumus (18) yang menentukan jarak masuk aku hal benar-benar masuk akal bagi siapa pun. Pada saat yang sama, pertidaksamaan (19) menunjukkan bahwa pada aku hal aksioma segitiga terpenuhi. Aksioma lainnya sudah jelas.

Teknik berikut memberikan contoh lebih lanjut dalam jumlah tidak terbatas. Membiarkan R = (X, ρ)- ruang metrik dan M- subset apa pun di dalamnya X. Kemudian M dengan fungsi yang sama ρ(x,y), yang sekarang kami anggap sudah ditentukan X Dan pada dari M, juga merupakan ruang metrik; itu disebut subruang ruang R.

Ruang metrik disebut pasangan (X, kanan), terdiri dari beberapa set(spasi) elemen X(titik) dan jarak yaitu, fungsi nyata non-negatif r(x,y), didefinisikan untuk apa pun X Dan pada dari X dan tunduk pada tiga aksioma berikut:

1) r(x, y)= 0 jika dan hanya jika X = kamu,

2) r(x, y) = r(y, x)(aksioma simetri),

3) r(x, z)≤ r(x, y)+ r (kamu, kanan)(aksioma segitiga).

Ruang metrik itu sendiri, yaitu pasangan (X, ρ), Kami akan menunjukkan, sebagai suatu peraturan, dengan satu huruf:

R = (X, ρ).

Dalam kasus di mana kesalahpahaman dikecualikan, kita akan sering menunjukkan ruang metrik dengan simbol yang sama dengan “persediaan poin” itu sendiri. X.

Mari kita berikan contoh ruang metrik. Beberapa ruang ini memainkan peran yang sangat penting dalam analisis.

1. Pengaturan untuk elemen himpunan sembarang

kita tentu saja memperoleh ruang metrik. Ini bisa disebut ruang titik-titik terisolasi.

2. Himpunan bilangan real dengan jarak

ρ(x, kamu) = | x - kamu |

membentuk ruang metrik R 1 .

3. Himpunan himpunan terurut P bilangan real dengan jarak

ditelepon P-dimensi ruang Euclidean aritmatika RN.

4. Perhatikan himpunan yang sama P bilangan real, tetapi kami menentukan jarak di dalamnya dengan rumus

Validitas aksioma 1)-3) terlihat jelas di sini. Mari kita nyatakan ruang metrik ini dengan simbol RN 1 .

5. Ambil kembali himpunan yang sama seperti pada contoh 3 dan 4, dan tentukan jarak antar elemennya menggunakan rumus

Validitas aksioma 1)-3) sudah jelas. Ini adalah ruang yang akan kami tentukan RN¥ dalam banyak pertanyaan analisis tidak kalah nyamannya dengan ruang Euclidean RN.

6. Banyak DENGAN semua fungsi nyata kontinu yang didefinisikan pada interval dengan jarak

juga membentuk ruang metrik. Aksioma 1)-3) diverifikasi secara langsung. Ruang ini memainkan peran yang sangat penting dalam analisis. Kami akan melambangkannya dengan simbol yang sama DENGAN, yang merupakan himpunan titik dari ruang itu sendiri.

7. Perhatikan, seperti pada contoh 6, himpunan semua fungsi kontinu pada interval tersebut DENGAN , tapi mari kita definisikan jaraknya secara berbeda, yaitu mari kita taruh

Kami akan menunjukkan ruang metrik tersebut DENGAN 2 dan menelepon ruang fungsi kontinu dengan metrik kuadrat.

Modul 2.

Kuliah 17. Fungsi beberapa variabel

Bagian 17.1. ruang n-dimensi

1. Ruang multidimensi

2. Konsep jarak (metrik). Ruang metrik

3. Prinsip analisis klaster

Bagian 17.2 Fungsi Banyak Variabel

1. Fungsi beberapa variabel

2. Turunan parsial

3. Integral ganda

4. Koordinat kutub dan integral Euler-Poisson

Ketentuan program

Kuliah ini membahas permasalahan yang berkaitan dengan ruang berdimensi lebih besar dari dua: pengenalan konsep jarak, penggunaan jarak dalam analisis klaster, fungsi beberapa (dalam kasus kami, dua) variabel, karakterisasinya menggunakan turunan parsial, serta seperti perhitungan luas dan volume. Kita memerlukan konsep fungsi dua variabel dan integral ganda ketika mempelajari vektor acak dalam teori probabilitas. Materi perkuliahan diakhiri dengan perhitungan integral Euler-Poisson, salah satu teori probabilitas yang utama (integral tak tentu fungsi Gaussian adalah integral yang tidak dapat diambil, dan dalam kasus batas integrasi, perhitungan integral tersebut memerlukan penggunaan metode yang tidak jelas, salah satunya diberikan di sini).

Sebelum mempelajari materi perkuliahan, ulangi dulu pengertian fungsi, turunan, dan integral.

literatur

B.P.Demidovich, V.A.Kudryavtsev “Kursus singkat matematika tingkat tinggi” Bab XX (§1, 2.3,10), Bab XXIV (§1, 2,3,4,7)

Pertanyaan untuk pengendalian diri

1. Ruang apa yang disebut n-dimensi?

2. Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh jarak tersebut?

3. Ruang manakah yang disebut metrik?

4. Untuk apa analisis klaster digunakan?

5. Bagaimana grafik fungsi 2 variabel? Apa itu garis level?

6. Apa yang dimaksud dengan turunan parsial?

7. Berikan definisi integral ganda. Bagaimana cara menggunakannya untuk menghitung luas dan volume?

8. Mencari jarak antara titik A(1,2,3) dan B(5,1,0) (menggunakan jarak yang berbeda)

9.Temukan garis level fungsi

z = x + kamu.

10. Temukan turunan parsial suatu fungsi

11. Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis

12. Hitung

Bagian 17.1. Konsep ruang multidimensi

Definisi 17.1.1. ruang n-dimensi.

Jika suatu sistem koordinat persegi panjang terletak pada bidang R2, maka terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bidang tersebut dan semua kemungkinan pasangan bilangan (x, y) (x dan y adalah koordinat titik-titik tersebut) . Jika sistem koordinat serupa diberikan dalam ruang, maka terdapat juga korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam ruang dan koordinatnya - semua kemungkinan kembar tiga (x, y, z).

Jarak (metrik). Ruang metrik

Definisi 17.1.2

Ruang metrik ( M ,D) adalah himpunan titik M, yang kuadratnya (yaitu, untuk setiap pasangan titik dari M) diberikan fungsi jarak (metrik). Ini didefinisikan sebagai berikut:

Untuk poin apa pun X, kamu, z dari M fungsi ini harus memenuhi ketentuan berikut:

Aksioma ini mencerminkan konsep intuitif tentang jarak. Misalnya, jarak harus non-negatif dan jarak dari X sebelum kamu sama dengan dari kamu sebelum X. Pertidaksamaan segitiga berarti berangkat dari X sebelum z bisa lebih pendek, atau setidaknya tidak lebih lama dari perjalanan pertama X sebelum kamu, dan kemudian dari kamu sebelum z.

Jarak yang paling umum bagi kita adalah jarak Euclidean. Namun, ini bukanlah satu-satunya cara untuk mengaturnya. Misalnya, jarak berikut akan memenuhi aksioma di atas: d(x,y) = 1, Jika x ≠ kamu Dan d(x,y) = 0, Jika x = kamu.

Bergantung pada kebutuhan spesifik atau properti ruangan, metrik yang berbeda dapat dipertimbangkan.

Mari kita lihat beberapa contoh jarak:

Definisi 17.1.3.

