Deterministik signalning quvvat spektral zichligi. Signal quvvatining spektral zichligini baholash usullari Quvvat spektral zichligi

Signal bering s(t) davriy bo'lmagan funksiya sifatida ko'rsatilgan va u faqat intervalda mavjud (( t 1 ,t 2) (misol - bitta zarba). Keling, ixtiyoriy vaqtni tanlaylik T, shu jumladan interval ( t 1 ,t 2) (1-rasmga qarang).

dan olingan davriy signalni belgilaylik s(t), sifatida ( t). Keyin buning uchun Furye seriyasini yozishimiz mumkin

Funktsiyaga o'tish uchun s(t) ifodasida ( t) davrni cheksizlikka yo'naltirish. Bunday holda, chastotalar bilan harmonik komponentlar soni w=n 2p/T cheksiz katta bo'ladi, ular orasidagi masofa nolga moyil bo'ladi (cheksiz kichik qiymatga:

komponentlarning amplitudalari ham cheksiz kichik bo'ladi. Shuning uchun bunday signalning spektri haqida endi gapirish mumkin emas, chunki spektr uzluksiz bo'ladi.

Ichki integral chastotaning funktsiyasidir. U signalning spektral zichligi yoki signalning chastotali javobi deb ataladi va ya'ni belgilanadi.

Umumiylik uchun integratsiya chegaralarini cheksiz deb belgilash mumkin, chunki s(t) nolga, integral esa nolga teng bo'lgan joyda hammasi bir xil.

Spektral zichlik ifodasi to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi deb ataladi. Teskari Furye konvertatsiyasi signalning vaqt funksiyasini uning spektral zichligidan aniqlaydi

To'g'ridan-to'g'ri (*) va teskari (**) Furye o'zgarishlari birgalikda Furye o'zgarishlari deb ataladi. Spektral zichlik moduli

signalning amplituda-chastota javobini (AFC) va uning argumentini aniqlaydi signalning faza-chastota javobi (PFC) deb ataladi. Signalning chastotali javobi juft funktsiya, fazaviy javob esa toq.

Modulning ma'nosi S(w) cheksiz tor chastota diapazonidagi 1 Gts uchun signalning amplitudasi (oqim yoki kuchlanish) sifatida belgilanadi, bu ko'rib chiqilayotgan chastotani o'z ichiga oladi. w. Uning o'lchami [signal/chastota].

Signalning energiya spektri. Agar s(t) funksiyasi Furye signalining quvvat zichligiga ega ( signal energiyasining spektral zichligi) ifoda bilan aniqlanadi:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Quvvat spektri W()-haqiqiy manfiy bo'lmagan juft funksiya bo'lib, u odatda energiya spektri deb ataladi. Quvvat spektri, signalning spektral zichligi modulining kvadrati sifatida, uning chastota komponentlari haqida faza ma'lumotlarini o'z ichiga olmaydi va shuning uchun quvvat spektridan signalni qayta qurish mumkin emas. Bu, shuningdek, har xil fazaviy xususiyatlarga ega signallar bir xil quvvat spektrlariga ega bo'lishi mumkinligini anglatadi. Xususan, signalning siljishi uning quvvat spektrida aks etmaydi. Ikkinchisi energiya spektrining ifodasini to'g'ridan-to'g'ri ifodalardan (5.2.7) olish imkonini beradi. Limitda t 0 siljishi bilan bir xil u(t) va v(t) signallari uchun Wuv () spektrining xayoliy qismi nol qiymatlarga, haqiqiy qismi esa spektr modulining qiymatlariga intiladi. . Signallarning to'liq vaqtinchalik kombinatsiyasi bilan bizda:

bular. signal energiyasi uning chastota spektrining kvadrat modulining integraliga - uning chastota komponentlari energiyasining yig'indisiga teng va har doim haqiqiy qiymatdir.

