Trenuci otpora. Momenti inercije presjeka grede Proračun momenta inercije pravokutnog presjeka

Prilikom provjere čvrstoće dijelova konstrukcije nailazimo na presjeke prilično složenih oblika, za koje je nemoguće izračunati moment inercije na tako jednostavan način kao što smo koristili za pravougaonik i krug.

Takav presek može biti, na primer, T-šip (slika 5 A) prstenasti presjek cijevi podložan savijanju (avionske konstrukcije) (Sl. 5, b), prstenastog presjeka rukavca vratila ili još složenijih presjeka. Svi ovi dijelovi mogu se podijeliti na jednostavne, kao što su pravokutnici, trouglovi, krugovi itd. Može se pokazati da je moment inercije tako složene figure zbir momenata inercije dijelova na koje je dijelimo.

Fig.5. T-presjeci - a) i prsten b)

Poznato je da je moment inercije bilo koje figure u odnosu na osu at— at je jednako:

Gdje z— udaljenost elementarnih jastučića do ose at—at.

Podijelimo uzeto područje na četiri dijela: , , i . Sada, prilikom izračunavanja momenta inercije, možete grupirati članove u funkciji integranda tako da zasebno izvršite zbrajanje za svaku od četiri odabrana područja, a zatim saberete ove sume. Ovo neće promijeniti vrijednost integrala.

Naš integral će biti podijeljen na četiri integrala, od kojih će svaki pokrivati ​​jedno od područja, , i:

Svaki od ovih integrala predstavlja moment inercije odgovarajućeg dijela površine u odnosu na osu at— at; Zbog toga

gdje je moment inercije oko ose at — at područje, - isto za područje itd.

Dobiveni rezultat može se formulirati na sljedeći način: moment inercije složene figure jednak je zbroju momenata inercije njenih sastavnih dijelova. Dakle, moramo biti u stanju da izračunamo moment inercije bilo koje figure u odnosu na bilo koju osu koja leži u njenoj ravni.

Rješenje ovog problema je sadržaj ovog i naredna dva intervjua.

Momenti inercije oko paralelnih ose.

Zadatak dobivanja najjednostavnijih formula za izračunavanje momenta inercije bilo koje figure u odnosu na bilo koju os bit će riješen u nekoliko koraka. Ako uzmemo niz osi paralelnih jedna s drugom, ispada da lako možemo izračunati momente inercije figure u odnosu na bilo koju od ovih osa, znajući njen moment inercije oko ose koja prolazi kroz težište figure. paralelno sa odabranim osama.

Fig.1. Proračunski model za određivanje momenata inercije za paralelne ose.

Osi koje prolaze kroz centar gravitacije nazvat ćemo centralne osovine. Uzmimo (slika 1) proizvoljnu cifru. Nacrtajmo centralnu osu OU, nazvaćemo moment inercije oko ove ose . Nacrtajmo os u ravnini figure paralelno sjekire at na udaljenosti od nje. Nađimo odnos između i - momenta inercije oko ose. Da bismo to učinili, napisat ćemo izraze za i . Podijelimo površinu figure na područja; udaljenosti svake takve platforme do osi at i hajde da pozovemo i . Onda

Sa slike 1 imamo:

Prvi od ova tri integrala je moment inercije oko centralne ose OU. Drugi je statički moment oko iste ose; jednaka je nuli, pošto je osa at prolazi kroz težište figure. Konačno, treći integral jednak je površini figure F. dakle,

(1)

to jest, moment inercije oko bilo koje ose jednak je momentu inercije oko centralne ose paralelne datoj, plus proizvod površine figure i kvadrata udaljenosti između osi.

To znači da je naš zadatak sada sveden na izračunavanje samo centralnih momenata inercije; ako ih poznajemo, možemo izračunati moment inercije oko bilo koje druge ose. Iz formule (1) slijedi da centralno moment inercije je najmanji među momentima inercije oko paralelnih osa i za njega dobijamo:

Nađimo i centrifugalni moment inercije oko osa paralelnih sa centralnim, ako je poznat (slika 1). Pošto po definiciji

gdje: , onda slijedi

Pošto posljednja dva integrala predstavljaju statičke momente površine oko centralnih ose OU I Oz onda nestaju i stoga:

(2)

Centrifugalni moment inercije u odnosu na sistem međusobno okomitih osa paralelnih središnjim jednak je centrifugalnom momentu inercije u odnosu na ove centralne ose plus proizvod površine figure i koordinata njenog težišta u odnosu na nove ose.