Jarak Euclidean. Ini tampaknya merupakan jenis jarak yang paling umum. Ini hanyalah jarak geometris dalam ruang multidimensi dan dihitung sebagai berikut:

d(x,y) = ( saya (xi - y i) 2 ) 1/2

Perhatikan bahwa jarak Euclidean (dan kuadratnya) dihitung dari data asli, bukan data standar. Ini adalah cara umum untuk menghitungnya, yang memiliki keuntungan tertentu (misalnya, jarak antara dua objek tidak berubah ketika objek baru dimasukkan ke dalam analisis, yang mungkin merupakan outlier). Namun, jarak dapat sangat dipengaruhi oleh perbedaan antara sumbu-sumbu yang digunakan untuk menghitung jarak. Misalnya, jika salah satu sumbu diukur dalam sentimeter, lalu Anda mengubahnya menjadi milimeter (mengalikan nilainya dengan 10), maka jarak Euclidean akhir (atau kuadrat jarak Euclidean) yang dihitung dari koordinat akan berubah sangat besar, dan akibatnya, hasil analisis klaster mungkin sangat berbeda dari hasil sebelumnya.

Jarak Euclidean kuadrat. Jarak Euclidean standar dikuadratkan untuk memberikan bobot lebih besar pada objek yang jaraknya lebih jauh. Jarak ini dihitung sebagai berikut (hal ini juga berlaku untuk catatan tentang pengaruh satuan pengukuran dari paragraf sebelumnya):

d(x,y) = saya (xi - y i) 2

Jarak blok kota (jarak Manhattan). Jarak ini hanyalah rata-rata perbedaan koordinat. Dalam kebanyakan kasus, pengukuran jarak ini menghasilkan hasil yang sama seperti jarak Euclidean biasa. Namun, kami mencatat bahwa untuk ukuran ini pengaruh perbedaan besar individu (outlier) berkurang (karena tidak dikuadratkan). Jarak Manhattan dihitung menggunakan rumus:

d(x,y) = saya |x saya - y saya |

Jarak Chebyshev. Jarak ini dapat berguna ketika seseorang ingin mendefinisikan dua objek sebagai "berbeda" jika keduanya berbeda dalam satu koordinat (dalam satu dimensi). Jarak Chebyshev dihitung menggunakan rumus:

d(x,y) = maks |x saya - y saya |

(maks berarti maksimum - nilai modul perbedaan terbesar dari semua)

Jarak kekuasaan. Kadang-kadang seseorang ingin secara bertahap menambah atau mengurangi bobot yang terkait dengan dimensi yang objeknya sangat berbeda. Ini dapat dicapai dengan menggunakan Jarak kekuasaan. Jarak daya dihitung menggunakan rumus:

d(x,y) = ( saya |x saya - y saya | p) 1/r

Di mana R Dan P- parameter yang ditentukan pengguna. Beberapa contoh perhitungan dapat menunjukkan bagaimana pengukuran ini “bekerja”. Parameter P bertanggung jawab atas penimbangan perbedaan secara bertahap sepanjang koordinat individu, parameternya R bertanggung jawab untuk secara progresif menimbang jarak yang jauh antar objek. Jika kedua parameter tersebut R Dan P, sama dengan dua, maka jarak ini bertepatan dengan jarak Euclidean.

Apa itu metrik? Untuk apa ini digunakan? Apakah ini bidang fisik?

Metrik di zaman kita terkait erat dengan teori gravitasi, berkat karya Hilbert dan Einstein bersama Grossman. Namun, ini telah diperkenalkan dalam matematika jauh sebelum ini. Jika saya tidak salah, orang pertama yang menggunakannya secara eksplisit dalam satu atau lain cara adalah Riemann dan Gauss. Pertama kita akan mencoba memahami perannya dalam geometri dan baru kemudian kita akan melihat bagaimana metrik menjadi struktur utama GTR, Teori Relativitas Umum.

Saat ini terdapat definisi ruang metrik yang cukup rinci dan jelas dengan bentuk yang agak umum:

Ruang metrik (“dilengkapi dengan metrik”) dalam matematika adalah ruang di mana untuk dua titik terurutnya (yaitu, salah satunya disebut titik pertama, dan titik lainnya disebut titik kedua), bilangan real adalah didefinisikan sedemikian rupa sehingga sama dengan nol, jika dan hanya jika , ketika titik-titiknya bertepatan, dan pertidaksamaan “segitiga” terpenuhi - untuk tiga titik (x,y,z) bilangan ini untuk setiap pasangan (x,y) adalah sama dengan atau kurang dari jumlah angka-angka ini untuk dua pasangan lainnya, (x,z) dan (y,z). Definisi ini juga menunjukkan bahwa bilangan ini non-negatif dan tidak berubah (metriknya simetris) ketika urutan titik-titik pada pasangan berubah.

Seperti biasa, segera setelah sesuatu didefinisikan, definisi ini diperluas dan namanya diperluas ke ruang lain yang serupa. Jadi di sini. Misalnya, ketat secara formal tidak akan menjadi metrik menurut definisi yang diberikan di atas, karena di dalamnya, bilangan “metrik”, intervalnya, bisa bernilai nol untuk dua titik berbeda, dan kuadratnya juga bisa berupa bilangan real negatif. Namun, mereka termasuk dalam keluarga ruang metrik hampir sejak awal menghapus persyaratan terkait dalam definisi, memperluas definisi.

Selain itu, metrik juga dapat ditentukan tidak untuk semua titik dalam ruang, tetapi hanya untuk titik yang sangat dekat (lokal). Ruang seperti itu disebut Riemannian dan dalam kehidupan sehari-hari disebut juga metrik. Lebih-lebih lagi, Ruang Riemannian-lah yang membuat metrik ini begitu terkenal dan menarik perhatian para ahli matematika dan fisikawan, dan akrab bahkan bagi banyak orang yang memiliki sedikit hubungan dengan ilmu-ilmu ini..

Pada akhirnya, di sini kita akan membahas metrik yang berkaitan secara khusus dengan ruang Riemannian, yaitu. dalam arti lokal. Dan bahkan secara lokal tidak terbatas.

Definisi formal matematika dan perluasannya merupakan hasil pemahaman dan klarifikasi konsep metrik. Mari kita lihat dari mana konsep ini tumbuh, dengan sifat apa dunia nyata awalnya dikaitkan.

Semua geometri muncul dari konsep-konsep yang awalnya diformalkan oleh Euclid. Begitu juga dengan metriknya. Dalam geometri Euclidean (untuk kesederhanaan dan kejelasan, kita akan berbicara tentang geometri dua dimensi, dan karena itu tentang geometri bidang) terdapat konsep jarak antara dua titik. Seringkali, bahkan sekarang, metrik disebut jarak. Karena untuk bidang Euclidean, jarak adalah metrik, dan metrik adalah jarak. Dan inilah yang dikonsep pada awalnya. Meskipun, seperti yang akan saya coba tunjukkan, ini hanya berlaku untuk konsep metrik modern dalam arti yang sangat terbatas, dengan banyak syarat dan ketentuan.

Jarak pada bidang Euclidean (di selembar kertas) tampaknya merupakan hal yang sangat sederhana dan jelas. Memang benar, dengan menggunakan penggaris Anda dapat menggambar garis lurus antara dua titik mana pun dan mengukur panjangnya. Angka yang dihasilkan akan menjadi jarak. Dengan mengambil titik ketiga, Anda dapat menggambar sebuah segitiga dan memastikan bahwa jarak ini (untuk dua titik mana pun pada bidang) memenuhi definisi di atas. Sebenarnya definisi tersebut disalin satu-satu dari sifat-sifat jarak Euclidean pada sebuah bidang. Dan kata “metrik” pada mulanya diasosiasikan dengan pengukuran (menggunakan meter), “metrisasi” suatu bidang.