Ixtiyoriy signal uchun s(t) tenglik

odatda Parseval tengligi deb ataladi (matematikada - Plancherel teoremasi, fizikada - Reyli formulasi). Tenglik aniq, chunki koordinatalar va chastota ko'rinishlari aslida bir xil signalning turli xil matematik ko'rinishlaridir. Xuddi shunday ikkita signalning o'zaro ta'sir energiyasi uchun:

Parseval tengligidan kelib chiqadiki, signallarning skalyar mahsuloti va Furye konvertatsiyasiga nisbatan norma o'zgarmasdir:

Signallarni yozib olish va uzatishning bir qator sof amaliy muammolarida signalning energiya spektri juda katta ahamiyatga ega. Davriy signallar spektral mintaqaga Furye qatori shaklida tarjima qilinadi. T davriga ega davriy signalni kompleks shaklda Furye qatori shaklida yozamiz:

0-T oralig'i barcha integral ko'rsatkichlari davrlarining butun sonini o'z ichiga oladi va nolga teng, k = -m da ko'rsatkichdan tashqari, integral T ga teng. Shunga ko'ra, a ning o'rtacha kuchi. davriy signal uning Furye seriyasi koeffitsientlarining kvadrat modullari yig'indisiga teng:

Signalning energiya spektri - bu harmonik bo'lmagan signalni tashkil etuvchi asosiy signallarning energiyasini chastota o'qi bo'yicha taqsimlash. Matematik jihatdan signalning energiya spektri spektral funktsiya modulining kvadratiga teng:

Shunga ko'ra, amplituda-chastota spektri chastota o'qidagi asosiy signallarning tarkibiy qismlarining amplitudalari to'plamini, faza-chastota spektri esa fazalar to'plamini ko'rsatadi.

Spektral funktsiyaning moduli ko'pincha deyiladi amplituda spektri, va uning argumenti faza spektri.

Bundan tashqari, teskari Furye transformatsiyasi mavjud bo'lib, uning spektral funktsiyasini bilib, asl signalni tiklashga imkon beradi:

Masalan, to'rtburchak impulsni oling:

Spektrlarga yana bir misol:

Nyquist chastotasi, Kotelnikov teoremasi .

Nyquist chastotasi - raqamli signalni qayta ishlashda, namuna olish chastotasining yarmiga teng chastota. Garri Nyquist sharafiga nomlangan. Kotelnikov teoremasidan kelib chiqadiki, analog signalni tanlashda signalning spektri (spektral zichligi) Nyquist chastotasiga teng yoki undan past bo'lsagina, ma'lumot yo'qolmaydi. Aks holda, analog signalni tiklashda spektral "dumlar" ning bir-biriga mos kelishi (chastotani almashtirish, chastotani maskalash) bo'ladi va tiklangan signalning shakli buziladi. Agar signal spektrida Nyquist chastotasidan yuqori bo'lgan komponentlar bo'lmasa, u (nazariy jihatdan) namuna olish va keyin buzilishsiz qayta tiklanishi mumkin. Aslida, signalni "raqamlashtirish" (analog signalni raqamliga aylantirish) namunalarni kvantlash bilan bog'liq - har bir namuna chekli bit chuqurlikdagi raqamli kod shaklida yoziladi, buning natijasida namunalarga kvantlash (yaxlitlash) xatolari qo'shiladi, ma'lum sharoitlarda "kvantlash shovqini" deb hisoblanadi.

Cheklangan davomiylikdagi haqiqiy signallar har doim cheksiz keng spektrga ega bo'lib, chastota ortishi bilan u ko'proq yoki kamroq tez kamayadi. Shuning uchun signalni tanlash har doim ma'lumot yo'qolishiga olib keladi (namuna olish va qayta qurish paytida signal shaklining buzilishi), namuna olish chastotasi qanchalik yuqori bo'lishidan qat'i nazar. Tanlangan tanlab olish tezligida distorsiyani analog signalning spektral komponentlarini (namuna olishdan oldin) Nyquist chastotasidan yuqori bostirish orqali kamaytirish mumkin, bu esa quyruqlarning boshqa nomlanishini oldini olish uchun juda yuqori tartibli filtrni talab qiladi. Bunday filtrni amaliy amalga oshirish juda murakkab, chunki filtrlarning amplituda-chastota xarakteristikalari to'rtburchaklar emas, balki silliqdir va o'tish va bostirish diapazoni o'rtasida ma'lum bir o'tish chastotasi diapazoni hosil bo'ladi. Shuning uchun namuna olish chastotasi chegara bilan tanlanadi, masalan, audio kompakt disklarda 44,100 Gts diapazon chastotasi ishlatiladi, audio signallar spektridagi eng yuqori chastota esa 20,000 Gts deb hisoblanadi. Nyquist chastota chegarasi 44100 / 2 - 20000 = 2050 Gts amalga oshirilgan past tartibli filtrdan foydalanganda chastotani almashtirishdan qochish imkonini beradi.