Zavisnost između momenata inercije pri okretanju osi.

Možete nacrtati onoliko centralnih osa koliko želite. Postavlja se pitanje da li je moguće izraziti moment inercije oko bilo koje centralne ose u zavisnosti od momenta inercije oko jedan ili dva siguran sjekire. Da bismo to učinili, pogledajmo kako će se momenti inercije promijeniti oko dvije međusobno okomite ose kada se rotiraju pod kutom.

Uzmimo figuru i povucimo je kroz njeno težište O dvije međusobno okomite ose OU I Oz(Sl.2).

Fig.2. Proračunski model za određivanje momenata inercije za rotirane ose.

Upoznajmo aksijalne momente inercije oko ovih osa, kao i centrifugalni moment inercije. Nacrtajmo drugi sistem koordinatnih osa i nagnutih prema prvom pod uglom; razmotrit ćemo pozitivan smjer ovog ugla pri rotiranju osi oko tačke O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Porijeklo O spasiti. Izrazimo momente u odnosu na drugi sistem koordinatnih osa i , kroz poznate momente inercije i .

Napišimo izraze za momente inercije oko ovih osa:

Isto tako:

Da biste riješili probleme, možda će vam trebati formule za prijelaz s jedne osi na drugu za centrifugalni moment inercije. Prilikom rotacije osi (slika 2) imamo:

gdje su i izračunate korištenjem formula (14.10); Onda

Nakon transformacije dobijamo:

(7)

Dakle, da biste izračunali moment inercije oko bilo koje centralne ose, morate znati momente inercije na sistem bilo koje dvije međusobno okomite centralne ose OU I Oz, centrifugalni moment inercije u odnosu na iste ose i ugao nagiba ose prema osi at.

Da biste izračunali vrijednosti >, morate odabrati ove osi at I z i podijelite površinu figure na takve sastavne dijelove kako biste mogli napraviti ovaj proračun, koristeći samo formule za prijelaz sa središnjih osa svakog od sastavnih dijelova na ose paralelne s njima. Kako to učiniti u praksi bit će prikazano u nastavku na primjeru. Imajte na umu da se u ovom proračunu složene figure moraju podijeliti na takve elementarne dijelove za koje su, ako je moguće, poznate vrijednosti središnjih momenata inercije u odnosu na sistem međusobno okomitih osa.

Imajte na umu da se napredak derivacije i dobijeni rezultati ne bi promijenili da je ishodište koordinata uzeto ne u centru gravitacije presjeka, već u bilo kojoj drugoj tački O. Dakle, formule (6) i (7) su formule za prelazak iz jednog sistema međusobno okomitih osa u drugi, rotiranih za određeni ugao, bez obzira da li su to centralne ose ili ne.

Iz formula (6) može se dobiti još jedan odnos između momenata inercije pri okretanju osi. Zbrajanjem izraza za i dobijamo

tj. zbir momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite ose at I z se ne mijenja kada se rotiraju. Zamjenom posljednjeg izraza umjesto i njihovih vrijednosti, dobijamo:

gdje je udaljenost lokacija dF od tačke O. Količina je, kao što je već poznato, polarni moment inercije presjeka u odnosu na tačku O.

Dakle, polarni moment inercije presjeka u odnosu na bilo koju tačku jednak je zbroju aksijalnih momenata inercije u odnosu na međusobno okomite ose koje prolaze kroz ovu tačku. Stoga, ova suma ostaje konstantna kada se osi rotiraju. Ova zavisnost (14.16) može se koristiti za pojednostavljenje izračunavanja momenata inercije.

Dakle, za krug:

Pošto je po simetriji za kružnicu onda

koji je gore dobijen integracijom.

Slično, za prstenasti profil sa tankim zidovima može se dobiti:

Glavne ose inercije i glavni momenti inercije.