Mengapa perlu mengukur jarak, untuk melakukan metrisasi pesawat ini? Nah, setiap orang mungkin memiliki gagasannya masing-masing tentang mengapa jarak diukur dalam kehidupan nyata. Dan dalam geometri mereka benar-benar mulai memikirkan hal ini ketika mereka memperkenalkan koordinat untuk mendeskripsikan setiap titik pada bidang secara terpisah dan unik dari titik lainnya. Sistem koordinat pada bidang jelas akan lebih kompleks dari sekedar jarak antara dua titik. Berikut adalah titik asal, sumbu koordinat, dan jarak (bagaimana kita bisa melakukannya tanpanya?) dari titik asal ke proyeksi titik pada sumbu. Tampaknya jelas mengapa sistem koordinat diperlukan - ini adalah kisi-kisi garis yang tegak lurus satu sama lain (jika koordinatnya Cartesian), memenuhi bidang dan dengan demikian memecahkan masalah pengalamatan titik mana pun di atasnya.

Ternyata metriknya adalah jarak dan koordinatnya adalah jarak. Apakah ada perbedaan? Koordinat yang dimasukkan. Lalu mengapa metrik? Ada perbedaan, dan perbedaannya sangat signifikan. Pilihan sistem koordinat menyiratkan kebebasan tertentu. Dalam sistem kartesius kita menggunakan garis lurus sebagai sumbu. Tapi kita juga bisa menggunakan kurva? Bisa. Dan segala macam yang berkelok-kelok juga. Bisakah kita mengukur jarak sepanjang garis tersebut? Tentu. Mengukur jarak, panjang suatu garis tidak berhubungan dengan jenis garis tersebut. Jalur yang melengkung juga memiliki panjang dan dapat ditempatkan tiang penunjuk arah di atasnya. Namun metrik dalam ruang Euclidean bukanlah jarak sembarang. Ini adalah panjang garis lurus yang menghubungkan dua titik. Lurus. Dan apa ini? Garis mana yang lurus dan mana yang melengkung? Dalam kursus sekolah, garis lurus adalah sebuah aksioma. Kami melihatnya dan mendapatkan idenya. Namun dalam geometri umum, garis lurus (itu sendiri adalah nama, label, tidak lebih!) dapat didefinisikan sebagai beberapa garis khusus di antara semua kemungkinan garis yang menghubungkan dua titik. Yakni sebagai yang terpendek, mempunyai panjang terpendek. (Dan dalam beberapa kasus, untuk beberapa ruang matematika, sebaliknya, yang terpanjang, memiliki panjang terbesar.) Tampaknya kita telah memahami perbedaan antara metrik dan jarak sembarang antara dua titik. Tidak begitu. Kami mengambil jalan yang salah. Ya betul, garis lurus adalah yang terpendek di ruang Euclidean. Namun metriknya bukan hanya panjang jalur terpendek. TIDAK. Ini adalah properti sekundernya. Dalam ruang Euclidean, metrik bukan hanya jarak antara dua titik. Metriknya, pertama-tama, adalah gambaran teorema Pythagoras. Teorema yang memungkinkan Anda menghitung jarak antara dua titik jika Anda mengetahui koordinatnya dan dua jarak lainnya. Selain itu, dihitung dengan sangat spesifik, sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat jarak koordinat. Metrik Euclidean bukanlah bentuk linier dari jarak koordinat, melainkan bentuk kuadrat! Hanya sifat spesifik bidang Euclidean yang membuat hubungan metrik dengan jalur terpendek yang menghubungkan titik-titik menjadi begitu sederhana. Jarak selalu merupakan fungsi linier dari perpindahan sepanjang lintasan. Metrik adalah fungsi kuadrat dari perpindahan ini. Dan di sinilah letak perbedaan mendasar antara metrik dan jarak yang dipahami secara intuitif, sebagai fungsi linier perpindahan dari suatu titik. Apalagi bagi kita pada umumnya, jarak berhubungan langsung dengan perpindahan itu sendiri.

Mengapa fungsi perpindahan kuadrat begitu penting? Dan apakah itu benar-benar berhak disebut jarak dalam arti sebenarnya? Atau apakah ini merupakan properti yang agak spesifik yang hanya dimiliki ruang Euclidean (yah, atau suatu keluarga ruang yang dekat dengan Euclidean)?

Mari kita mengambil langkah kecil ke samping dan membahas lebih detail tentang sifat-sifat satuan pengukuran. Mari kita bertanya pada diri sendiri: seperti apa seharusnya penggaris agar bisa menerapkan kotak koordinat pada selembar kertas? Solid, tangguh dan tidak berubah, katamu. Dan mengapa “penguasa”? Satu sudah cukup! Benar jika bisa diputar sesuai keinginan pada bidang kertas dan digerakkan sepanjang itu. Apakah Anda memperhatikan “jika”? Ya, kami memiliki kesempatan untuk menggunakan penggaris seperti itu untuk pesawat. Penggarisnya berdiri sendiri, bidangnya sendiri, tetapi bidangnya memungkinkan kita untuk “menempelkan” penggaris pada dirinya sendiri. Bagaimana dengan permukaan bola? Tidak peduli bagaimana Anda mengaplikasikannya, semuanya tetap menonjol di luar permukaan. Saya hanya ingin membengkokkannya, melepaskan kekerasan dan kekakuannya. Mari kita tinggalkan pemikiran ini untuk saat ini. Apa lagi yang kita inginkan dari antrean ini? Kekerasan dan kekakuan sebenarnya menyiratkan hal lain, yang jauh lebih penting bagi kita saat melakukan pengukuran - jaminan kekekalan penguasa yang dipilih. Kami ingin mengukur dengan skala yang sama. Mengapa hal ini perlu? Apa maksudmu kenapa?! Untuk dapat membandingkan hasil pengukuran di mana pun di pesawat. Tidak peduli bagaimana kita memutar penggaris, tidak peduli bagaimana kita menggesernya, beberapa propertinya, panjang, harus dijamin tidak berubah. Panjang adalah jarak antara dua titik (dalam satu garis lurus) pada penggaris. Sangat mirip dengan metrik. Namun metrik dimasukkan (atau ada) pada bidang, untuk titik-titik pada bidang, dan apa hubungannya penggaris dengan metrik tersebut? Dan terlepas dari kenyataan itu metrik justru merupakan gambaran panjang konstan penggaris abstrak yang diambil sampai pada kesimpulan logisnya, dipisahkan dari penggaris terluar dan ditetapkan ke setiap titik pada bidang.

Meskipun penggaris kita selalu merupakan objek eksternal untuk jarak yang diukurnya di sebuah bidang, kita juga menganggapnya sebagai skala internal milik bidang tersebut. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kepemilikan bersama baik penguasa eksternal maupun internal. Dan sifat ini adalah salah satu dari dua sifat utama - besaran, yang menjadikan skala sebagai satuan pengukuran (sifat kedua dari skala adalah arah). Untuk ruang Euclidean, sifat ini tampaknya tidak bergantung pada arah penggaris dan posisinya (dari suatu titik dalam ruang). Ada dua cara untuk mengekspresikan kemerdekaan ini. Metode pertama, pandangan pasif terhadap berbagai hal, berbicara tentang kekekalan suatu kuantitas, kesamaannya di bawah pilihan koordinat yang diizinkan secara sewenang-wenang. Metode kedua, tatapan aktif, berbicara tentang invarian dalam translasi dan rotasi, sebagai hasil transisi eksplisit dari titik ke titik. Metode-metode ini tidak setara satu sama lain. Yang pertama hanyalah formalisasi pernyataan bahwa besaran yang ada di suatu tempat (titik) adalah sama, apapun sudut pandangnya. Yang kedua juga menyatakan bahwa nilai besaran pada titik yang berbeda adalah sama. Jelas ini adalah pernyataan yang lebih kuat.