Kotelnikov teoremasi

Kichik buzilishlar (xatolar) bilan namuna olingandan asl uzluksiz signalni tiklash uchun namuna olish bosqichini oqilona tanlash kerak. Shuning uchun, analog signalni diskretga o'tkazishda, intuitiv ravishda, quyidagi fikrni tushunish qiyin emas. Agar analog signal ma'lum bir yuqori chastota Fe bilan chegaralangan past chastotali spektrga ega bo'lsa (ya'ni, u (t) funktsiyasi amplituda keskin o'zgarishlarsiz, silliq o'zgaruvchan egri shaklga ega bo'lsa), unda bu funktsiyani bajarishi dargumon. ba'zi bir kichik namuna olish vaqt oralig'ida sezilarli darajada o'zgaradi. Ko'rinib turibdiki, analog signalni uning namunalari ketma-ketligidan qayta tiklashning aniqligi namuna olish oralig'ining kattaligiga bog'liq bo'ladi, u qanchalik qisqa bo'lsa, u (t) funksiyasi namunadan o'tadigan silliq egri chiziqdan shunchalik kam farq qiladi. ball. Biroq, namuna olish oralig'i kamayishi bilan ishlov berish uskunasining murakkabligi va hajmi sezilarli darajada oshadi. Namuna olish oralig'i etarlicha katta bo'lsa, analog signalni qayta qurishda ma'lumotni buzish yoki yo'qotish ehtimoli ortadi. Tanlash oraligʻining optimal qiymati Kotelnikov teoremasi bilan belgilanadi (boshqa nomlar - tanlab olish teoremasi, K. Shennon teoremasi, X. Nikvist teoremasi: teorema birinchi marta O. Koshi matematikasida kashf etilgan, keyin esa D. tomonidan yana tasvirlangan. Karson va R. Xartli), 1933 yilda u tomonidan isbotlangan V. A. Kotelnikov teoremasi muhim nazariy va amaliy ahamiyatga ega: bu analog signalni to'g'ri tanlash imkonini beradi va namunaviy qiymatlardan uni qabul qilish uchida tiklashning optimal usulini belgilaydi.

Kotelnikov teoremasining eng mashhur va oddiy talqinlaridan biriga ko'ra, spektri ma'lum bir Fe chastotasi bilan chegaralangan ixtiyoriy signal u(t) vaqtni kuzatib, uning mos yozuvlar qiymatlari ketma-ketligidan butunlay qayta tiklanishi mumkin. interval

Radiotexnikada namuna olish oralig'i va chastota Fe (1) ko'pincha mos ravishda interval va Nyquist chastotasi deb ataladi. Analitik jihatdan, Kotelnikov teoremasi yonida keltirilgan

bu erda k - namuna raqami; - mos yozuvlar nuqtalarida signal qiymati - signal spektrining yuqori chastotasi.

Diskret signallarning chastotali tasviri .

Ko'pgina signallarni Furye seriyasi sifatida ko'rsatish mumkin:

Ma'ruza 7.

TASOSODIY JARAYONNING SPEKTRAL KUCH zichligi

Tasodifiy jarayonni realizatsiyalar majmuasi (ansambli) sifatida nazarda tutganimizda, turli shakldagi realizatsiyalar turli spektral xarakteristikaga mos kelishini yodda tutish kerak. Barcha amalga oshirishlar bo'yicha murakkab spektral zichlikni o'rtacha hisoblash, turli xil amalga oshirishlarda spektral komponentlar fazalarining tasodifiyligi va mustaqilligi tufayli jarayonning nol spektriga (o'rtacha = 0 bilan) olib keladi. Biroq, tasodifiy miqdorning o'rtacha kvadratining spektral zichligi tushunchasini kiritish mumkin, chunki o'rtacha kvadratning qiymati yig'ilgan harmonikaning fazaviy munosabatlariga bog'liq emas. Agar tasodifiy funksiya x(t) elektr kuchlanishini yoki tokni bildirsa, bu funktsiyaning o'rtacha kvadratini 1 Ohm qarshilikda chiqarilgan o'rtacha quvvat deb hisoblash mumkin. Bu quvvat tasodifiy jarayonning shakllanish mexanizmiga qarab ma'lum bir diapazondagi chastotalar bo'yicha taqsimlanadi. O'rtacha quvvat spektral zichligi - ma'lum chastotada Hz uchun o'rtacha quvvat ω . Shu tarzda kiritilgan spektral zichlik S(ω) Quyida biz funktsiyaning energiya spektrini chaqiramiz x(t) . Ushbu nomning ma'nosi funktsiyaning o'lchami bilan belgilanadi S(ω) , bu quvvatning chastota diapazoniga nisbati:

[S(ω) ] = [ quvvat/tarmoq kengligi ] = [kuch × vaqt] = [energiya],

Tasodifiy jarayonning hosil bo'lish mexanizmi ma'lum bo'lsa, energiya spektrini topish mumkin. Bu erda biz ba'zi umumiy ta'riflar bilan cheklanamiz.