Kao što je već poznato, znajući središnje momente inercije i za datu figuru, možete izračunati moment inercije u odnosu na bilo koju drugu os.

U ovom slučaju moguće je kao glavni sistem osa uzeti takav sistem u kojem su formule značajno pojednostavljene. Naime, moguće je pronaći sistem koordinatnih osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli. U stvari, momenti inercije su uvijek pozitivni, kao zbir pozitivnih članova, ali centrifugalni moment

može biti i pozitivan i negativan, budući da su uslovi zydF može biti različitog predznaka u zavisnosti od znakova z I at za jednu ili drugu lokaciju. To znači da može biti jednako nuli.

Zovu se osi oko kojih centrifugalni moment inercije nestaje glavne osovine inercija. Ako se početak takvog sistema postavi u centar gravitacije figure, onda će to biti glavne centralne ose. Označit ćemo ove ose i ; za njih

Nađimo pod kojim su uglom glavne ose nagnute u odnosu na centralne ose y i z (slika 198).

Fig.1. Proračunski model za određivanje položaja glavnih osi inercije.

U dobro poznatom izrazu za kretanje od osi yz osi, za centrifugalni moment inercije kutu dajemo vrijednost; tada će se osi i poklapati s glavnim, a centrifugalni moment inercije će biti jednak nuli:

(1)

Ovu jednačinu zadovoljavaju dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 180°, ili dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 90°. Dakle, ova jednačina nam daje poziciju dvije ose, formirajući jedan s drugim pravi ugao. To će biti glavne centralne ose i , za koje .

Koristeći ovu formulu, možete koristiti one poznate da biste dobili formule za glavne momente inercije i . Da bismo to učinili, ponovo koristimo izraze za aksijalne momente inercije u općem položaju. Oni određuju vrijednosti i ako ih zamijenimo

(2)

Rezultirajući odnosi mogu se koristiti za rješavanje problema. Jedan od glavnih momenata inercije je drugi.

Formule (2) se mogu transformirati u oblik bez vrijednosti . Izražavajući i kroz i zamjenjujući njihove vrijednosti u prvu formulu (2), dobijamo, dok istovremeno vršimo zamjenu iz formule (1):

Zamjenjujući ovdje razlomak iz formule (1) sa

dobijamo

(3)

Do istog se izraza može doći izvođenjem slične transformacije druge formule (3).

Za glavni sistem centralnih osa, od kojih se može preći na bilo koju drugu, može se uzeti OU I Oz, i glavne ose i ; tada se centrifugalni moment inercije () neće pojaviti u formulama. Označimo ugao koji čini os , (slika 2) sa glavnom osom, sa . Da biste izračunali , i , krećući se od osi i , trebate zamijeniti kut kroz , a , i u prethodno pronađenim izrazima za , i , i , i . Kao rezultat dobijamo:

Po izgledu su ove formule potpuno slične formulama za normalna i posmična naprezanja duž dva međusobno okomita područja u elementu podvrgnutom zatezanju u dva smjera. Naznačićemo samo formulu koja nam omogućava da između dvije vrijednosti ugla odaberemo onaj koji odgovara odstupanju prve glavne ose (dajući maks. J) od početne pozicije ose at:

Sada konačno možemo formulirati šta treba učiniti da bismo na najjednostavniji način mogli izračunati moment inercije figure u odnosu na bilo koju osu. Potrebno je povući osi kroz centar gravitacije figure OU I Oz tako da, rastavljajući figuru na njene najjednostavnije dijelove, možemo lako izračunati momente koji prolaze na udaljenosti (slika 2) od centra gravitacije:

U mnogim slučajevima moguće je odmah nacrtati glavne ose figure; ako figura ima os simetrije, onda će to biti jedna od glavnih osi. Zapravo, prilikom izvođenja formule, već smo se bavili integralom, a to je centrifugalni moment inercije presjeka u odnosu na osi at I z; dokazano je da ako os Oz je osa simetrije, ovaj integral nestaje.

Dakle, u ovom slučaju osi OU I Oz su main središnje osi inercije presjeka. dakle, osa simetrije- uvijek glavna centralna osa; sekunda Dom centralna os prolazi kroz težište okomito na os simetrije.