Mari kita membahas tentang invarian nilai skala untuk pilihan koordinat yang berubah-ubah. Ups! Seperti ini? Untuk menetapkan koordinat ke titik, Anda harus memiliki skala. Itu. garis ini. Apa koordinat lainnya? Jalur lainnya? Faktanya, itulah tepatnya! Tetapi! Fakta bahwa pada bidang Euclidean kita dapat memutar penggaris pada suatu titik sesuai keinginan, menimbulkan kesan bahwa koordinat dapat diubah tanpa mengubah penggaris. Itu ilusi, tapi ilusi yang menyenangkan! Betapa terbiasanya kita dengan hal itu! Kami selalu mengatakan – sistem koordinat yang diputar. Dan ilusi ini didasarkan pada sifat skala tertentu yang dipostulatkan pada bidang Euclidean - invariansi "panjang" di bawah rotasi sewenang-wenang pada suatu titik, yaitu. dengan perubahan sewenang-wenang pada sifat kedua skala, arah. Dan properti ini terjadi di setiap titik pada bidang Euclidean. Skala di mana-mana memiliki “panjang” yang tidak bergantung pada pilihan arah sumbu koordinat setempat. Ini adalah postulat untuk ruang Euclidean. Dan bagaimana kita menentukan panjang ini? Dalam sistem koordinat di mana skala yang dipilih adalah satuan pengukuran sepanjang salah satu sumbu, kami mendefinisikannya dengan sangat sederhana - ini adalah satuan yang sama. Dan dalam sistem koordinat (persegi panjang), di mana skala yang dipilih tidak bertepatan dengan salah satu sumbu? Menggunakan teorema Pythagoras. Teorema tetaplah teorema, tetapi ada sedikit penipuan di sini. Faktanya, teorema ini seharusnya menggantikan beberapa aksioma yang dirumuskan oleh Euclid. Dia setara dengan mereka. Dan dengan generalisasi geometri lebih lanjut (untuk permukaan sembarang, misalnya), mereka justru mengandalkan metode penghitungan panjang skala. Faktanya, metode ini dimasukkan ke dalam kategori aksioma.

Sekarang mari kita ulangi sesuatu yang mendasari geometri, yang memungkinkan kita menetapkan koordinat pada titik-titik pada bidang.

Kita berbicara tentang satuan pengukuran, skala. Skala ada kapan saja. Ia memiliki besaran – “panjang” dan arah. Panjangnya invarian (tidak berubah) jika arah suatu titik berubah. Dalam koordinat persegi panjang di ruang Euclidean, kuadrat panjang skala yang diarahkan secara sembarang dari suatu titik sama dengan jumlah kuadrat proyeksinya pada sumbu. Besaran geometri ini disebut juga vektor. Jadi skalanya adalah vektor. Dan “panjang” suatu vektor disebut juga norma. Bagus. Tapi di manakah metriknya di sini? A metrik dengan pendekatan ini ada cara untuk menetapkan norma ke vektor apa pun di setiap titik, metode untuk menghitung norma ini untuk posisi sembarang vektor ini relatif terhadap vektor-vektor yang membentuk basis, titik acuan(yang menentukan arah sumbu koordinat dari suatu titik tertentu dan menurut definisi memiliki norma satuan, yaitu satuan pengukuran). Sangat penting bahwa metode ini didefinisikan untuk setiap titik dalam ruang (dalam hal ini bidang). Jadi, ini adalah milik ruang ini dan vektor-vektor internalnya, dan bukan milik benda-benda di luar ruang.

Maaf, tapi di awal kami sudah memberikan definisi ruang metrik. Mengapa definisi baru? Dan apakah itu sesuai dengan yang lama? Tapi kenapa. Di sini kami telah menunjukkan bagaimana tepatnya bilangan real ini diatur dan ditentukan. Yaitu, jarak antar titik sama dengan “panjang”, norma vektor yang menghubungkan titik-titik tersebut (dalam ruang Euclidean). Fakta bahwa suatu vektor mempunyai norma tertentu, tidak bergantung pada sudut pandangnya (pilihan titik acuan) adalah definisi dari sebuah vektor. Syarat terpenting yang membuat ruang menjadi metrik adalah syarat bahwa vektor-vektor dengan norma tertentu ada di setiap titik dalam ruang ke segala arah. Dan definisi ini cukup konsisten dengan definisi yang diberikan di awal. Apakah mungkin untuk mendefinisikan metrik pada ruang tertentu secara berbeda? Pada prinsipnya, hal itu mungkin. Dan bahkan dalam banyak hal. Hanya kelas-kelas ruang ini yang benar-benar berbeda yang tidak menyertakan ruang Euclidean meskipun sebagai kasus khusus.

Mengapa ruang Euclidean istimewa bagi kita? Nah, seperti apa rasanya? Pada pandangan pertama, ruang tempat kita tinggal memiliki sifat-sifat berikut ini. Ya, jika dicermati lebih dekat, tidak seperti itu. Tapi ada perbedaan antara “tidak seperti itu” dan “sama sekali tidak seperti itu”?! Meskipun rangkaian kata-katanya sepertinya sama. Jadi ruang-waktu kita, jika bukan Euclidean, maka dalam kondisi tertentu bisa sangat dekat dengannya. Konsekuensinya, kita harus memilih dari kelompok ruang di mana ruang Euclidean berada. Itulah yang kami lakukan. Namun tetap saja, apa istimewanya ruang Euclidean yang dinyatakan dalam sifat-sifat tertentu dari metriknya? Propertinya cukup banyak, sebagian besar sudah disebutkan di atas. Saya akan mencoba merumuskan fitur ini dengan cukup ringkas. Ruang Euclidean sedemikian rupa sehingga memungkinkan untuk memilih skala (yaitu, memasukkan koordinat) sehingga terisi penuh dengan kisi koordinat persegi panjang. Mungkin ini terjadi ketika metrik di setiap titik dalam ruang adalah sama. Pada dasarnya, ini berarti bahwa skala yang diperlukan untuk hal ini ada di setiap titik dalam ruang dan semuanya identik pada satu titik. Untuk seluruh ruang, satu penggaris sudah cukup, yang dapat dipindahkan ke titik mana pun (dalam arti aktif) tanpa mengubah besaran dan arahnya.

Di atas saya menanyakan pertanyaan mengapa metrik merupakan fungsi kuadrat dari perpindahan. Itu masih belum terjawab untuk saat ini. Kami pasti akan membahasnya lagi. Sekarang buatlah catatan untuk diri Anda sendiri untuk masa depan - metrik dalam kelompok ruang yang kita butuhkan adalah kuantitas yang invarian dalam transformasi koordinat. Sejauh ini kita telah membicarakan tentang koordinat Cartesian, tetapi saya akan segera menekankan di sini bahwa hal ini berlaku untuk setiap transformasi koordinat yang diperbolehkan pada suatu titik tertentu dalam ruang tertentu. Besaran yang invarian (tidak berubah) selama transformasi koordinat memiliki nama khusus lain dalam geometri - skalar. Lihat berapa banyak nama untuk hal yang sama - konstan, invarian, skalar... Mungkin ada hal lain yang tidak langsung terpikirkan. Hal ini menunjukkan pentingnya konsep itu sendiri. Jadi, metrik adalah skalar dalam arti tertentu. Tentu saja, ada skalar lain dalam geometri.

Mengapa dalam “arti tertentu”? Karena konsep metrik mencakup dua poin dan bukan satu! Sebuah vektor terhubung (terdefinisi) hanya dengan satu titik. Ternyata aku menyesatkanmu? Tidak, saya hanya belum mengatakan semua yang perlu dikatakan. Tetapi harus dikatakan bahwa metrik bukanlah norma dari vektor sembarang, tetapi hanya vektor perpindahan yang sangat kecil dari suatu titik tertentu ke arah yang berubah-ubah. Jika norma ini tidak bergantung pada arah perpindahan suatu titik, maka nilai skalarnya dapat dianggap sebagai properti titik tersebut saja. Pada saat yang sama, aturan untuk menghitung norma untuk vektor lainnya masih tetap ada. Seperti ini.