PSD ni hisoblash usullari

Spektral zichlik funktsiyalari uchta ekvivalent usulda aniqlanishi mumkin, biz ularni quyida ko'rib chiqamiz:

Kovariatsiya funksiyalaridan foydalanish;

Cheklangan Furye konvertatsiyasidan foydalanish;

Filtrlash, kvadratlashtirish va o'rtacha hisoblashdan foydalanish.

Korrelyatsiya funksiyalari yordamida spektrlarni aniqlash.

Tarixiy jihatdan spektral zichlikni aniqlashning birinchi usuli matematikada paydo bo'lgan. U oldindan hisoblangan korrelyatsiya funksiyasining Furye konvertatsiyasini olishdan iborat. Vositalarni ayirgandan so'ng, bunday (cheksiz) Furye o'zgarishlari odatda dastlabki jarayonning (cheksiz) Furye konvertatsiyasi mavjud bo'lmasa ham mavjud bo'ladi. Ushbu yondashuv chastotalar uchun aniqlangan ikki tomonlama spektral zichlikni beradi f-dan + gacha va belgilanadi S(f) .

Korrelyatsiya va o'zaro bog'liqlik funktsiyalari bo'lsin R x(t), Ry(t) Va Rxy(t) . Shuningdek, ularning mutlaq qiymatlarining integrallari cheklangan deb faraz qilaylik

R( d

Amalda, bu shartlar har doim cheklangan uzunlikdagi amalga oshirish uchun qondiriladi. Keyin PF ishlaydi R(t) mavjud va formulalar bilan aniqlanadi

S x (f)=

S y (f)= (1)

S xy (f)=

Cheklangan realizatsiyalar ustidagi bunday integrallar doimo mavjud. Funksiyalar Sx(f) Va S y(f) jarayonlarning spektral zichligi funksiyalari deyiladi x(t) Va y(t) mos ravishda yoki oddiygina spektral zichliklar va funksiya ikki jarayonning o'zaro spektral zichligi deyiladi x(t) Va y(t) .

Formulalardan (1) teskari PFlar beradi

R x(τ ) =

Ry(τ ) = (2)

Rxy(τ ) = df.

(1) va (2) munosabatlar Wiener-Xinchin formulalari deb ataladi, ular 30-yillarda PF orqali korrelyatsiya funktsiyalari va spektral zichlik o'rtasidagi bog'liqlikni mustaqil ravishda o'rnatdilar. Amaliy masalalarni hal qilishda ruxsat berish kerak R(t) Va S(f) delta funksiyalarining mavjudligi.

Statsionar kovariatsiya funktsiyalarining simmetriya xususiyatlaridan kelib chiqadi

S x (-f)= S x (f) a S xy (-f) = S yx (f)

Shuning uchun spektral zichlik Sx(f) haqiqiy juft funksiya, a S xy(f) – dan murakkab funksiya f.

Keyin (1) dan spektral munosabatlar shaklga aylantirilishi mumkin

Signalning spektri bo'ylab energiya taqsimotini tavsiflovchi va energiya spektral zichligi deb ataladigan miqdor faqat cheksiz vaqt oralig'idagi energiya chekli bo'lgan signallar uchun mavjud va shuning uchun ular uchun Furye konvertatsiyasi qo'llaniladi.

Vaqt o'tishi bilan buzilmaydigan signallar uchun energiya cheksiz katta va integral (1,54) ajralib chiqadi. Amplituda spektrini o'rnatish mumkin emas. Biroq, o'rtacha quvvat Rs, munosabat bilan belgilanadi

chekli bo‘lib chiqadi. Shuning uchun "kuch spektral zichligi" tushunchasi kengroq qo'llaniladi. Uni chastotaga nisbatan o'rtacha signal kuchining hosilasi sifatida belgilaymiz va uni Sk(p) deb belgilaymiz:

Indeks k ta'kidlaydiki, bu erda biz signalning amalga oshirilishini tavsiflovchi u (t) deterministik funktsiyaning xarakteristikasi sifatida quvvat spektral zichligini ko'rib chiqamiz.