Primjer. Naći momente inercije pravougaonika (slika 3) u odnosu na ose i jednaki su:

Momenti inercije oko osi i jednaki su:

Centrifugalni moment inercije je jednak.

Hajde da uvedemo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem O xy. Razmotrimo proizvoljan presek (zatvoreno područje) sa površinom A u koordinatnoj ravni (slika 1).

Statički momenti

Tačka C sa koordinatama (x C , y C)

pozvao težište preseka.

Ako koordinatne ose prolaze kroz centar gravitacije presjeka, tada su statički momenti presjeka jednaki nuli:

Aksijalni momenti inercije presjeci u odnosu na ose x i y nazivaju se integrali oblika:

Polarni moment inercije presek u odnosu na ishodište koordinata naziva se integral oblika:

Centrifugalni moment inercije sekcija se naziva integralom oblika:

Glavne osi inercije presjeka nazivaju se dvije međusobno okomite ose, u odnosu na koje je I xy = 0. Ako je jedna od međusobno okomitih osa osa simetrije presjeka, tada je I xy =0 i stoga su ove ose glavne. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne osi inercije presjeka

2. Steiner-Huygensova teorema o paralelnom prevođenju osa

Steiner-Huygens teorem (Steinerova teorema).
Aksijalni moment inercije presjeka I u odnosu na proizvoljnu fiksnu osu x jednak je zbiru aksijalnog momenta inercije ovog presjeka I sa relativnom osom x * paralelnom s njom, koja prolazi kroz centar mase presjeka, i proizvod površine poprečnog presjeka A na kvadrat udaljenosti d između dvije ose.

Ako su poznati momenti inercije I x i I y u odnosu na osi x i y, tada se u odnosu na osi ν i u zakrenute za ugao α, aksijalni i centrifugalni momenti inercije izračunavaju pomoću formula:

Iz gornjih formula jasno je da

One. zbir aksijalnih momenata inercije pri rotiranju međusobno okomitih osa se ne mijenja, tj. osi u i v, u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli, a aksijalni momenti inercije I u i I v imaju ekstremne vrijednosti max ili min, nazivaju se glavne ose presjeka. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose preseka. Za simetrične preseke, njihove ose simetrije su uvek glavne centralne ose. Položaj glavnih osi presjeka u odnosu na druge ose određuje se pomoću odnosa:

gdje je α 0 ugao za koji se x i y ose moraju zarotirati kako bi postale glavne (pozitivni ugao se obično postavlja suprotno od kazaljke na satu, negativan ugao u smeru kazaljke na satu). Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercije:

Znak plus ispred drugog člana odnosi se na maksimalni moment inercije, a znak minus na minimum.

Aksijalni moment inercije je zbir proizvoda elementarnih površina i kvadrata udaljenosti do određene ose koja leži u ravnini razmatranog presjeka uzet po cijelom presjeku. Veličina aksijalnog momenta inercije karakterizira sposobnost grede da se odupre deformaciji savijanja.

J – Aksijalni moment inercije

J x =

J y =

Aksijalni moment otpora naziva se omjer aksijalnog momenta inercije prema udaljenosti do vlakana presjeka koji je najudaljeniji od neutralne ose.

W – Aksijalni moment otpora.

W x = , W y =

Polarni moment inercije se zove, preuzet preko cijelog presjeka, zbir proizvoda elementarnih površina kvadratima njihovih udaljenosti do težišta presjeka, tj. dok se koordinatne ose ne ukrste.

Polarni moment inercije karakterizira sposobnost dijela da se odupre torzijskoj deformaciji.

Polarni moment inercije.

= .

Polarni moment otpora naziva se omjer polarnog momenta inercije i udaljenosti do najudaljenijih tačaka presjeka od težišta presjeka koji se razmatra.

Polarni moment otpora

1. Pravokutni presjek.

J y = (mm 4), J x = (mm 4)

W x = (mm 3), W y = (mm 3)

2. Okrugla sekcija

J x = J y = (mm 4), = (mm 4)

W y = W x = (mm 3), = (mm 3)

3. Prstenasti dio

J x = J y = - = (mm 4) , α=d/D

W y = W x = (mm 3)

= (mm 4)

=(mm 3)

4. Kutijska sekcija.

J x = =(mm 4)

J y = =(mm 4)

W x = (mm 3)

W y = (mm 3)

Proračun dijelova s ​​ravnomjernom raspodjelom naprezanja.