Ada yang tidak beres... Normanya berbeda untuk vektor yang berbeda! Dan metriknya adalah skalar, nilainya sama. Kontradiksi!

Tidak ada kontradiksi. Saya mengatakannya dengan jelas - aturan perhitungannya. Untuk semua vektor. Dan nilai spesifiknya sendiri, yang disebut juga metrik, dihitung menurut aturan ini hanya untuk satu vektor, yaitu perpindahan. Bahasa kita terbiasa dengan kebebasan, kelalaian, singkatan... Jadi kita terbiasa menyebut skalar dan aturan penghitungannya sebagai metrik. Sebenarnya hampir sama. Hampir, tapi belum sepenuhnya. Penting juga untuk melihat perbedaan antara aturan dan hasil yang diperoleh dengan bantuannya. Mana yang lebih penting – aturannya atau hasilnya? Anehnya, dalam hal ini, aturannya... Oleh karena itu, lebih sering dalam geometri dan fisika, ketika berbicara tentang metrik, yang mereka maksud adalah aturan. Hanya ahli matematika yang sangat keras kepala yang lebih suka membicarakan hasilnya secara ketat. Dan memang ada alasannya, namun akan dibahas lebih lanjut di tempat lain.

Saya juga ingin mencatat bahwa dalam cara penyajian yang lebih biasa, ketika konsep ruang vektor diambil sebagai dasar, metrik diperkenalkan sebagai produk berpasangan skalar dari semua vektor basis dan vektor referensi. Dalam hal ini, produk skalar vektor harus didefinisikan terlebih dahulu. Dan pada jalur yang saya ikuti di sini, kehadiran tensor metrik di ruang angkasalah yang memungkinkan kita memperkenalkan dan mendefinisikan produk skalar vektor. Di sini metrik adalah yang utama, kehadirannya memungkinkan kita untuk memperkenalkan produk skalar sebagai semacam invarian yang menghubungkan dua vektor berbeda. Jika skalar dihitung menggunakan metrik untuk vektor yang sama, maka ini hanyalah normanya. Jika skalar ini dihitung untuk dua vektor berbeda, maka itu adalah perkalian titiknya. Jika ini juga merupakan norma dari vektor yang sangat kecil, maka cukup dapat diterima untuk menyebutnya sebagai metrik pada suatu titik tertentu.

Dan apa yang dapat kami katakan tentang metrik sebagai aturan? Di sini kita harus menggunakan rumus. Misalkan koordinat sepanjang sumbu bilangan i dilambangkan dengan x i. Dan perpindahan dari suatu titik tertentu ke titik tetangganya dx i. Harap dicatat bahwa koordinat bukanlah vektor! Dan perpindahannya hanyalah sebuah vektor! Dalam notasi seperti itu, “jarak” metrik antara suatu titik tertentu dan titik tetangganya, menurut teorema Pythagoras, akan dihitung menggunakan rumus

ds 2 = g ik dx saya dx k

Di sebelah kiri di sini adalah kuadrat “jarak” metrik antar titik, jarak “koordinat” (yaitu, sepanjang setiap garis koordinat individu) yang ditentukan oleh vektor perpindahan dx i. Di sebelah kanan adalah jumlah indeks yang bertepatan dari semua produk berpasangan dari komponen vektor perpindahan dengan koefisien yang sesuai. Dan tabelnya, matriks koefisien g ik, yang menetapkan aturan untuk menghitung norma metrik, disebut tensor metrik. Dan tensor inilah yang dalam banyak kasus disebut metrik. Istilah “” sangat penting di sini. Dan ini berarti bahwa dalam sistem koordinat lain, rumus yang ditulis di atas akan sama, hanya tabel yang akan berisi koefisien lain (dalam kasus umum), yang dihitung dengan cara yang ditentukan secara ketat melalui koefisien konversi koordinat dan koordinat ini. Ruang Euclidean dicirikan oleh fakta bahwa dalam koordinat Cartesian bentuk tensor ini sangat sederhana dan sama dalam koordinat Cartesian mana pun. Matriks g ik hanya memuat bilangan pada diagonalnya (untuk i=k), dan bilangan sisanya adalah nol. Jika koordinat non-Kartesius digunakan dalam ruang Euclidean, maka matriks di dalamnya tidak akan terlihat sesederhana itu.

Jadi, kita telah menuliskan aturan yang menentukan “jarak” metrik antara dua titik dalam ruang Euclidean. Aturan ini ditulis untuk dua titik yang berdekatan secara sembarang. Di ruang Euclidean, mis. dalam sistem yang tensor metriknya dapat berbentuk diagonal dengan satuan pada diagonal dalam beberapa sistem koordinat di setiap titik, tidak ada perbedaan mendasar antara vektor perpindahan berhingga dan sangat kecil. Namun kami lebih tertarik pada kasus ruang Riemannian (seperti permukaan bola, misalnya), yang perbedaannya signifikan. Jadi, kita asumsikan bahwa tensor metrik umumnya tidak diagonal dan berubah ketika berpindah dari titik ke titik dalam ruang. Namun hasil penerapannya, ds 2, tetap berada di setiap titik, tidak bergantung pada pilihan arah perpindahan dan titik itu sendiri. Ini adalah kondisi yang sangat ketat (kurang ketat dibandingkan kondisi Euclidean) dan bila terpenuhi maka ruang tersebut disebut Riemannian.

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa sering kali saya memberi tanda kutip pada kata “panjang” dan jarak.” Inilah sebabnya saya melakukan ini. Dalam kasus bidang dan ruang Euclidean tiga dimensi, “jarak” dan “panjang” metrik tampak sama persis dengan jarak biasa yang diukur dengan penggaris. Selain itu, konsep-konsep ini diperkenalkan untuk memformalkan pekerjaan dengan hasil pengukuran. Lalu mengapa “tampaknya bertepatan”? Ini lucu, tetapi inilah yang terjadi ketika para ahli matematika, bersama dengan air kotor (yang tidak mereka butuhkan), melemparkan seorang anak keluar dari bak mandi. Tidak, mereka meninggalkan sesuatu, tetapi yang tersisa bukan lagi anak-anak (jarak). Hal ini mudah dilihat bahkan dengan menggunakan bidang Euclidean sebagai contoh.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa “jarak” metrik tidak bergantung pada pilihan koordinat Cartesian (dan tidak hanya), misalnya, pada selembar kertas. Misalkan dalam beberapa koordinat jarak antara dua titik pada sumbu koordinat sama dengan 10. Apakah mungkin untuk menunjukkan koordinat lain yang jarak antara titik-titik yang sama ini akan sama dengan 1? Tidak masalah. Cukup plot sebagai sebuah unit di sepanjang sumbu yang sama, sebuah unit baru yang sama dengan 10 unit sebelumnya. Apakah ruang Euclidean berubah karena ini? Apa masalahnya? Namun faktanya ketika kita mengukur sesuatu, kita tidak cukup hanya mengetahui angkanya. Kita juga perlu mengetahui satuan apa yang digunakan untuk mendapatkan nomor tersebut. Matematika dalam bentuk yang familiar bagi semua orang saat ini tidak tertarik dengan hal ini. Dia hanya berurusan dengan angka. Pemilihan satuan pengukuran dilakukan sebelum menerapkan matematika dan tidak boleh diubah lagi! Namun jarak dan panjang kita tanpa timbangan menunjukkan apa-apa! Tapi matematika tidak penting. Dalam hal “jarak” metrik, penerapan formalnya tidak tergantung pada pilihan skala. Bahkan meter, bahkan depa. Hanya angka yang penting. Itu sebabnya saya memberi tanda petik. Tahukah Anda apa efek samping pendekatan ini terhadap matematika ruang Riemann? Ini dia. Tidak masuk akal untuk mempertimbangkan perubahan skala dari satu titik ke titik lainnya. Hanya perubahan arahnya. Padahal mengubah skala menggunakan transformasi koordinat dalam geometri seperti itu adalah hal yang lumrah. Apakah mungkin untuk memasukkan dalam geometri pertimbangan yang konsisten tentang sifat-sifat skala secara keseluruhan? Bisa. Hanya Untuk melakukan ini, Anda harus menghapus banyak konvensi dan belajar memberi nama sesuatu dengan nama aslinya. Salah satu langkah pertama adalah menyadari fakta bahwa tidak ada metrik yang pada dasarnya adalah jarak dan tidak mungkin ada. Ini tentu saja memiliki arti fisik, dan itu sangat penting. Tapi berbeda.