Ushbu signal xarakteristikasi amplituda spektral zichligiga qaraganda kamroq ma'noga ega, chunki u fazaviy ma'lumotlardan mahrum [qarang. (1.38)]. Shuning uchun, undan signalning asl amalga oshirilishini aniq qayta qurish mumkin emas. Biroq, faza ma'lumotlarining yo'qligi ushbu kontseptsiyani faza aniqlanmagan signallarga qo'llash imkonini beradi.

Spektral zichlik Sk(x) va amplituda spektri o'rtasida bog'lanishni o'rnatish uchun biz cheklangan vaqt oralig'ida (-T) mavjud bo'lgan u(t) signalidan foydalanamiz.<. t

vaqt chegaralangan signalning quvvat spektral zichligi qayerda.

Keyinchalik ko'rsatiladi (1.11 § ga qarang), bu xususiyatni ko'plab amalga oshirishlar bo'yicha o'rtacha hisoblab, tasodifiy jarayonlarning katta sinfi uchun quvvat spektral zichligini olish mumkin.

Deterministik signalning avtokorrelyatsiya funksiyasi

Endi chastota domenida ikkita xususiyat mavjud: spektral javob va quvvat spektral zichligi. Signal u(t) haqida to'liq ma'lumotni o'z ichiga olgan spektral xarakteristika vaqt funksiyasi ko'rinishidagi Furye konvertatsiyasiga mos keladi. Keling, fazaviy ma'lumotlardan mahrum bo'lgan quvvat spektral zichligi vaqt sohasida nimaga mos kelishini bilib olaylik.

Xuddi shu quvvat spektral zichligi fazada farq qiluvchi ko'p vaqt funktsiyalariga mos keladi deb taxmin qilish kerak. Sovet olimi L.Ya. Xinchin va amerikalik olim N. Wiener deyarli bir vaqtning o'zida spektral quvvat zichligining teskari Furye o'zgarishini topdilar:

Faza ma'lumotlarini o'z ichiga olmagan umumlashtirilgan vaqt funksiyasini r() vaqt avtokorrelyatsiyasi funksiyasi deb ataymiz. U vaqt oralig'i bilan ajratilgan u(t) funksiya qiymatlari orasidagi korrelyatsiya darajasini ko'rsatadi va korrelyatsiya koeffitsienti tushunchasini ishlab chiqish orqali statistik nazariyadan olinishi mumkin. E'tibor bering, vaqt korrelyatsiyasi funktsiyasida o'rtacha vaqt davomida etarlicha uzoq davomiylikni amalga oshirish doirasida amalga oshiriladi.

Furye o'zgartirish juftligi uchun ikkinchi integral munosabat ham o'rinli:

1.6-misol Garmonik signalning vaqt avtokorrelyatsiyasi funksiyasini aniqlang u(t) = u0 cos(t-ts). (1.64) ga muvofiq

Oddiy o'zgarishlarni amalga oshirish

nihoyat bizda bor

Kutilganidek, ru() m ga bog'liq emas va shuning uchun (1.66) fazalarda farq qiluvchi butun garmonikalar to'plami uchun amal qiladi.

Tasodifiy jarayonni vaqt funksiyalari to‘plami (ansambli) sifatida nazarda tutganimizda, turli shakldagi funksiyalar turli spektral xarakteristikaga mos kelishini yodda tutish kerak. (1.47) bilan aniqlangan kompleks spektral zichlikni barcha funktsiyalar bo'yicha o'rtacha hisoblash jarayonning nol spektriga olib keladi (da M[x(t)]=0 ) turli xil amalga oshirishda spektral komponentlar fazalarining tasodifiyligi va mustaqilligi tufayli.

Biroq, tasodifiy funktsiyaning o'rtacha kvadratining spektral zichligi tushunchasini kiritish mumkin, chunki o'rtacha kvadratning qiymati yig'ilgan harmonikalarning fazaviy munosabatlariga bog'liq emas. Agar tasodifiy funksiya ostida bo'lsa x(t) elektr kuchlanish yoki oqimni nazarda tutadi, keyin bu funktsiyaning o'rtacha kvadrati 1 ohm qarshilikda chiqarilgan o'rtacha quvvat deb hisoblanishi mumkin. Bu quvvat tasodifiy jarayonning shakllanish mexanizmiga qarab ma'lum bir diapazondagi chastotalar bo'yicha taqsimlanadi.