Ova vrsta dijelova uključuje šipke sa ušicama i klinovima, kao i hidraulične i pneumatske cilindre i druge posude pod pritiskom, bimetalne elemente (termički releji).

Proračun vuče.

1) Na štap se primjenjuje sila zatezanja F.

Vučna šipka percipira uzdužno opterećenje, pod čijim se utjecajem rasteže. U ovom slučaju, veličina apsolutnog izduženja određena je proširenim Hookeovim zakonom:

σ r =Eε. , σ r =F/A, , σ r =F/A<=[ σ р ]= σ T / n -

stanje vlačne čvrstoće, (A=H*B, A=).

Kao rezultat interakcije s prstom, ušice se zgnječe preko kontaktne površine.

Stanje čvrstoće ležaja:

σ cm =F/A<=[σ см ]= 2σ T / n , A=d*b.

Prsti su izračunati za smicanje iz interakcije s očima:

τ av =F/A<=[τ ср ]= 0,5σ T / n; A=*i, i - количество платежей среза (i=2).

2) Na štap se primjenjuje sila pritiska F2.

Potisna šipka radi u kompresiji. Veličina apsolutnog skraćenja također je određena Hookeovim zakonom:

σ sa =F/A<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n. – Для коротких стержней тяги.

Duga štap - kada dužina prelazi 3 puta jednu od dimenzija poprečnog presjeka. Ovdje postoji mogućnost trenutnog savijanja šipke.

σ s =<=[σ с ]=[σ р ]=σ T / n, φ – коэффициент продольного изгиба, величина табличная – зависит от материала, гибкости стержня и характера закрепления концов стержня.

Ušica i prsti se izračunavaju slično prethodnom proračunu.

Proračun posuda tankih stijenki.

Tankozidne posude uključuju hidraulične i pneumatske cilindre, prijemnike, cjevovode itd.

U zavisnosti od oblika, posude su:

cilindrični (hidraulični i pneumatski cilindri, neke vrste prijemnika, cjevovodi);

sferni (neke vrste prijemnika, dna i poklopca cilindričnih posuda, membrana itd.);

torus (krivolinijski dijelovi cjevovoda, osjetljivi elementi pokazivača manometra).

U svim posudama, pod utjecajem unutrašnjih sila tekućine ili plina, nastaju naprezanja u zidovima u uzdužnom i poprečnom presjeku.

Cilindrične posude.

Tanka cilindrična školjka opterećena je unutrašnjim pritiskom P. - Izračunato kao poprečni presjek cilindra.

Torusne posude.

Računaju se kao zakrivljeni cilindrični.

15.10.04 Proračun napona koji nastaju pri promjenama temperature.

Kada temperatura fluktuira, dio fiksiran između krutih nosača doživljava tlačnu ili vlačnu deformaciju. Kada se temperatura poveća (smanji) za Dt, štap se mora produžiti (skratiti) za iznos apsolutnog izduženja (skraćivanja):

Dl= at* l* Dt, gdje je a t temperaturni koeficijent linearnog širenja (za čelik 12*10 -6 °C -1), zatim vrijednost apsolutnog izduženja (skraćenja): Δε t = Δ l t / l = α t* Dt, ali zato Budući da je štap čvrsto fiksiran, ne može se produžiti (skratiti), pa će se u njegovom materijalu pojaviti naprezanja kompresije (zatezanja), čije su vrijednosti određene Hookeovim zakonom:

σ s,r =E*ε t =E*α t *Δt.

Aksijalni moment otpora- omjer momenta inercije oko ose i udaljenosti od nje do najudaljenije tačke presjeka. [cm 3, m 3]

Posebno su važni momenti otpora u odnosu na glavne centralne ose:

pravougaonik:
; krug: W x =W y =
,

cevni presjek (prsten): W x =W y =
, gdje je = d N /d B .