Dalam fisika, perhatian terhadap peran metrik ditarik dengan munculnya teori relativitas - pertama khusus, kemudian umum, di mana metrik menjadi struktur utama teori. Teori Relativitas Khusus dibentuk atas dasar fakta bahwa jarak tiga dimensi bukanlah skalar dari sudut pandang sekumpulan sistem referensi fisik inersia yang bergerak relatif satu sama lain secara seragam dan lurus. Besaran lain ternyata adalah skalar, suatu invarian, yang disebut interval. Interval antar peristiwa. Dan untuk menghitung nilainya, Anda perlu memperhitungkan interval waktu antara peristiwa-peristiwa ini. Selain itu, ternyata aturan penghitungan metrik (dan interval segera mulai dianggap sebagai metrik dalam kesatuan ruang-waktu, ruang peristiwa) berbeda dengan aturan Euclidean biasa dalam ruang tiga dimensi. Mirip, tapi sedikit berbeda. Ruang metrik empat dimensi yang sesuai diperkenalkan Herman Minkowski, mulai dipanggil. Karya Minkowski itulah yang menarik perhatian fisikawan, termasuk Einstein, terhadap pentingnya konsep metrik sebagai besaran fisika, dan bukan hanya sekedar matematika.

Teori Relativitas Umum juga memasukkan sistem referensi fisik yang dipercepat relatif satu sama lain. Dengan demikian, ia mampu memberikan gambaran fenomena gravitasi pada tingkatan baru dalam kaitannya dengan teori Newton. Dan dia mampu mencapai hal ini dengan memberi makna pada bidang fisik khususnya pada metrik - baik nilai maupun aturannya, tensor metrik. Pada saat yang sama, ia menggunakan konstruksi matematis ruang Riemann sebagai gambaran ruang-waktu. Kami tidak akan membahas terlalu jauh rincian teori ini. Teori ini antara lain menyatakan bahwa dunia (ruang-waktu) yang di dalamnya terdapat benda-benda masif, yaitu benda-benda yang saling tarik menarik, memiliki metrik yang berbeda dengan metrik Euclidean yang begitu menyenangkan bagi kita. Semua pernyataan di bawah ini setara:

Pernyataan fisik. Benda titik yang bermassa saling tarik menarik satu sama lain.

Dalam ruang-waktu, di mana terdapat benda-benda masif, mustahil untuk memperkenalkan kisi-kisi persegi panjang yang kaku di mana-mana. Tidak ada alat ukur yang memungkinkan hal ini dilakukan. Selalu, betapapun kecilnya, “sel” dari kisi-kisi yang dihasilkan akan berbentuk segi empat melengkung.

Anda dapat memilih skala dengan nilai (norma) yang sama untuk seluruh ruang-waktu. Skala apa pun dapat dipindahkan dari titiknya ke titik lain dan dibandingkan dengan apa yang sudah ada di sana. TETAPI! Sekalipun perpindahannya sangat kecil, arah skala yang dibandingkan umumnya tidak akan bersamaan. Semakin kuat, semakin dekat skalanya ke benda bermassa dan semakin besar massa yang sama. Hanya ketika tidak ada massa (meskipun, ini pertanyaannya untuk Anda - bagaimana dengan timbangan itu sendiri?) maka arahnya akan bertepatan.

Di wilayah ruang-waktu yang berisi benda-benda masif, tidak ada sistem koordinat yang tensor metriknya di setiap titik diwakili oleh matriks yang bernilai nol di semua tempat kecuali diagonal tempat matriks tersebut berada.

Perbedaan antara metrik dan Euclidean merupakan manifestasi dari adanya medan gravitasi (gravitational field). Selain itu, bidang tensor metrik adalah bidang gravitasi.

Masih banyak lagi pernyataan serupa yang dapat dikutip, namun sekarang saya ingin menarik perhatian Anda pada pernyataan terakhir. Lengkungan. Ini adalah sesuatu yang belum kita diskusikan. Apa hubungannya dengan metrik? Pada umumnya - tidak ada! adalah konsep yang lebih umum daripada metrik. Dalam arti apa?

Keluarga ruang Riemannian, yang juga mencakup ruang Euclidean, merupakan bagian dari keluarga yang lebih umum. Ruang-ruang ini, secara umum, tidak menyiratkan adanya besaran seperti metrik untuk setiap pasangan titiknya. Tetapi properti penting mereka adalah keberadaan dua struktur lain yang terkait satu sama lain - hubungan affine dan kelengkungan. Dan hanya dalam kondisi kelengkungan (atau konektivitas) tertentu barulah ada metrik di ruang tersebut. Kemudian ruang-ruang tersebut disebut Riemannian. Setiap ruang Riemannian memiliki konektivitas dan kelengkungan. Namun tidak sebaliknya.

Namun juga tidak dapat dikatakan bahwa metrik tersebut merupakan hal sekunder setelah konektivitas atau kelengkungan. TIDAK. Keberadaan metrik adalah pernyataan sifat konektivitas tertentu, dan juga kelengkungan. Dalam interpretasi standar relativitas umum, metrik dianggap sebagai struktur yang lebih penting yang membentuk bentuk teori. Dan hubungan affine dan kelengkungan ternyata bersifat sekunder, berasal dari metrik. Penafsiran ini ditetapkan oleh Einstein, pada saat matematika belum mengembangkan pemahaman yang cukup maju dan konsisten tentang hierarki pentingnya struktur yang menentukan sifat-sifat keluarga ruang yang mengarah ke ruang Euclidean. Setelah penciptaan peralatan GTR, terutama melalui karya Weyl dan Schouten (tentu saja tidak hanya mereka), matematika ruang koneksi affine dikembangkan. Sebenarnya penelitian ini dirangsang oleh munculnya Relativitas Umum. Seperti yang Anda lihat, interpretasi kanonik tentang pentingnya struktur dalam relativitas umum tidak sesuai dengan pandangan matematika saat ini tentang hubungannya. Interpretasi kanonik ini tidak lain adalah identifikasi struktur matematika tertentu dengan bidang fisik. Memberi mereka makna fisik.