O'rtacha quvvat spektral zichligi - ma'lum chastotada Hz uchun o'rtacha quvvat ω . Funktsiya o'lchami V(ω) , ya'ni quvvatning chastota diapazoniga nisbati

Tasodifiy jarayonning spektral zichligini, agar tasodifiy jarayonning hosil bo'lish mexanizmi ma'lum bo'lsa, topish mumkin. Moddaning va elektrning atom tuzilishi bilan bog'liq shovqin bilan bog'liq holda, bu vazifa keyinroq keladi. Bu erda biz bir nechta umumiy ta'riflar bilan cheklanamiz.

Ansambldan har qanday dasturni tanlash orqali xk(t) va uning davomiyligini chekli intervalgacha cheklash T, siz unga odatiy Furye konvertatsiyasini qo'llashingiz va spektral zichlikni topishingiz mumkin X kT (ω). Keyin ko'rib chiqilayotgan amalga oshirish segmentining energiyasini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

(1.152)

Bu energiyani taqsimlash T, biz o'rtacha quvvatni olamiz k-chi segmentida amalga oshirish T

(1.153)

Ko'payganda T energiya EKT ortadi, lekin nisbati muayyan chegaraga intiladi. Cheklovga o'tib, biz quyidagilarni olamiz:

G
de

o'zida aks ettiradi o'rtacha quvvat spektral zichligi ko'rib chiqilayotgani k-chi amalga oshirish.

Umuman olganda, qiymat V k (ω) ko'plab ilovalar bo'yicha o'rtacha hisoblanishi kerak. Bu holatda o'zimizni statsionar va ergodik jarayonni ko'rib chiqish bilan cheklab qo'ysak, biz funktsiyani bitta realizatsiyadan o'rtacha hisoblash orqali topilgan deb taxmin qilishimiz mumkin. V k (ω) butun jarayonni bir butun sifatida tavsiflaydi. K indeksini qoldirib, biz tasodifiy jarayonning o'rtacha kuchi uchun yakuniy ifodani olamiz

O'rtacha nolga teng bo'lgan jarayon uchun

(1.156)

Spektral zichlikning ta'rifidan (1,155) ko'rinib turibdiki V X (ω) juft va manfiy bo'lmagan funksiyadir ω.

1.5.3 Tasodifiy jarayonning spektral zichligi va kovarians funksiyasi o'rtasidagi bog'liqlik

Bir tomondan, o'zgarish tezligi X(t) vaqt oralig'ida spektrning kengligini aniqlaydi. Boshqa tomondan, o'zgarish darajasi x(t) kovariatsiya funksiyasining borishini aniqlaydi. Orasida ekanligi aniqV X (ō) va K X(t) yaqin aloqa mavjud.

Wiener-Xinchin teoremasi shuni ko'rsatadi TO X (τ) Va V x (ω) Furye o'zgarishlari bilan bog'liq:

(1.157)

(1.158)

O'rtacha nolga teng bo'lgan tasodifiy jarayonlar uchun o'xshash iboralar quyidagi shaklga ega:

Ushbu iboralar deterministik signallar uchun Furye transformlarining xususiyatlariga o'xshash xususiyatni bildiradi: tasodifiy jarayonning spektri qanchalik keng bo'lsa, korrelyatsiya oralig'i shunchalik kichik bo'ladi va shunga mos ravishda korrelyatsiya oralig'i qanchalik katta bo'lsa, jarayonning spektri shunchalik tor bo'ladi (1.20-rasmga qarang).

1.20-rasm. Tasodifiy jarayonning keng polosali va tor polosali spektrlari; markaziy chiziq chegaralari: ±F 1

Spektr barcha chastotalarda bir xil bo'lganda oq shovqin katta qiziqish uyg'otadi.

Agar 1.158 ifodani almashtirsak Vx(ω) = V 0 = const, keyin biz olamiz

bu yerda d(t) delta funksiyasi.

Cheksiz va bir xil spektrli oq shovqin uchun korrelyatsiya funktsiyasi t ning barcha qiymatlari uchun nolga teng. τ = 0 , qaysi vaqtda R x (0) cheksizlikka aylanadi. Cheksiz nozik tasodifiy tikanlar bilan igna o'xshash tuzilishga ega bo'lgan bunday shovqin ba'zan delta-korrelyatsiya jarayoni deb ataladi. Oq shovqinning tarqalishi cheksiz katta.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Tasodifiy signalning asosiy xarakteristikalarini ayting.

Tasodifiy signalning korrelyatsiya funktsiyasi va energiya spektri matematik jihatdan qanday bog'liq?

Qaysi tasodifiy jarayon statsionar deb ataladi.