Polarni moment otpora - omjer polarnog momenta inercije i udaljenosti od pola do najudaljenije tačke presjeka:
.

Za kružnicu W r =
.

Torzija

T

Ova vrsta deformacije u kojoj se javlja samo jedan moment u poprečnim presjecima - Mk predznak momenta Mk je pogodno određen smjerom vanjskog momenta. Ako je, gledano sa strane presjeka, vanjski moment usmjeren u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je M k >0 (pronađeno je i suprotno pravilo). Kada dođe do torzije, jedan dio se rotira u odnosu na drugi za ugao zaokreta-. Kada je okrugla greda (osovina) torzionirana, nastaje naponsko stanje čistog smicanja (nema normalnih napona), nastaju samo tangencijalna naprezanja. Pretpostavlja se da su sekcije ravne prije uvijanja i ostaju ravne nakon uvijanja - zakon ravnih presjeka. Tangencijalni naponi u točkama poprečnog presjeka variraju proporcionalno udaljenosti tačaka od ose. Iz Hookeovog zakona pod posmikom: =G, G - modul smicanja,
,
- polarni moment otpora kružnog presjeka. Tangencijalna naprezanja u centru su nula što je dalje od centra, to su veća. Ugao zaokreta
,GJ p - torzijska krutost.
-relativni ugao zaokreta. Potencijalna energija tokom torzije:
. Stanje snage:
, [] = , za plastični materijal  se pretpostavlja da je granica popuštanja  t, za krhki materijal –  in je vlačna čvrstoća, [n] je faktor sigurnosti. Uvjet torzijske krutosti:  max [] – dozvoljeni ugao torzije.

Torzija pravougaone grede

P U ovom slučaju krši se zakon ravnih presjeka, ne-kružni presjeci se savijaju tokom torzije - deplanation presjek.

Dijagrami tangencijalnih napona pravokutnog presjeka.

;
,J k i W k se konvencionalno nazivaju momentom inercije i momentom otpora tokom torzije. W k = hb 2,

J k = hb 3 , Maksimalni tangencijalni naponi  max će biti na sredini duge strane, naponi na sredini kratke strane: =  max , koeficijenti: ,, dati su u priručniku zavisno od omjera h/b (na primjer, sa h/b=2, =0,246; =0,229;

Bend

P
ravna (ravna) krivina- kada moment savijanja djeluje u ravni koja prolazi kroz jednu od glavnih centralnih osa inercije presjeka, tj. sve sile leže u ravni simetrije grede. Glavne hipoteze(pretpostavke): hipoteza o nepritisku uzdužnih vlakana: vlakna paralelna s osi grede doživljavaju vlačno-tlačnu deformaciju i ne vrše pritisak jedno na drugo u poprečnom smjeru; hipoteza ravnih presjeka: presjek grede koji je ravan prije deformacije ostaje ravan i normalan na zakrivljenu os grede nakon deformacije. U slučaju ravnog savijanja, općenito, interni faktori snage: uzdužna sila N, poprečna sila Q i moment savijanja M. N>0, ako je uzdužna sila zatezna; pri M>0, vlakna na vrhu grede se sabijaju, a vlakna na dnu se rastežu. .

WITH
poziva se sloj u kojem nema ekstenzija neutralni sloj(osa, linija). Za N=0 i Q=0, imamo slučaj čisto savijanje. Normalni naponi:
, je polumjer zakrivljenosti neutralnog sloja, y je udaljenost od nekog vlakna do neutralnog sloja. Hookeov zakon u savijanju:
, odakle (Navier formula):
,J x - moment inercije presjeka u odnosu na glavnu središnju osu okomitu na ravan momenta savijanja, EJ x - krutost savijanja, - zakrivljenost neutralnog sloja.