Dalam relativitas umum ada dua rencana untuk menggambarkan ruang-waktu. Yang pertama adalah ruang-waktu itu sendiri sebagai ruang peristiwa. Peristiwa yang terus menerus mengisi wilayah ruang-waktu mana pun dikarakterisasi menggunakan empat koordinat. Oleh karena itu, sistem koordinat diasumsikan dimasukkan. Nama teorinya memusatkan perhatian tepat pada hal ini - hukum alam yang terjadi dalam ruang-waktu seperti itu harus dirumuskan secara identik terhadap sistem koordinat apa pun yang diizinkan. Persyaratan ini disebut prinsip relativitas umum. Perhatikan bahwa rencana teori ini belum menjelaskan apa pun tentang ada atau tidaknya metrik dalam ruang-waktu, namun sudah memberikan dasar bagi adanya hubungan affine di dalamnya (bersama dengan kelengkungan dan struktur matematika turunan lainnya). Tentu saja, pada tingkat ini sudah ada kebutuhan untuk memberikan makna fisik pada objek teori matematika. Ini dia. Suatu titik dalam ruang-waktu menggambarkan suatu peristiwa, di satu sisi dicirikan oleh posisi dan momen waktu, di sisi lain oleh empat koordinat. Sesuatu yang aneh? Bukankah keduanya sama? Tapi tidak. Dalam relativitas umum, hal ini tidaklah sama. Koordinat dalam bentuk yang paling umum, yang secara teori dapat diterima, tidak dapat diartikan sebagai posisi dan momen waktu. Kemungkinan ini didalilkan hanya untuk kelompok koordinat yang sangat terbatas - koordinat inersia lokal, yang hanya ada di sekitar setiap titik, tetapi tidak di seluruh wilayah yang dicakup oleh sistem koordinat umum. Ini adalah postulat lain dari teori ini. Ini adalah hibrida. Saya perhatikan bahwa di sinilah banyak masalah relativitas umum muncul, tetapi saya tidak akan membahas penyelesaiannya sekarang.

Rencana kedua dari teori ini dapat dianggap sebagai bagian dari postulatnya, yang mempertimbangkan fenomena fisik dalam ruang-waktu - gravitasi, gaya tarik-menarik benda-benda masif. Dikatakan bahwa fenomena fisik ini, dalam kondisi tertentu, dapat dihancurkan hanya dengan memilih kerangka acuan yang sesuai, yaitu kerangka inersia lokal. Untuk semua benda yang mempunyai percepatan yang sama (jatuh bebas) karena adanya medan gravitasi benda masif yang jauh di wilayah kecil, medan ini tidak dapat diamati dalam kerangka acuan tertentu. Secara formal, postulat berakhir di sana, tetapi sebenarnya persamaan utama teori, yang mempertimbangkan metrik, juga mengacu pada postulat, baik sebagai pernyataan matematika maupun fisika. Meskipun saya tidak akan menjelaskan secara rinci tentang persamaan tersebut (sebenarnya sistem persamaan), akan tetap berguna untuk menyajikannya kepada Anda:

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

Di sini, di sebelah kiri adalah apa yang disebut tensor Ricci, suatu konvolusi tertentu (kombinasi komponen penyusun) dari tensor kelengkungan lengkap. Itu juga bisa disebut kelengkungan. Di sebelah kanan adalah konstruksi tensor energi-momentum (kuantitas fisik murni dalam relativitas umum, tunggal untuk benda masif dan eksternal untuk ruang-waktu, yang dalam teori ini merupakan pembawa energi-momentum) dan metrik, yang diasumsikan ada. Selain itu, metrik ini, sebagai besaran skalar yang dihasilkan oleh tensor metrik, adalah sama untuk semua titik di wilayah tersebut. Ada juga konstanta dimensi c, sebanding dengan konstanta gravitasi. Dari persamaan ini jelas bahwa pada umumnya kelengkungan dibandingkan dengan energi-momentum dan metrik. Arti fisis diberikan pada metrik dalam Relativitas Umum setelah memperoleh solusi terhadap persamaan ini. Karena dalam solusi ini koefisien metrik berhubungan linier dengan potensi medan gravitasi (dihitung melaluinya), arti potensi medan ini diberikan pada tensor metrik. Dengan pendekatan ini, kelengkungan seharusnya mempunyai arti serupa. Dan koneksi affine diartikan sebagai kekuatan medan. Penafsiran ini salah; kekeliruannya dikaitkan dengan paradoks yang disebutkan di atas dalam penafsiran koordinat. Tentu saja, hal ini tidak luput dari perhatian teori dan memanifestasikan dirinya dalam sejumlah masalah terkenal (non-lokalisasi energi medan gravitasi, interpretasi singularitas), yang tidak muncul ketika memberikan besaran geometri yang benar. arti. Semua ini dibahas lebih detail dalam buku “”.

Namun, bahkan dalam relativitas umum, metrik pasti, selain makna artifisial yang dikenakan padanya, mempunyai makna fisik lain. Mari kita ingat apa yang menjadi ciri metrik dalam kasus ruang Euclidean? Satu hal yang sangat penting untuk pengukuran dalam ruang-waktu adalah kemampuan untuk memperkenalkan grid koordinat persegi panjang kaku yang memenuhi seluruh area secara seragam. Grid ini disebut kerangka acuan inersia dalam fisika. Sistem referensi (sistem koordinat) seperti itu berhubungan dengan satu dan hanya satu bentuk standar tensor metrik. Dalam sistem referensi yang bergerak sewenang-wenang relatif terhadap sistem inersia, bentuk tensor metrik berbeda dengan bentuk standar. Dari sudut pandang fisik, peran “reference grid” cukup transparan. Jika Anda memiliki kerangka acuan yang kaku, yang setiap titiknya dilengkapi dengan jam yang sama, yang ada dalam waktu, maka ia hanya mengimplementasikan kisi-kisi tersebut. Untuk ruang kosong, kita cukup menciptakan badan referensi tersebut, menyediakannya (ruang) dengan metrik yang persis sama. Dalam pemahaman ini, tensor metrik, berbeda dengan tensor Euclidean standar, mengatakan bahwa sistem referensi (koordinat) dibangun menggunakan benda tidak kaku, dan mungkin jam juga berjalan secara berbeda pada titik-titiknya. Apa yang saya maksud dengan ini? Tapi faktanya tensor metrik adalah gambaran matematis dari beberapa properti terpenting dari sistem referensi bagi kita. Sifat-sifat yang benar-benar menjadi ciri struktur sistem referensi itu sendiri memungkinkan kita untuk menentukan seberapa “baik” sistem referensi tersebut, seberapa berbedanya dari kerangka ideal – kerangka inersia. Jadi GTR menggunakan tensor metrik persis seperti gambar tersebut. Bagaimana gambar alat ukur yang tersebar pada suatu daerah acuan, kemungkinan berubah orientasinya dari titik ke titik, tetapi mempunyai norma yang sama di mana-mana, umum untuk semua vektor acuan. Metrik, yang dianggap sebagai skalar, adalah norma ini, besarnya skala. Metrik sebagai tensor memungkinkan kita untuk mempertimbangkan gerak relatif sewenang-wenang relatif satu sama lain dari semua skala yang membentuk badan referensi. Dan Relativitas Umum menggambarkan situasi di mana dalam ruang-waktu dimungkinkan adanya suatu badan acuan, nyata atau imajiner.

Pandangan tentang metrik ini tentu saja benar. Selain itu juga produktif karena langsung memusatkan perhatian pada sisa perjanjian di GTR. Memang benar, kita telah mengizinkan adanya kerangka acuan di mana skala pada titik yang berbeda dapat diorientasikan secara berbeda (dalam dunia empat dimensi, orientasi juga mencakup gerak). Dan kami tetap menuntut agar beberapa karakteristik absolut dari skala, norma (interval)nya tetap sama. Akibatnya, pernyataan Relativitas Umum yang mempertimbangkan semua kemungkinan sistem referensi adalah berlebihan. Ini bukanlah relativitas umum dalam teori ini.

1. Ruang titik-titik terisolasi.

Himpunan sewenang-wenang dan

2. Himpunan bilangan real yang mempunyai jarak membentuk ruang metrik.

3. Himpunan kelompok bilangan real terurut c disebut aritmatika dimensi ruang Euclidean.

Bukti.

Untuk membuktikan bahwa suatu ruang adalah metrik, perlu dilakukan pengecekan kepuasan aksioma.