Qaysi tasodifiy jarayon ergodik deb ataladi.

Tor polosali signalning konverti, fazasi va chastotasi qanday aniqlanadi

Qaysi signal analitik deb ataladi.

Quyida ba'zi signallarning qisqacha tavsifi va ularning spektral zichligi aniqlanadi. Mutlaq integrallik shartini qanoatlantiradigan signallarning spektral zichliklarini aniqlashda bevosita (4.41) formuladan foydalanamiz.

Bir qator signallarning spektral zichligi Jadvalda keltirilgan. 4.2.

1) To'rtburchak puls (4.2-jadval, 4-band). Shaklda ko'rsatilgan tebranish. (4.28, a) shaklida yozilishi mumkin

Uning spektral zichligi

Spektral zichlik grafigi (4.28-rasm, a) bir qutbli, to'g'ri burchakli impulslarning davriy ketma-ketligi spektrining ilgari bajarilgan tahlili asosida qurilgan (4.14). (4.28-rasm, b) dan ko'rinib turibdiki, funktsiya = argumentning qiymatlarida nolga tushadi. n, Qayerda P - 1, 2, 3, ... - har qanday butun son. Bunda burchak chastotalari = ga teng.

Guruch. 4.28. To'rtburchak puls (a) va uning spektral zichligi (b)

At impulsning spektral zichligi son jihatdan uning maydoniga teng, ya'ni. G(0)=A. Bu pozitsiya impuls uchun amal qiladi s(t) erkin shakl. Darhaqiqat, umumiy ifodada (4.41) = 0 deb faraz qilsak, biz olamiz

ya'ni puls maydoni s(t).

4.3-jadval.

	Signal s(t)			Spektral zichlik

Puls cho'zilganida, funktsiyaning nollari orasidagi masofa kamayadi, ya'ni spektr siqiladi. Keyin qiymat oshadi. Aksincha, impuls siqilganda uning spektri kengayadi va qiymati kamayadi. 4.29-rasm, a, b) to'rtburchak impulsning amplituda va faza spektrlarining grafiklarini ko'rsatadi.

Guruch. 4.29. Amplituda grafiklari (a) rasm. 4.30. To'rtburchaklar shaklidagi puls va faza (b) spektrlari vaqt bo'yicha siljiydi

Impuls bir muddat o'ngga (kechikish) siljiganida (4.30-rasm), o'zgarishlar spektri ko'paytiruvchi argument exp() tomonidan aniqlangan miqdorga o'zgaradi (4.2-jadval, 9-band). Kechiktirilgan impulsning hosil bo'lgan faza spektri rasmda ko'rsatilgan. 4.29, b nuqtali chiziq bilan.

2) Delta funksiyasi (4.3-jadval, 9-band). Filtrlash xususiyatidan foydalanib, (4.41) formuladan foydalanib, spektral zichlik funksiyasini topamiz δ -funktsiyalari:

Shunday qilib, amplituda spektri bir xil bo'lib, maydon bilan belgilanadi δ -funksiya [= 1], faza spektri esa nolga teng [= 0].

Ta'riflardan biri sifatida = 1 funktsiyasining teskari Furye konvertatsiyasi qo'llaniladi δ -funktsiyalari:

Vaqtni siljish xususiyatidan foydalanib (4.2-jadval, 9-band) funksiyaning spektral zichligini aniqlaymiz. , ga nisbatan vaqt bo'yicha kechiktiriladi :

Funktsiyaning amplituda va faza spektrlari Jadvalda ko'rsatilgan. 4.3, pos. 10. Funksiyaning teskari Furye o‘zgarishi ko‘rinishga ega

3) Garmonik tebranish (4.3-jadval, 12-band). Garmonik tebranish to'liq integrallanadigan signal emas. Shunga qaramay, uning spektral zichligini aniqlash uchun (4.41) formulani quyidagi shaklda yozish uchun to'g'ridan-to'g'ri Furye transformatsiyasi qo'llaniladi:

Keyin (4.47) ni hisobga olgan holda, biz olamiz

δ(ω) – delta funktsiyalari, chastota o'qi bo'ylab chastota bo'yicha siljiydi, mos ravishda o'ngga va chapga nisbatan. (4.48) dan ko'rinib turibdiki, chekli amplitudali garmonik tebranishning spektral zichligi diskret chastotalarda cheksiz katta qiymatni oladi.

Shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirish orqali tebranishning spektral zichligini olish mumkin (4.3-jadval, 13-band)

4) Ko'rish funktsiyasi (4.3-jadval, 11-band)

Signalning spektral zichligi doimiy daraja sifatida A(4.48) formula bo'yicha aniqlanadi, o'rnatish = 0:

5) Birlik funksiyasi (yoki birlik sakrash) (4.3-jadval, 8-band). Funktsiyani to'liq integrallash mumkin emas. Agar biz uni eksponensial momentum chegarasi deb hisoblasak , ya'ni

u holda funktsiyaning spektral zichligini eksponensial impulsning spektral zichligi chegarasi sifatida aniqlash mumkin (4.3-jadval, 1-band):

Ushbu ifodaning o'ng tomonidagi birinchi hada = 0 dan tashqari barcha chastotalarda nolga teng, bu erda u abadiylikka boradi va funktsiya ostidagi maydon doimiy qiymatga teng.

Shuning uchun funktsiyani birinchi hadning chegarasi deb hisoblash mumkin. Ikkinchi hadning chegarasi funksiyadir. Nihoyat, olamiz

(4.51) ifodada ikkita atamaning mavjudligi funksiyaning ifodalanishiga mos keladi 1/2+1/2 belgisi ( t). (4.50) ga ko'ra doimiy komponent 1/2 spektral zichlikka va toq funksiyaga mos keladi. - spektral zichlikning xayoliy qiymati.

Bir qadamning uzatish funktsiyasi = 0 bo'lgan kontaktlarning zanglashiga olib ta'sirini tahlil qilishda (ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri oqimdan o'tmaydigan zanjirlarda) (4.51) formulada spektral zichlikni ifodalovchi faqat ikkinchi hadni hisobga olish mumkin. shakldagi bir qadam

6) Kompleks eksponensial signal (4.3-jadval, 16-band). Agar funktsiyani sifatida ifodalasak

keyin, Furye konvertatsiyasining chiziqliligi asosida va (4.48) va (4.49) ifodalarni hisobga olgan holda, kompleks eksponensial signalning spektral zichligi.

Binobarin, murakkab signal chastota bo'yicha unga nisbatan o'ngga siljigan yagona delta funktsiyasi bilan ifodalangan assimetrik spektrga ega.

7) Ixtiyoriy davriy funksiya. Ixtiyoriy davriy funktsiyani (4.31-rasm, a) kompleks Furye qatori bilan ifodalaylik.

pulsning takrorlanish tezligi qayerda.

Furye qator koeffitsientlari

bitta impulsning spektral zichligi orqali ifodalanadi s(t) chastotalarda ( n=0, ±1, ±2, ...). (4.55) ni (4.54) ga almashtirib, (4.53) munosabatdan foydalanib, davriy funktsiyaning spektral zichligini aniqlaymiz:

(4.56) ga ko'ra, ixtiyoriy davriy funksiyaning spektral zichligi chastota bo'yicha bir-biriga nisbatan siljigan funktsiyalar ketma-ketligi ko'rinishiga ega (4.31-rasm, b). Koeffitsientlar da δ -funksiyalar bitta impulsning spektral zichligiga mos ravishda o'zgaradi s(t) (4.31, b-rasmdagi chiziqli egri chiziq).

8) d-funksiyalarning davriy ketma-ketligi (4.3-jadval, 17-band). Funksiyalarning davriy ketma-ketligining spektral zichligi

da davriy funksiyaning spektral zichligining maxsus holati sifatida (4.56) formula bilan aniqlanadi. = 1:

4.31-rasm. Impulslarning ixtiyoriy ketma-ketligi (a) va uning spektral zichligi (b)

Guruch. 4.32. Radiosignal (a), radiosignalning spektral zichligi (c) va uning konverti (b)

va davriy ketma-ketlik shakliga ega δ -funksiyalar koeffitsientga ko'paytiriladi.

9) To'rtburchak konvertli radio signali. (4.32a-rasm) taqdim etilgan radio signalni shunday yozish mumkin

Posga ko'ra. 11 4.2-jadval, radiosignalning spektral zichligi to'rtburchaklar konvertning spektral zichligini chastota o'qi bo'ylab o'ngga va chapga ordinatani yarmiga bo'lish bilan siljitish orqali olinadi, ya'ni.

Ushbu ifoda (4.42) dan chastotani chastotalar bilan almashtirish orqali olinadi - o'ngga siljish va - chapga siljish. Konvert spektrining o'zgarishi (4.32-rasm, b, c) da ko'rsatilgan.

Davriy bo'lmagan signallarning spektrlarini hisoblash misollari ham keltirilgan.