M
Maksimalna naprezanja savijanja javljaju se u tačkama koje su najudaljenije od neutralnog sloja:
,J x /y max =W x - moment otpora presjeka pri savijanju,
. Ako presjek nema horizontalnu os simetrije, tada dijagram normalnog naprezanja neće biti simetričan. Neutralna os presjeka prolazi kroz težište presjeka. Formule za određivanje normalnog naprezanja za čisto savijanje približno su važeće čak i kada je Q0. Ovo je slučaj poprečno savijanje. Prilikom poprečnog savijanja, osim momenta savijanja M, djeluje i poprečna sila Q te u presjeku nastaju ne samo normalna , već i tangencijalna  naprezanja. Određena su posmična naprezanja Zhuravskyova formula:
, gdje je S x (y) statički moment u odnosu na neutralnu osu onog dijela područja koji se nalazi ispod ili iznad sloja koji se nalazi na udaljenosti “y” od neutralne ose; J x - moment inercije Ukupno poprečni presjek u odnosu na neutralnu osu, b(y) je širina presjeka u sloju na kojem se određuju posmični naponi.

D
Za pravougaoni presjek:
,F=bh, za kružni presjek:
,F=R 2, za presjek bilo kojeg oblika
,

k-koeficijent, u zavisnosti od oblika presjeka (pravougaonik: k= 1,5; krug - k= 1,33).

M

max i Q max određuju se iz dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila. Da biste to učinili, greda se reže na dva dijela i jedan od njih se ispituje. Djelovanje odbačenog dijela zamjenjuje se unutrašnjim faktorima sile M i Q, koji se određuju iz jednačina ravnoteže. Na nekim univerzitetima se trenutak M>0 odlaže naniže, tj. Dijagram momenta je konstruisan na rastegnutim vlaknima. Kod Q = 0 imamo ekstremum dijagrama momenta. Diferencijalne zavisnosti između M,QIq:

q - raspoređeni intenzitet opterećenja [kN/m]

Glavna naprezanja pri poprečnom savijanju:

.

Proračun čvrstoće na savijanje: dva uslova čvrstoće koja se odnose na različite tačke grede: a) prema normalnim naponima
, (tačke najudaljenije od C); b) tangencijalnim naponima
, (tačke na neutralnoj osi). Iz a) odredite dimenzije grede:
, koje se provjeravaju sa b). U presjecima greda mogu postojati točke gdje istovremeno postoje velika normalna i velika posmična naprezanja. Za ove tačke se nalaze ekvivalentni naponi, koji ne bi trebali prelaziti dozvoljene. Uslovi čvrstoće se testiraju u odnosu na različite teorije čvrstoće

1.:
;II-ti: (sa Poissonovim omjerom=0,3); - retko se koristi.

Mohrova teorija:
(koristi se za liveno gvožđe, koje ima dozvoljeno zatezno naprezanje [ r ][ s ] – pri kompresiji).

Za jednostavne presjeke, statički momenti i momenti inercije nalaze se pomoću formula (2.1)-(2.4) korištenjem integracije. Razmotrimo, na primjer, izračunavanje aksijalnog momenta inercije J x za proizvoljan presek prikazan na sl. 2.9. S obzirom da je u pravougaonom koordinatnom sistemu element površine dF=dxdy, dobijamo

gdje je x^(y) i x u (y) - koordinate konturnih tačaka na nekoj fiksnoj vrijednosti u.

Izvodeći integraciju preko x, nalazimo

Magnituda b(y) predstavlja širinu presjeka na nivou at(vidi sliku 2.9) i proizvod b(y)dy = dF - područje osjenčane elementarne trake paralelno s osi Oh. Uzimajući ovo u obzir, formula za / se pretvara u oblik

Sličan izraz se može dobiti za moment inercije Jy.

Pravougaonik. Nađimo momente inercije oko glavnih centralnih ose, koje se, u skladu sa svojstvom 2 (§ 2.5), poklapaju sa osa simetrije pravougaonika (slika 2.10). Kako je širina presjeka konstantna, onda pomoću formule (2.14) dobijamo

Moment inercije oko ose Oh x x x određujemo po prvoj od formula (2.6):

Momenti inercije / i J nalaze se slično. Zapišimo formule za aksijalne momente inercije pravokutnika:

Proizvoljni trougao. Prvo, pronađimo moment inercije oko ose 0 ( x v prolazeći kroz osnovu trougla (slika 2.11). Širina preseka b(y()) na nivou y ( nalazi se iz sličnosti trokuta:

Zamjenom ove količine u formulu (2.14) i integracijom dobijamo

Trenuci o sjekirama Oh I 0 2 x 2, paralelno sa bazom i prolazeći kroz težište i kroz vrh trokuta, respektivno, nalazimo pomoću formula (2.6):

U ovim formulama b ( =h/ 3 i b 2 = -2h/3 - ordinate težišta trougla O u koordinatnom sistemu O x x 1 y 1 I 0 2 x 2 y t

1 ° 2 r G* aU 1

TL P *2

g >4™_ °2 1

D__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Lt^

U_ U-_XI - UZ__u

O,| b *, 0 b/ b 2 %*1

Rice. 2.11 Rice. 2.12

Napišimo formule za aksijalne momente inercije trokuta u odnosu na ose paralelne bazi:

Pravi i jednakokraki trouglovi. Za pravokutni trokut (slika 2.12) određujemo centrifugalni moment inercije J u odnosu na centralne ose Oh I OU, paralelno sa nogama. To se može učiniti pomoću formule (2.3). Međutim, rješenje problema može se pojednostaviti primjenom sljedeće tehnike. Koristeći medijanu 0 { 0 3 podijeliti dati trougao na dva jednakokračna trougla 0 ( 0 3 A I Ofi 3 B. Osi 0 3 x 3 i 0 3 y 3 su ose simetrije za ove trouglove i, na osnovu svojstva 2 (§ 2.5), bit će glavne ose svakog od njih posebno, a time i cijelog trougla O x AB. Dakle, centrifugalni moment inercije J=0. Centrifuga-

moment trougla oko osi Oh I OU nalazimo koristeći posljednju od formula (2.6):

Zapišimo formule za momente inercije pravokutnog trokuta:

Moment inercije jednakokračnog trougla oko ose simetrije OU(Sl. 2.13) definišemo, koristeći četvrtu od formula (2.17), kao udvostručeni moment inercije pravouglog trougla sa osnovom h i visina b/ 2:

Dakle, momenti inercije jednakokračnog trougla oko glavnih centralnih osa Oh I OU određena formulama

Krug. Prvo, pogodno je izračunati polarni moment inercije kružnice koristeći formulu (2.4), koristeći polarni koordinatni sistem (slika 2.14).

S obzirom na to dF-rdrdQ, naći ćemo

Pošto je polarni moment prema (2.4) jednak zbiru dva aksijalna momenta, dobijamo

Prsten. Momenti inercije prstena (slika 2.15) nalaze se kao razlika između momenata inercije dva kruga poluprečnika I 2 I R ( :

Polukrug(pirinač. 2.16). Odaberimo element površine u ravni polukruga dF sa polarnim koordinatama G, 0 i kartezijanske koordinate x v y v za koje, u skladu sa sl. 2.16 imamo:

Koristeći formule (2.1) i (2.5), nalazimo, respektivno, statički moment polukruga u odnosu na osu 0 ( x ( i ordinata u 0 centru gravitacije O u koordinatnom sistemu 0 ( x ( Uy

U odnosu na ose 0, x i 0 ( y v koje su glavne ose za polukrug, aksijalni momenti inercije jednaki su polovini momenata inercije kružnice:

Moment inercije oko glavne centralne ose određuje se pomoću prve formule (2.6):

Elipsa. Izračunati aksijalni moment inercije elipse sa poluosama A I b u odnosu na osu Oh(Sl. 2.17) postupimo na sljedeći način. Nacrtajmo krug oko elipse i izaberemo dvije elementarne pruge širine dx i visina 2uk za krug i 2 uh za elipsu. Momenti inercije ove dvije trake mogu se odrediti prvom od formula (2.15) za pravougaonik:

Integriranje ovih izraza u rasponu od -A prije A, dobijamo

Rice. 2.16

Rice. 2.17

Iz jednačina kružnice i elipse imamo

Imajući ovo na umu

Sličan izraz se može dobiti za moment inercije oko ose OU. Kao rezultat, za elipsu ćemo imati sljedeće formule za aksijalne momente:

Valjane šipke. Geometrijske karakteristike presjeka valjanih šipki (I-grede, kanali, uglovi) date su u tabelama sortimenata valjanog čelika (vidi prilog).