Membiarkan , , .

, , …, , yaitu .

A3. Mari kita periksa apakah aksioma segitiga berlaku. Mari kita tulis aksiomanya dalam bentuk:

Dengan asumsi , , kita memperoleh dan .

Untuk membuktikan pertidaksamaan tersebut digunakan pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky.

Benar-benar,

Akibatnya, aksioma segitiga terpenuhi, dan himpunan yang dipertimbangkan dengan metrik tertentu adalah ruang metrik.

Q.E.D.

4. Himpunan kelompok bilangan real terurut dengan . Ruang metrik ini dilambangkan dengan .

5. Himpunan kelompok bilangan real terurut dengan . Ruang metrik ini dilambangkan dengan .

Contoh 3, 4 dan 5 menunjukkan bahwa stok poin yang sama dapat diukur dengan cara berbeda.

6. Himpunan semua fungsi nyata kontinu yang terdefinisi pada suatu segmen dengan jarak . Ruang metrik ini dinotasikan sebagai himpunan titik-titik dalam ruang itu sendiri: . Secara khusus, mereka menulis bukannya .

7. Melalui menunjukkan ruang metrik, yang titik-titiknya merupakan semua kemungkinan barisan bilangan real yang memenuhi kondisi, dan metrik ditentukan oleh rumus.

Bukti.

Karena itu masuk akal bagi semua orang. Itu. Deret tersebut konvergen jika dan .

Mari kita tunjukkan apa yang memenuhi aksioma tersebut.

Aksioma 1, 2 sudah jelas. Aksioma segitiga akan berbentuk:

Semua deret konvergen.

Ketimpangan ini berlaku bagi siapa saja (lihat contoh 3). Ketika kita mendapatkan pertidaksamaan untuk .

Q.E.D.

8. Perhatikan himpunan semua fungsi yang kontinu pada interval dan . Ruang metrik seperti itu dilambangkan dan disebut ruang fungsi kontinu dengan metrik kuadrat.

9. Perhatikan himpunan semua barisan bilangan real yang dibatasi. Mari kita definisikan. Ruang metrik ini dilambangkan dengan .

10. Himpunan kelompok bilangan real terurut dengan jarak , dimana sembarang bilangan tetap, adalah ruang metrik, dilambangkan dengan .

Metrik yang dipertimbangkan dalam contoh ini berubah menjadi metrik Euclidean untuk (lihat contoh 3) dan menjadi metrik contoh 4 untuk . Dapat ditunjukkan bahwa metrik (lihat contoh 5) adalah kasus yang membatasi.

11. Perhatikan semua kemungkinan barisan bilangan real yang memenuhi syarat , dimana suatu bilangan tetap, dan jaraknya ditentukan oleh rumus . Kami memiliki ruang metrik.

12. Misalkan adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks yang tak terhingga. Mari kita definisikan. Kami memiliki ruang metrik.

Definisi: Misalkan adalah ruang metrik dan menjadi sembarang himpunan bagian dari . Kemudian dengan fungsi yang sama, yang sekarang didefinisikan, disebut ruang metrik subruang ruang angkasa.

Konsep dasar

Mari kita nyatakan ruang metrik dengan .

Definisi: Barisan yang termasuk dalam ruang metrik disebut mendasar, jika masing-masing berkorespondensi dengan suatu bilangan sehingga pertidaksamaannya .

Definisi: Barisan yang termasuk dalam ruang metrik disebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan yang masing-masing berkorespondensi dengan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut berlaku untuk semua. Lalu disebut membatasi urutan.

Dalil: Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut unik.

Bukti.

Memang benar, jika dan , maka . Sejak dan , maka , yaitu. .

Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi: Ruang metrik penuh adalah ruang metrik tempat setiap barisan fundamental berkumpul.

Dalil: Metrik sebagai fungsi dari dua argumen adalah fungsi kontinu, yaitu. jika dan , maka .

Bukti:

Membiarkan , , , .

Berdasarkan pertidaksamaan segitiga:

Dari (1) kita mendapatkan:

Dari (2) kita mendapatkan:

Karena ,

Mari kita nyatakan .

DI DALAM ruang metrik seseorang dapat mempertimbangkan berbagai himpunan, lingkungan titik, titik batas, dan konsep analisis klasik lainnya.

Definisi: Di bawah lingkungan titik berarti himpunan yang memuat bola terbuka berjari-jari yang berpusat di titik , yaitu.

Definisi: Intinya disebut titik batas untuk suatu himpunan jika lingkungan suatu titik memuat paling sedikit satu titik dari , yang berbeda dari .

Definisi: Intinya disebut titik dalam ditetapkan jika termasuk dalam bersama-sama dengan beberapa lingkungannya.

Definisi: Himpunan tersebut disebut membuka, jika hanya terdiri dari titik-titik interior. Himpunan tersebut disebut tertutup dengan sendirinya jika memuat semua titik batasnya.

Ruang metrik ditutup.

Subruang tidak boleh merupakan himpunan bagian tertutup.

Jika kita menambahkan semua titik batasnya, kita mendapatkan penutupan.

Definisi: Himpunan yang terletak pada ruang metrik disebut tertutup, jika bertepatan dengan penutupannya: .

Himpunan tertutup adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat .

Definisi: Membiarkan . Himpunan tersebut disebut ketat di , jika . Himpunan tersebut disebut padat dimana-mana, Jika . Himpunan tersebut disebut tidak ada tempat yang padat, jika apapun bolanya, ada bola lain yang bebas dari poin set tersebut.

Definisi: Suatu ruang disebut dapat dipisahkan jika di dalamnya terdapat himpunan padat yang dapat dihitung dimana-mana.

Dalam analisis matematis, peranan penting dimainkan oleh sifat kelengkapan garis bilangan, yaitu fakta bahwa setiap barisan dasar bilangan real konvergen hingga batas tertentu (kriteria konvergensi Cauchy).

Garis bilangan merupakan contoh ruang metrik lengkap.

Ruang titik-titik terpencil, , , , , , adalah ruang metrik lengkap.

Ruang angkasa belum lengkap.

Analisis ini banyak menggunakan apa yang disebut lemma pada segmen bersarang :

Biarkan menjadi sistem segmen bersarang. Kemudian untuk segmen yang kita miliki.

Artinya semua segmen dari himpunan mempunyai titik yang sama.

Dalam teori ruang metrik, peran serupa dimainkan oleh teorema bola tertanam.

Dalil: Agar suatu ruang metrik menjadi lengkap, maka di dalamnya perlu dan cukup bahwa setiap barisan bola yang saling tertanam, yang jari-jarinya, mempunyai perpotongan tak kosong.

Bukti:

Kebutuhan:

Misalkan merupakan ruang metrik lengkap dan merupakan barisan bola-bola tertutup yang tertanam satu sama lain.

Misal menjadi jari-jari dan a menjadi pusat bola.

Urutan pusat adalah hal yang mendasar, karena di , dan di . Sejak - selesai, lalu. Kalau begitu mari kita taruh. Memang benar, bola berisi semua titik dari barisan tersebut, dengan kemungkinan pengecualian pada titik tersebut. Dengan demikian titik tersebut merupakan titik sentuh (limit point) setiap bola. Namun karena merupakan himpunan tertutup, maka .

Kecukupan:

Biarlah menjadi urutan mendasar. Mari kita buktikan bahwa itu ada batasnya. Karena fundamentalitasnya, kita dapat memilih suatu titik dalam barisan sedemikian rupa sehingga untuk semua . Mari kita ambil titik tersebut sebagai pusat dari bola berjari-jari tertutup. , tertanam satu sama lain, dan bola - beberapa bola tertutup berjari-jari berisi titik tertentu dengan penyelesaian